人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元同步练习试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元同步练习试卷
一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23 2．在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，
E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作E
F PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论：①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =
；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为12
，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③
3．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A′处，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）
A ．2
B 23
C ．223
D ．2435．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点，P
E AB ⊥于E ，P
F AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）
A ．245
B ．4
C ．5
D ．125
6．正方形ABCD ，CEFG 按如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA PF =，且APF 90∠=︒，连接AF 交CD 于点M ，有下列结论：EC BP =①；BAP GFP ∠∠=②；2221AB CE AF 2+=
③；APF ABCD CEFG S S 2S +=正方形正方形④．其中
正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④
7．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形
2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（ ）
A ．164
B ．116
C ．132
D ．18
8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法确定
9．如图，在ABC 中，AB =AC =6，∠B =45°，D 是BC 上一个动点，连接AD ，以AD 为边向右侧作等腰ADE ，其中AD =AE ，∠ADE =45°，连接CE ．在点D 从点B 向点C 运动过程中，CDE △周长的最小值是（ ）
A ．62
B ．626+
C ．92
D ．926+
10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )
A ．2.5
B ．2.4
C ．2.2
D ．2 二、填空题
11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．
12．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．
13．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．
14．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：
①可以得到无数个平行四边形EGFH ；
②可以得到无数个矩形EGFH ；
③可以得到无数个菱形EGFH ；
④至少得到一个正方形EGFH ．
所有正确结论的序号是__．
15．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．
17．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________
18．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．
19．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．
20．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．
三、解答题
21．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
22．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．
（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；
（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；
（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．
23．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]
① ②
24．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.
（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；
（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.
25．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .
(1)求出直线BC 的解析式；
(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.
(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
26．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：
（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =
①求证：EF 与BD 互相平分；
②求证：222()2BE DF EF AB ++=；
（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成
立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.
（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.
27．（问题情境）
在△ABC 中，AB=AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF ．
图① 图② 图③
证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．（不要证明）
（变式探究）
当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
（结论运用）
如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF
上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；
（迁移拓展）
在直角坐标系中.直线l 1：y=443
x -
+与直线l 2：y=2x+4相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点,若点P 到直线l 1的距离为1.求点P 的坐标.
28．阅读下列材料，并解决问题：
如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC
的值是多少．
在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．
参考小红的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE的长度最小时，AD
AC
=_______；
（2）如图3，延长DA到点F，使AF DA
=．以DF，DB为边作FDBE，求对角线
DE的最小值及此时AD
AC
的值．
29．已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意
．．取一点
F，在线段BC上任意
．．取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；
第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当325
t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB ，根据三角形中位线定理计算即可.
【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∵D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，
∴122
DE AB =
=，故选：D. 【点睛】 本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
2．B
解析：B
【分析】
利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；
【详解】
解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD ，∠A=∠B=90°，
∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，
∴△AEP≌△DEQ，故①正确，
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，
∴∠PGQ=∠EMF=90°，
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，
∴∠PEN+∠NEF=90°，
∵∠NPE+∠NEP=90°，
∴∠NPE=∠NEF，
∵PG=EM，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF=PQ，故②正确，
③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，
则（2+x）2+12=32+x2，
∴x=1，故③错误，
④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的中点H与D重合，
故EH扫过的面积为△ESD的面积=1
2
，故④正确，
则正确的是①②④，故选B．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出
∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN的面积．
【详解】
解：延长MN交AB延长线于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，
∴（x+1）2=42+x2，
解得：x=7.5，
∴NQ=7.5，AQ=8.5，
∵AB=5，AQ=8.5，
∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××4×7.5=；
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．
【详解】
①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF 垂直平分AB
由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP ∴△ABA'是等边三角形
∴∠ABP=30°
∴AP=
22
3
33
3 AB
==；
②如图，当A'D=DC时，A'D=2
由折叠得，A'B=AB=2
∴A'B+A'D=2+2=4
连接BD，则Rt△ABD中，BD=2222
2425
AB AD
+=+=
∴A'B+A'D＜BD（不合题意）
故这种情况不存在；
③如图，当CD=CA'时，CA'=2
由折叠得，A'B=AB=2
∴A'B+A'C=2+2=4
∴点A'落在BC上的中点处
此时，∠ABP=1
2
∠ABA'=45°
∴AP=AB=2．
综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为2
3
3
2．
故选C.
【点睛】
本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．
5．D
解析：D
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
解：连接AP ，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，
∴四边形AFPE 是矩形，
∴EF=AP ．
∵M 是EF 的中点，
∴AM=12
AP ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短，
∴S △ABC =
12BC•AP ＝12AB•AC ， ∴12×10AP ＝12
×6×8， ∴AP 最短时，AP=
245， ∴当AM 最短时，AM=
12AP=125． 故选：D ．
【点睛】 此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
6．D
解析：D
【分析】
①由同角的余角相等可证出EPF BAP ≅，由此即可得出EF BP =，再根据正方形的性质即可得出①成立；②根据平行线的性质可得出GFP EPF ∠=∠，再由EPF BAP ∠=∠即可得出②成立；③在Rt ABP ∆中，利用勾股定理即可得出③成立；④结合③即可得出④成立．
【详解】
解：①90EPF APB ∠+∠=︒，90APB BAP ∠+∠=︒，
EPF BAP ∴∠=∠，
在EPF ∆和BAP ∆中，
EPF BAP FEP PBA PA PF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()EPF BAP AAS ∴∆≅∆，
EF BP ∴=，
四边形CEFG 为正方形，
EC EF BP ∴==，即①成立；
②//FG EC ，
GFP EPF ∴∠=∠，
又EPF BAP ∠=∠，
BAP GFP ∴∠=∠，即②成立；
③由①可知EC BP =，
在Rt ABP ∆中，222AB BP AP +=，
PA PF =，且90APF ∠=︒，
APF ∴∆为等腰直角三角形，
22222AF AP FP AP ∴=+=，
222222
12
AB BP AB CE AP AF ∴+=+==，即③成立； ④由③可知：222AB CE AP +=，
2APF ABCD CGFE S S S ∆∴+=正方形正方形，即④成立．
故成立的结论有①②③④．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．
7．A
解析：A
【分析】
计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.
【详解】
顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A
则正方形1111D C B A 的面积为11122⨯
= 正方形2222A B C D 的面积为
111224⨯= 正方形3333A B C D 的面积为11112228
⨯⨯= 正方形n n n n A B C D 的面积为1
1()22n n
= 根据规律可得，第六个正方形6666A B C D 的面积为661
11()2264
=
= 【点睛】 本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.
8．B
解析：B
【分析】
连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，根据已知条件易证△BHK ≌△ABC ，继而由全等三角形的性质得S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，再由全等三角形的判定可得△BCJ ≌△HKL ，进而可得S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC ≌△AIG ，继而可得S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，等量代换即可求解．
【详解】
解：连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ， 由题意可知：四边形BCED 是正方形，四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，∠ACB ＝90°
∴∠CEH ＝∠ECK ＝90° ,CE ＝BC
∵∠BKH ＝90°,
∴四边形CEHK 是矩形，
∴ CE ＝HK
又∠HBK ＋∠ABC ＝90°, ∠BAC ＋∠ABC ＝90°
∴∠HBK ＝∠BAC
∴△BHK ≌△ABC （AAS ）
∴S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，
∵∠ABC ＋∠CBJ ＝90°，∠BHK ＋∠KHL ＝90°
∴∠CBJ ＝∠KHL
∴△BCJ ≌△HKL （ASA ）
∴S △BCJ ＝S △HKL ，
∴S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，
∵四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，
∴AB ＝AI ，AC ＝AG ，∠G ＝∠ACB ＝90°
∴△ABC ≌△AIG （SAS ）
∴S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，
即S 1＝S 2
故选：B
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．
9．B
解析：B
【分析】 如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得
90,62,2BAC DAE BC DE AD ∠=∠=︒==，再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =，从而可得CDE △周长为2BC AD +，然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值，由此即可得．
【详解】
在ABC 中，6,45AB AC B ==∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，2290,62BAC BC AB AC ∠=︒=+=
在ADE 中，,45AD AE ADE =∠=︒，
ADE ∴是等腰直角三角形，2290,2DAE DE AD AE ∠=︒=+=，
90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，
BAD CAE ∴∠=∠，
在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABD ACE SAS ∴≅，
BD CE ∴=，
CDE ∴周长为622CD CE DE CD BD DE BC DE AD ++=++=+=， 则当AD 取得最小值时，CDE △的周长最小，
由垂线段最短可知，当AD BC ⊥时，AD 取得最小值，
AD ∴是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一）， 1322AD BC ∴==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
【详解】
如图，连结CD .
∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB 22AC BC +5.
∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACB ＝90°，
∴四边形CFDE 是矩形，∴EF ＝CD .
由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的长最小，
此时，S △ABC ＝
12 BC ·AC ＝12AB ·CD ， 即12×4×3＝12
×5·CD ， 解得CD ＝2.4，∴EF ＝2.4.
故选B .
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
二、填空题
11．
42
【分析】
首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.
【详解】
解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，
∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠ADF=∠ABE ，
∵两纸条宽度相同， ∴AF=AE ，
∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△ABE ，
∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 为菱形，
∴AC 与BD 相互垂直平分，
∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2
【点睛】
本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.
1221
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN
中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，
ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，
60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，
//AD BE ∴，
6AC =，
624AD AB ∴==-=，
点M ，N 分别是AD ，CE 的中点， 112,122AM AD EN CE ∴=
===， AM BE ∴=，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
//,4ME AB ME AB ∴==， 60FEM C ∴∠=∠=︒，
在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，
2212,232
EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，
则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =
+=+=，
故答案为：21．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
13．8个
【分析】
作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】
如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，
∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，
∵点M 与点F 关于BC 对称，
∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，
∴∠ACM ＝90°，
∴EM
则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，
在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，
∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，
在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，
∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，
∴FN ∥AB ，
∴△CFN ∽△CAB ， ∴FN CN CF 1===AB CB CA 3
，
∵AB ＝BC ＝
2AC ＝
∴FN ＝
13AB ，
CN ＝13
BC
∴BN ＝BC －CN ＝，
BF ＝，
∵AB ＝BC ，CF ＝AE ，∠BAE ＝∠BCF ，
∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴BE ＝BF ，
∴PE ＋PF ＝
∴点P 在BH 上时，PE ＋PF ＜
∴在线段BC 上点H 的左右两边各有一个点P 使PE ＋PF ＝5，
同理在线段AB ，AD ，CD 上都存在两个点使PE ＋PF ＝5．
即共有8个点P 满足PE ＋PF ＝5，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
14．①③④
【分析】
由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，
∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，
∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，
故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF ⊥GH ，
∴∠GOF ＝90°；
∠BOG +∠BOF ＝∠COF +∠BOF ＝90°，
∴∠BOG ＝∠COF ；
在△BOG 和△COF 中，
∵BOG COF BO CO GBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△BOG ≌△COF （ASA ）；
∴OG ＝OF ，
同理可得：EO ＝OH ，
∴GH ＝EF ；
∴四边形EGFH 是正方形，
∵点E 是AB 上的一个动点，
∴至少得到一个正方形EGFH ，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．
15．①②④
【分析】
①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；
②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEF
DFM ≅△△，得出,FE MF AEF
M =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；
③由FE MF =，得出EFC CFM S
S =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．
【详解】
①∵点F 是AD 的中点，
∴AF FD = ．
∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ， //,AD BC AF FD CD ∴==，
,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，
FCB DCF ∴∠=∠，
∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；
②延长EF ，交CD 延长线于点M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
//AB CD ∴，
A MDF ∴∠=∠，
∵点F 是AD 的中点，
∴AF FD = ．
在AEF 和DFM 中，A FDM AF DF
AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()AEF DFM ASA ∴≅△△
,FE MF AEF M ∴=∠=∠．
CE AB ⊥ ，
90AEC ∴∠=︒，
90ECD AEC ∴∠=∠=︒，
12
CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，
∴EFC CFM S S = ．
CFM CDF MDF S S S =+△△△
CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；
④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，
90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，
1802EFC x ∴∠=︒-，
9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．
90AEF x ∠=︒- ，
3DFE AEF ∴∠=∠，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为 ：①②④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．
16．10+55
【分析】
取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55
NG=．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．
【详解】
如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝1
2
AB＝5．
同理ON＝5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，
∴2222
10555
NG DN DG
++
＝＝＝．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝1
2
∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，
M、O、N、G四点共线，此时等号成立，
∴线段MG取最大值5
故答案为：5
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．
17．22
【分析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最
小，此时CF=1
2
AG=22．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，
此时CF最小，
此时CF=1
2
AG=22
故答案为：22．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
18．663
【分析】
==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE
角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．
【详解】
解：如图，设NE交AD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC
==，
∵CE CB BE
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，KE=2223
-=，
KM EM
∴NE=NK+KE=6+23，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+43，
∴BE=22663
-=+，
BN NE
∴BC=BE=663，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
19．207
【分析】
根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．
【详解】
解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，
∴DC =DE =5，CP =EP ．
在△OEF 和△OBP 中，
90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），
∴OE =OB ，EF =BP ．
设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，
又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，
∴AF =AB -BF =2+x ．
在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，
∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，
∴x =67
∴AF =2+67=207
故答案为：
207 【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
20．2
【分析】
分别延长AE ，BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出点G 为PH 的中点，则G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ，再求出CD 的长度，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∵点G为EF的中点，
∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，
∵CD=6-1-1=4，
∴MN=1
2
CD=2，
∴点G移动路径的长是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明
△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CF ∥ED ，
∴ ∠FCG ＝∠EDG ，
∵ G 是CD 的中点，
∴ CG ＝DG ，
在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），
∴ FG ＝EG ，
∵ CG ＝DG ，
∴ 四边形CEDF 是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，
理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM ，
在△MBA 和△EDC 中，
BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MBA ≌△EDC(SAS)，
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF 是平行四边形，
∴四边形CEDF 是矩形；
②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，
∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，
∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，
∴∠DEG=30°，
∴DE=2DG=3，
∴AE=AD-DE=5-3=2，
故答案为：2.。