2022-2023学年重庆市第十八中学高二上学期线上素质测评数学试题(解析版)

2022-2023学年重庆市第十八中学高二上学期线上素质测评数学试题
一、单选题
1．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 （ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1
【答案】D
【详解】解：因为两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则斜率之积为-1，可知参数a 的值为-1,选D
2．若椭圆22
1254
x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为3，则点P 到另一焦点2F 的距离为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义可得27PF =.
【详解】根据椭圆的定义知，1222510PF PF a +==⨯=，因为13PF =，所以27PF =． 故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的定义，一般地，与焦点三角形有关的计算问题，应利用椭圆的几何性质来考虑，本题属于基础题.
3．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122
A p
AF x =+=，即1292p =+，解得6p
.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4
C ．－1
4
D ．14
【答案】C
【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值.
【详解】依题意，双曲线的标准方程为2
2
11
x y m
-=-，即22
11,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即11
4,4
m m -
==-.故选C. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题. 5．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
【答案】D
【详解】解：椭圆22
162
x y +
=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ．
6．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（ ） A ．2AB AD = B ．AB 与平面11AB C D 所成的角为30︒ C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒
【答案】D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出． 【详解】如图所示：
不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b
B D B D
=
=，即b c =，22212B D c a b c =++2a c =．
对于A ，AB a ，AD b ，2AB =，A 错误；
对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，
因为tan c BAE a ∠=
=
30BAE ∠≠，B 错误； 对于C
，AC =
，1CB =，1AC CB ≠，C 错误； 对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠
，11sin 2CD a DB C B D c ∠===，而1090DB C <∠<，所以145DB C ∠=．D 正确． 故选：D ．
7．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ
的斜率之积为1
4
，则C 的离心率为（ ）
A
B
C ．12
D ．13
【答案】A
【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得
2122114y x a =-+，再根据22
11221x y a b
+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由1
4
AP AQ
k k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由22
11221x y a b +=，得()
22212
12b a x y a
-=， 所以
()
22212
2
2
1
14
b a x a
x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C
的离心率c e a
== A. [方法二]：第三定义
设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-
故1
4AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，
由椭圆第三定义得：2
2PA AQ
b k k a
⋅=-，
故2214
b a = 所以椭圆C
的离心率c e a == A.
8．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAM
PM AB S
PA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的
方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．
【详解】圆的方程可化为()()22
114x y -+-=，点 M 到直线l
的距离为2d >，所
以直线 l 与圆相离．
依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以1
4442
PAM
PM AB S
PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而
PA =
当直线MP l ⊥
时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220
y x x y ⎧
=+
⎪⎨⎪++=⎩解得，
1
0x y =-⎧⎨=⎩
． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
二、多选题
9．已知直线l ：20kx y k -+=和圆O ：229x y +=，则（ ） A ．直线l 恒过定点()2,0
B ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y 垂直
C ．直线l 与圆O 相离
D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为27
【答案】BD
【分析】A 选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，
B 选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为1-，从而存在2k =-满足题意，
C 选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C 选项； 当1k =-时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长
【详解】直线:20l kx y k -+=，即()2y k x =+，则直线恒过定点()2,0-，故A 错误； 当2k =- 时，直线:20l kx y k -+=与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确； ∵定点()2,0-在圆O ：x 2+y 2=9内部，∴直线l 与圆O 相交，故C 不正确： 当1k =-时，直线l 化为20x y ---=，即x +y +2=0， 圆心O 到直线的距离|2|
22
d =
=， 直线l 被圆O 截得的弦长为29227-=，故D 正确， 故选：BD.
10．平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和3，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】BD
【分析】作出图像，分,B D 、B ,C 、,C D 到平面α的距离为1,3三种情况讨论即可. 【详解】如图，,B D 到平面α的距离为1,3，
则,B D 的中点到平面α的距离为2，所以C 到平面α的距离为4， 若B ,C 到平面α的距离为1,3，设D 到平面α的距离为x ，
则13x +=或31+=x ，因为0x >，则2x =，所以点D 到平面α的距离为2， 当,C D 到平面α的距离为1,3，同理得B 到平面α的距离为2， 故选：BD.
11．已知椭圆C ：22
148
x y +=内一点()1,1M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中
点，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0- B ．椭圆C
的长轴长为C ．直线l 的方程为230x y +-= D
．AB =
【答案】BC
【分析】结合椭圆概念易判断A 错B 对，设()()1122,,,A x y B x y ，由点差法化简可验证C 是否正确，联立直线与椭圆方程，由弦长公式可验证D 是否正确.
【详解】因为椭圆方程为：22
148
x y +=，所以焦点在y 轴上，故A 项错误；
28,a a ==
2a =，B 项正确；
设()()1122,,,A x y B x y ，则
2211148x y +=①，22
22148
x y +=②，联立①②整理得21212121
2y y y y x x x x -+⋅=--+，又1212212,212x x y y +=⨯=+=⨯=，21
21
AM y y k x x -=
-，所以2AM k =-，故直线l 的方程为()211y x =--+，即230x y +-=，故C 正确；
联立22
148230x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩
得261210x x -+=，12121
2,6
x x x x +=⋅=
，
AB =，故D 项错误. 故选：BC
12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C ：
2222x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A ．曲线C 围成的图形有4条对称轴 B
．曲线C 围成的图形的周长是 C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过6
D ．若(),T a b 是曲线C 上任意一点，4318a b
+-的最小值是11-【答案】ACD
【分析】由圆的方程作出曲线C 图象，再由弧长公式，点到直线的距离公式对选项逐一判断， 【详解】当0,0x y >>时，曲线方程可化为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=，是以(1,1)为圆
心，2为半径的圆的一部分，
同理可作出其他象限内图象，如图所示，
对于A ，曲线C 围成的图形有4条对称轴，分别是直线0x =，0y =，y x =，y x =-，故A 正确， 对于B ，曲线C 围成的图形的周长是4242ππ⨯⨯=，故B 错误， 对于C ，曲线C 上的任意两点间的距离最大值为426<，故C 正确， 对于D ，(),T a b 到直线43180x y +-=的距离为5
4318
a b d +=-， 而(1,1)到直线43180x y +-=的距离为11
5
，由圆的性质得曲线C 上一点到直线43180x y +-=的距离最小为
11
25
-， 故4318a b +-的最小值是1152-，故D 正确， 故选：ACD
三、填空题
13．若双曲线2
2
21x y m
-=的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________.
【答案】3
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式， 即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径， 即可得到方程，解得即可．
【详解】双曲线2
2
21x y m
-=的渐近线为：
y x
m
=±，即0x my ±=，
不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=， 即()2
221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，
依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离：
2
211m d m
=
=+，
解得3
3m =
或33
m =-． 故答案为：3
3
±
． 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为______ 【答案】
5
2
【分析】直接利用异面直线所成的角的求法及解三角形的知识即可求出结果． 【详解】如图所示：
在正方体体1111ABCD A B C D -中，连接BE ，
所以异面直线AE 与CD 所成角，即为直线AE 和AB 所成的角或其补角． 设正方体的棱长为2，由于AB ⊥平面BCE ， 所以ABE ∆为直角三角形． 所以22215BE + 所以5
BE tan BAE AB ∠==
5 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，涉及转化思想及运算求解能力，属于基础题型．
15．已知抛物线24y x =，过点()3,0P 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则22
12y y +的
最小值是_________. 【答案】24
【分析】根据直线AB 是否存在斜率分类讨论，根据解方程、一元二次方程根与系数的关系，
结合基本不等式进行求解即可.
【详解】当直线垂直于x 轴时，123x x ==，22
1224y y +=；
当直线不垂直于x 轴时，设直线为(3)y k x =-，显然0k ≠， 把直线方程代入抛物线24y x =化简得：
()22226490k x k x k -++=，
则221212
29644
060,k k k x x x x ++==+=>>；
所以12,0x x >，
又()22
1212124824y y x x x x +=+≥=，
当且仅当123x x ==时取等号，所以所求的值为24. 故答案为：24.
16．已知椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过坐标原点的直线交E 于P ，
Q 两点，且22PF F Q ⊥，且221
2
PF Q S a =，228PF F Q +=，则E 的标准方程为__________.
【答案】22
1168
x y +
= 【分析】首先证明四边形12PFQF 为矩形，设12,PF m PF n ==，得到方程组 222
2
284112
2m n a m n c mn a ⎧
⎪+==⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解出即可. 【详解】连接11,PF QF ，因为12,OP OQ OF OF ==，
所以四边形12PFQF 是平行四边形， 所以12PF F Q =，21PF QF =，
又22PF F Q ⊥，所以四边形12PFQF 为矩形， 设12,PF m PF n ==
则由题意得222
2
28
41122m n a m n c mn a
⎧
⎪+==⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得422a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，
则2
2
2
8b a c =-=，则标准方程为22
1168
x y +
=， 故答案为：22
1168
x y +
=.
四、解答题
17．如图，在Rt AOB △中，π
6
OAB ∠=
，斜边4AB =.Rt AOC 可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角.D 是AB 的中点.
(1)求证：平面COD ⊥平面AOB ； (2)求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解
(2)64
【分析】（1）依题意可得CO AO ⊥，BO AO ⊥，即可得到BOC ∠是二面角B AO C --的平面角，从而得到CO BO ⊥，即可得到CO ⊥平面AOB ，从而得证； （2）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D 为AB 的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE OB ⊥，垂足为E ，连接CE ，则∥DE AO ，所以CDE ∠是异面直线AO 与CD 所成的角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）证明：由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，
BOC ∴∠是二面角B AO C --的平面角，
又二面角B AO C --是直二面角，
CO BO ∴⊥，
又AO BO O ⋂=，,AO BO ⊂平面AOB ，
CO ∴⊥平面AOB ，
又CO ⊂平面COD ，
∴平面COD ⊥平面AOB ．
（2）作DE OB ⊥，垂足为E ，连接CE ，则∥DE AO ，
因为CO AO ⊥，BO AO ⊥，OB OC O =，
,OB OC ⊂平面OBC ，所以AO ⊥平面OBC ，
所以DE ⊥平面OBC ，EC ⊂平面OBC ，所以DE EC ⊥，
CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角，
在Rt COE △中，2CO BO ==，112
OE BO ==，
∴225CE CO OE + 又132
DE AO =
∴2222CD CE DE =+=，
∴在Rt CDE △中，36cos 4
22DE CDE CD ∠===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的余弦值为为64
． 18．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在的直线上.
（1）求AD 边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
【答案】（1）320x y ++=；（2）()2
228x y -+=.
【解析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；
（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.
【详解】（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，
所以直线AD 的斜率为-3. 又因为点()1,1T -在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为()131y x -=-+，
即320x y ++=. （2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩
，解得点A 的坐标为()0,2-， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M .
所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.
又()()22
200222AM -++
从而矩形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=.
【点睛】方法点睛：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式
不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
19．如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点.
(1)求证：1AB ⊥平面1A BD ；
(2)求二面角1A A D B --的正弦值.
【答案】(1)见解析 10
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，写出相关点坐标及相关向量，得到1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=，即可证明；
（2）计算平面1A AD 的一个法向量，而1(1,2,3)AB =-为平面1A BD 的法向量，利用面面夹角余弦值的公式求出角的余弦值，则得到面面角的正弦值.
【详解】（1）证明：取BC 中点O ,连接AO ， ABC 为正三角形,AO BC ∴⊥,
正三棱柱111,ABC A B C -∴平面ABC ⊥平面11BCC B 且相交于BC ,
又AO ⊂平面ABC ，AO ∴⊥平面11BCC B ，取11B C 中点1O ,
则11//OO BB ，1BB BC ⊥，1OO BC ∴⊥，
1OO ⊂平面11BCC B ，1AO OO ∴⊥，
故以O 为原点, 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,
则(1,0,0),(1,1,0)B D -，根据上下底面为正三角形， 易得113)3),(1,2,0),(1,0,0)A A B C -，
1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(13)BA =-
1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,
111,AB BD AB BA ∴⊥⊥,
1BD BA B ⋂=，且1,BD BA ⊂平面1A BD ，∴直线1AB ⊥平面1A BD .
（2）设平面1A AD 的一个法向量为(,,)n x y z =，
(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则13020n AD x y z n AA y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1z =，得(3,0,1)n =-，
由（1）得1(1,2,3)AB =-为平面1A BD 的法向量，
设二面角1A A D B --的平面角为θ, 236|c |o ,28
s ||n AB n AB n AB ⋅-===⋅, 2610sin 14θ⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴二面角1A A D B --1020．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方
向）的轨迹方程为22
110025
x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、640,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D .观测点()4,0A 、()6,0B 同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
【答案】（1） 216477y x =-+（[6,8]x ∈）；（2） 观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25和4时，应向航天器发出变轨指令.
【解析】（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点求出方程；
（2）先求解变轨时的点的坐标，结合两点间的距离可求.
【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为2647
y ax =-+， 因为抛物线经过点(8,0)D ，所以646407
a -+=，解得17a =； 联立22
211002516477x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
可得64x y =⎧⎨=⎩， 故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程216477
y x =-+（[6,8]x ∈）. （2）当6x =时，分别代入椭圆方程和抛物线方程均得到4y =，所以在观测点B 处测得离航天器的距离为4时，应向航天器发出变轨指令；
因为()()22644025-+-=，所以在观测点A 处测得离航天器的距离为25时，应向航天器发出变轨指令.
故观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25和4时，应向航天器发出变轨指令.
【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.
21．直线l :y=kx ＋1与双曲线C:
的右支交于不同的两点A,B ．
（Ⅰ）求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）22k -<<-，（2）
【详解】(1)直线与双曲线方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k 的取值范围.
(2)解本题的突破口是假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c,0)，则由FA ⊥FB 得(x 1－c)(x 2－c)＋y 1y 2＝0，即(x 1－c)(x 2－c)＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0，
整理得：(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c)(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0再根据韦达定理解决即可.
(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线方程2x 2－y 2＝1后，整理得：
(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0①
解：依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故
，解得－2<k<－2．
(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式得②，
假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c,0)，则由FA ⊥FB 得(x 1－c)(x 2－c)＋y 1y 2＝0，即(x 1－c)(x 2－c)＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0，
整理得：(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c)(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0③
把②式及c 62
③式化简得5k 2＋6k －6＝0，解得 k 66+k 66-(－22)(舍去)． 可得k 66+AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点． 22．如图，已知(10)F ，
，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ →→→→
⋅=⋅．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．
（i ）已知1MA λAF →→=，2MB λBF →→
=，求12λλ+的值；
（ii ）求MA MB →→⋅的最小值．
【答案】(1)24y x =；
(2)（i ）0；（ii ）16.
【分析】（1）结合已知条件，设(,)P x y ，利用直接法求轨迹方程即可.
（2）(i)首先设出直线l 的方程，然后联立直线l 与抛物线方程，利用韦达定理以及向量的共线关系即可求解；(ii)结合韦达定理以及距离公式表示出MA MB →→⋅，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设点(,)P x y ，则(1,)Q y -，且(1,0)F ，
由QP QF FP FQ →→→→⋅=⋅得：(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y +⋅-=-⋅-，
即22(1)2(1)x x y +=--+ 化简得24y x =，
故动点P 的轨迹C 的方程为：24y x =.
（2）(i)设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又21,M m ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， 联立241
y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x 得，2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>， 由韦达定理知，1212
44y y m y y +=⎧⎨=-⎩ 由1MA λAF →→=，2MB λBF →→=得：1112y y m λ+=-，2222y y m
λ+=-，
整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 故12122112m y y λλ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--⋅2424m m =--⋅-0=．
(ii) 212M M MA MB y y y y →→⋅=
--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++ 2224(1)44m m m m =+-+⨯
+2214(2)4216m m ⎛=++≥+= ⎝． 当且仅当22
1m m =，即1m =±时等号成立，所以MA MB →→的最小值为16．。