高三数学第二次联合考试试题理word版本

福建省晋江市四校2017届高三数学第二次联合考试试题 理
第I 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知i 为虚数单位，复数满足
，则为（ ）
（A ） （B ）1 （C ） （D ）
（2）已知集合
,
，则
（ ）
（A ）（B ）
（C ）
（D ）
（3）执行右面的程序框图，如果输入的的值为1，则输出
的的值为（ ） （A ）4 （B ）13 （C ）40
（D ）121
（4）数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{
}是等差数列，
则a 4=( ) （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
（5）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的
代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步， 问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两 直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少 步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概 率是（ ） （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
（6）已知a >0，b >0，则1a ＋1
b
＋2ab 的最小值是( )
（A）2（B）（C）4（D）5
（7）如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为
的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中
点，底边在直径上，则它的表面积是（）
（A）（B）（C）（D）
（8）下列四个图中，函数的图象可能是（）
（A）（B）（C）（D）
（9）已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，
则实数的取值范围是（）
（A）（B）（C）或（D）
（10）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足
|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) （A）（B）（C）2 （D）
（11）已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为（）
（A）（B）（C）3 （D）6
（12）已知函数满足下列条件：①定义域为；②当时；
③.若关于x的方程恰有3个实数解，则实数k的取值范
围是（）
（A）（B）（C）（D）
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）等边△ABC的边长为2，则在方向上的投影为．
（14）过抛物线上任意一点向圆作切线，切点为，则的最小值等于_______．
（15）已知数列满足则的最小值为________．
（16）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知.
(I)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；
(II)若a＝，求△ABC面积的最大值.
（18）（本小题满分12分）
由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某校随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面梯形中，，
平面平面是等边三角形，已知
.
（I）求证：平面平面；
（II）求二面角的余弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，过点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）过A（-a，0)且互相垂直的两条直线l1、l2与椭圆C的另一个交点分别为P、Q.
问：直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由。

（21）（本小题满分12分）
已知，函数，曲线与轴相切．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
请考生在第（22）（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：，以O 为极点，轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知直线
：
，射
线
与曲线C 的交点为P ，
与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f (x )＝|x －a |＋x .
(I)当a ＝2时，求函数f (x )的值域；
(II)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立时a 的取值范围． 2017届高三年毕业班第二次联合考试答案（理科数学） 一、选择题：（每小题5分，共60分） （1）A （2）B （3）C （4）A （5）C （6）C （7）C （8）D （9）D （10）B （11）B （12）D 二、填空题（每小题5分，共20分） （13）-1 （14）
（15）
（16）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 解：(I)由
两边平方得2sin 2
A ＝3cos A ……………………………………1分
即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝1
2………………………………………………3分
而a 2
－c 2
＝b 2
－mbc 可以变形为
……………………………………4分
即cos A ＝m 2＝1
2
，所以m ＝1………………………………………………………………6分
(II)由(I)知cos A ＝12，则sin A ＝3
2 (7)
分
永春一中 培元中学 季延中学 石光中学
由得bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2
……………………………9分
故S △ABC ＝bc 2sin A ≤a22·32＝33
4
（当用仅当
时，等号成立）…………………
11分
∴△ABC 面积的最大值为33
4.
（18）（本小题满分12分）
解：（I ）众数：4.6和4.7；中位数：4.75……………………………………………………3分 （II ）设表示所取3人中有个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件，则
…………………………………6分
（III ）的可能取值为0，1，2，3
的分布列为 …………………10分
………………………………………………………………………12分
（19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在
中，由于
,
,故
．……………2分
又
，
，……………4分
又，故平面平面
……………6分 （II ）如图建立
空间直角坐标系，，
，
，
，
，
， (7)
分
设平面的法向量,
由
令, ． (8)
分
设平面的法向量,
由，令， (9)
分
………………………………………………………………
11分
二面角的余弦值为 (12)
分
（20）（本小题满分12分）
解：解：（I）由已知得，解得………………………………………………3分
∴椭圆C的方程为………………………………………………………………4分（II）由（I）知，设
①当轴时，不妨设l1、l2的斜率分别为1，－1，则
联立椭圆方程得，同理
此时直线PQ与x轴交于点………………………………………………………6分
②当直线PQ与x轴不垂直时，设线PQ方程为
代入整理得
∴，………………………………………………8分∵，，
∴
即
∴…………………………………………9分
∴
化简得，解得或……………………………………10分
当时，直线PQ与x轴交点与A重合，不合题意。

∴直线PQ与x轴交于点…………………………………………………………11分综上所述，直线PQ经过定点。

……………………………………………………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设切点为，， (1)
分
依题意即解得 (3)
分
所以
，
．当变化时，
与
的变化情况如下表：
所以
的增区间为
，减区间为
上单调递减． (5)
分
（Ⅱ）存在，理由如下：……………………………………………………………………
6分
等价于
或
令，，
则
，
设，，
①若，则当时，，，所以；
当时，，，所以
，
所以在单调递减区间为，单调递增为
又，所以，当且仅当时，
从而在
上单调递增，又
，
所以
或
即
成立． (9)
分
②若
， 因为
，
所以存在，使得
，因为在单调递增，
所以当时，，在
上递增， 又，所以当时，
，
从而在
上递减，又，所以当时，，
此时不恒成立；…………………………………………………11分
③若
，同理可得
不恒成立．
综上所述，存在实数
． (12)
分
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（I ）曲线的普通方程为
又
,
，
所以曲线的极坐标方程为
…………………………………5分
（II ）设，由，解得，
设，由，解得
所以…………………………………………………………10分
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：(I)由题意得，当a ＝2时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －2，x≥2，
2，x<2.
∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的值域为[2，＋∞)．…………………………………………………………5分(II)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，
有|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.
而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|（当用仅当时，等号成立）
∴|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.…………………………………………………10分。