2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二(上)期中数学试卷(理科)

A ．逆命题与否命题均为真命题
B ．逆命题为假命题 ，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题 ，逆否命题为真命题
D ．否命题为假命题，道否命题为真命题
8．（ 5 分）下列函数中，最小周期为π 且为偶函数的是（
）
A ．f（x）＝ sin|2x|
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B ． f（ x）＝ tan（ x﹣） C． f（ x）＝ |cos2x| D ．f（x）＝
故将函数 g（ x）＝ cos2x 的图象向右平移
个单位，可得 f（ x）的图象，
故选： D ．
【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，函数
y＝Asin（ω x+φ ）的图象变换规律，统一
这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
2﹣3x+ a≥ 0 恒成立，则a 的取值范围是（
）
10．（5 分）当 x∈（0， +∞ ）时， ax
）
A ．3
B．6
【分析】 根据等差数列的求和公式可得
【解答】 解：∵ S3+S6＝ 27，
C． 9 a1+2d＝ 3，即可求出．
D． 12
∴ 3a1+
d+6a1+
d＝ 27，
即 9a1+18d＝ 27， ∴ a1+2d＝ 3， ∴ a2+a4＝2（ a1+2d）＝ 6， 故选： B． 【点评】 本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题．
A ．10
B ．12
） C． 16
D． 20
6．（ 5 分）已知数列 { an}满足 a1＝ 2， an+1＝
，则an＝（
）
A ．2n
B ．n+1
7．（ 5 分）设a、 b∈R ，原命题“若 x＞ （ a+b）
C． +1
D．
2，则x＞ a2+b2”，则关于其逆命题、否命
题、逆否命题的结论正确的是（
）
＝ x +y ，则＝
．
16．（5 分）如图，△ ABC 中，∠ ACB 为钝角， AC＝ 10， BC＝ 6，过点 B 向∠ ACB 的角平分
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线引垂线交于点 P，岩 AP＝6 ，则△ ABP 的面积为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10 分）△ ABC 内角 A，B， C 的对边分别为a，b， c，已知（ 2b﹣a） cosC＝ c?cosA．
2
【解答】 解：∵ 原命题： “设a、 b∈R，原命题“若 x＞ （ a+ b） ，则x＞ a
22
+b ”，是假
命题， ∴ 原命题的逆否命题是假命题； 原命题的逆命题： “若 x＞a2+b2，则x＞ （ a+b） 2”，是真命题 ，
∴ 原命题的否命题是真命题．
故选： A．
【点评】 本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，
5．（5 分）已知 E、F 分别为椭圆 + ＝ 1 的左、 右焦点， 倾斜角为 60° 的直线 l 过点 E，
且与椭圆交于 A， B 两点，则△ FAB 的周长为（
）
A ．10
B ．12
C． 16
D． 20
【分析】 利用椭圆的简单性质，椭圆的定义，转化求解三角形的周长即可．
【解答】 解：椭圆 + ＝1，
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2018-2019 学年湖南省三湘名校教育联盟高二（上）期中数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
2﹣2x﹣3＞0} ，且 A∪ B＝ R，则集合 B 可以是（
）
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x|x
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．
13．（5 分）已知等比数列 { an} 的前 n 项和为Sn， ＝ 4，则＝
．
14．（5 分）已知向量 ＝（ 2，sinα）， ＝（1，cosα ），且 ∥ ，则sin（ α ﹣π ）cos（ +α）
tan（﹣α ）＝
．
15．（5 分）在△ ABC 中， | |＝ | |，∠ BAC＝ 120°，过点 A 作 AB 的垂线交 BC 于点 D，
9．（ 5 分）要得到函数 f（ x）＝ cos2x﹣sin（﹣2x）的图象，只需将函数 g（ x）＝ cos2x
的图象（
）
A ．向左平移 个单位
B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位
10．（5 分）当 x∈（0， +∞ ）时， ax A ．（﹣∞ ，﹣]
D．向右平移 个单位
2﹣3x+ a≥ 0 恒成立，则a 的取值范围是（
是基础题．
8．（ 5 分）下列函数中，最小周期为π 且为偶函数的是（
）
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A ．f（x）＝ sin|2x| B ． f（ x）＝ tan（ x﹣） C． f（ x）＝ |cos2x| D ．f（x）＝ 【分析】 利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】 解：∵ f（ x）＝ sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为＝ ，故排除 A； 由于 f（ x）＝ tan（ x﹣）为非奇非偶函数，故排除 B； ∵ f（ x）＝ |cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为＝ ，故排除 C；
【解答】 解：数列 { an}满足 a1＝2， an+1＝
，
可得：
＝ ，所以数列
是等差数列，可得：
＝，
可得 an＝ ，
故选： D ．
【点评】 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．
7．（ 5 分）设a、 b∈R ，原命题“若 x＞ （ a+b）
2，则x＞ a2+b2”，则关于其逆命题、否命
A ．{ x|x≥ 3}
B ．{ x|x≥ ﹣1}
C． { x|x＜ 3}
D． { x|﹣1＜ x＜ 3}
【分析】 可解出集合 A＝{ x|x＜﹣1，或 x＞ 3} ，并且 A∪ B＝ R 从而得出 B 可以是 { x|x≥ ﹣
1} ． 【解答】 解：∵ A＝ { x|x＜﹣1，或 x＞ 3} ，且 A∪B＝ R；
）
B． [﹣， ]
C．[ ，+∞）
D．（﹣∞ ，﹣]∪ [ ， +∞ ）
11．（5 分）已知 P 是椭圆E： + ＝1（ a＞ b＞ 0）上异于点 A（﹣a， 0），B（ a， 0）的
一点， E 的离心率为，则直线AP 与 BP 的斜率之积为（
）
A ．﹣B ．
C．﹣D ．
12．（5 分）在△ ABC 中，若（ 3﹣）⊥ ，则角 A 的最大值为（
（ 1）求角 C；
（ 2）若 c＝ 7，△ ABC 的面积为10 ，求△ ABC 的周长．
*．
18．（12 分）记Sn 为数列 { an} 的前 n 项和，已知
， n∈N
（ 1）求数列 { an} 的通项公式； （ 2）设，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn．
19．（12 分）已知 x，y 满足约束条件
21．（12 分）设函数 f（ x）＝ cos（ 2x﹣） +2sin（ x﹣） sin（ x+ ）．
（ 1）求 f（ x）的单调递减区间及其图象的对称轴方程；
（ 2）若 f（ x）在区间[﹣， a]上的值域为[﹣， 1]，求实数 a 的取值范围．
22．（12 分） 已知椭 圆C： + ＝1（ a＞ b＞ 0）的一个顶点为A（﹣3，0），且经过点 （ 2，
2018-2019 学年湖南省三湘名校教育联盟高二（上）期中数学试
卷（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
2﹣2x﹣3＞0} ，且 A∪ B＝ R，则集合 B 可以是（
）
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x|x
A ．{ x|x≥ 3}
∵ f（ x）＝
＝
＝ cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为＝
π ，故 D 满足条件， 故选： D ． 【点评】 本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．
9．（ 5 分）要得到函数 f（ x）＝ cos2x﹣sin（﹣2x）的图象，只需将函数 g（ x）＝ cos2x
的图象（
）
A ．向左平移 个单位
B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位
D．向右平移 个单位
【分析】 利用诱导公式、函数 y＝ Asin（ω x+φ ）的图象变换规 律，得出结论．
【解答】 解：函数 f（ x）＝ cos2x﹣sin（﹣2x）＝ cos2x﹣（ cos2x﹣sin2x）＝
cos2x+ sin2x＝ cos（ 2x﹣），
．
（ 1）若 z＝﹣mx+y 取得最小值的最优解有无数多个，求 （ 2）求 z＝ x2+y2的取值范围．
m 的值；
20．（12 分）已知数列 { bn} 的前 n 项和为Sn，Sn+bn＝ 2．等差数列 { an}满足 b1a2＝ 3， b1+a5 ＝ 7．
（ 1）求数列 { an} ， { bn} 的通项公式； （ 2）证明： a1b2+a2b3+⋯ +anbn+1＜ 3．
）
A ．﹣B ．
C．﹣D ．
4．（ 5 分）已知等差数列 { an} 的前 n 项和为Sn， S3+S6＝ 27，则a2+a4＝（
A ．3
B．6
C． 9
） D． 12
5．（5 分）已知 E、F 分别为椭圆 + ＝ 1 的左、 右焦点，倾 斜角为60°的直线l 过点 E，
且与椭圆交于 A， B 两点，则△ FAB 的周长为（
∴ 符合条件的只有 B．
故选： B．
【点评】 考查描述法的定义，以及并集的定义及运算．
2．（ 5 分）命题p： ? ， x＜ sinx
B． ? x≥ 0， x＜ sinx
C．?x＜0， x＜ sinx
D． ?x≥ 0， x＜ sinx
【分析】 根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．
B ．{ x|x≥ ﹣1}
C． { x|x＜ 3}
D． { x|﹣1＜ x＜ 3}
2．（ 5 分）命题p： ? x≥ 0， x≥ sinx，则￢ p（ ）
A ．?x＜ 0， x＜ sinx
B． ? x≥ 0， x＜ sinx
C．?x＜0， x＜ sinx
D． ?x≥ 0， x＜ sinx
3．（ 5 分）已知 ， 均为单位向量， | + |＝ ，则（ 2 + ）?（﹣）＝（
可得 a＝ 5，
三角形 AF 2B 的周长＝ |AF 2|+|BF 2|+|AB|， |AB|＝ |AF1|+|BF1|， 所以：周长＝ |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|， 由椭圆的第一定义， |AF1|+|AF 2|＝ |BF1|+|BF2|＝ 2a＝ 10， 所以，周长＝ 4a＝ 20．
【解答】 解：命题p： ? x≥ 0， x≥ sinx，则￢ p 为?x≥ 0， x＜sinx，
故选： D ．
【点评】 本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定
方法是解答的关键．
3．（ 5 分）已知 ， 均为单位向量， | + |＝ ，则（ 2 + ）?（﹣）＝（
）
A ．﹣B ．
故选： D ．
【点评】 本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，
属于基本知识的考查．
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6．（ 5 分）已知数列 { an}满足 a1＝ 2， an+1＝
，则an＝（
）
A ．2n
B ．n+1
【分析】 利用数列的递推关系式，推出
C． +1
D．
是等差数列，然后求解数列的通项公式．
题、逆否命题的结论正确的是（
）
A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题 ，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题 ，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，道否命题为真命题 【分析】 判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的
逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．
）． （ 1）求椭圆C 的方程；
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（ 2）过点 A 作斜率为 k（ k≠0）的直线 l 交 C 于另一点 D，交 y 轴点 E，P 为线段 AD 的 中点， O 为坐标原点，是否存在点 Q 满足对于任意的 k（k≠ 0）都有 OP⊥ EQ？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
C．﹣D ．
【分析】 由已知结合向量数量积的性质可求
，代入即可求解．
【解答】 解：∵ ， 均为单位向量，且 | + |＝ ，
∴ 3＝
，
第 5 页（共 18 页）
∴
＝，
则（2 + ）（? ﹣ ）＝
＝，
故选： B．
【点评】 本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
4．（5 分）已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn， S3+S6＝ 27，则 a2+a4＝（