2013年北京中考数学试卷解析

2013年北京中考数学试卷解析
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了共计约3960
亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为
A．39.6×102B．3.96×103C．3.96×104D．0.396 ×104
【考点】科学记数法与有效数字。

【难度】容易
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．该题目在初三强化提高班专题讲座第一章数与式第02讲科学计数法部分做了专题讲解，中考原题与讲义中
给出的题目只是数字不同，考查知识点完全相同。

【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于3960有4位，所以可以确定n＝4﹣1＝3。

有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字。

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方
无关．3960≈3.96×103．故本题答案选B．
2．的倒数是
【解析】两数互为倒数，两数之积为零。

【考点】倒数。

【难度】容易
【点评】本题考查倒数的基本概念，这种题型的题目在北京近年中考一般会考，该题目在初三强化提高班专题讲座第一章数与式第01讲实数部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。

【解析】两个数互为倒数，积为1.
故本题答案选D.
3．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一
个小球，其标号大于2的概率为
【考点】概率公式
【难度】容易
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m/n．该题目在初三强化提高班专题讲座第八章中考总复习第01讲中考综合复习串讲（3）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的
知识点及解题方法完全相同，另外讲义中的例题对概率问题做了详细说明。

【解析】根据题意可得：口袋中装有5个完全相同的小球，标号大于2的数字有3个，其标号大于2的概率为，故本题答案选C．
4．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝∠2，若∠3＝40°，则∠4等于
A．40°B．50°C．70°D．80°
【考点】相交线夹角
【难度】中等偏下
【点评】该题目在初三强化提高班专题讲座第一章相交与平行第01讲相交与平行线（3）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同，另外讲义中的例题对角的求法都做了详细说明。

【解析】∠1=∠2，∠3＝40°，可知，∠1=∠2=70°，a∥b，∴∠4=∠1=70°
故本题答案选C.
5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD ⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河
的宽度AB等于
A．60m B．40m C．30m D．20m
【考点】相交线夹角
【难度】中等偏下
【点评】该题目在初三强化提高班专题讲座第六章相似三角形专题复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同，另外讲义中的例题对相似问题
都做了详细说明。

【解析】根据△ABE∽△DCE，所以，，BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，可知，AB=40
故本题答案选C
6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
【考点】轴对称图形
【难度】中等偏下
【点评】该题目在初二强化提高班专题讲座第二章轴对称第01讲轴对称图形部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是图形，考查的知识点及解题方法完全相同。

【解析】根据轴对称图形、中心对称的概念，可知A是中心对称图形，不是轴对称对称。

故本题答案选A
7．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时） 5 6 7 8
人数10 15 20 5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是
A．6.2小时B．6.4小时C．6.5小时D．7小时
【考点】平均数
【难度】容易。

【点评】本题为统计题，考查平均数的意义，该题目在初三强化提高班专题讲座第八章中考总复习第01讲中考综合复习串讲（1）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同，另外讲义中的例题对中位数、众数的求法都做了详细说明。

【解析】根据平均数概念，得平均数为==6.4
故本题答案选B．
8．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
【考点】动点问题的函数图象。

【难度】中等。

【点评】本题是一道数形结合的题目。

主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据题意得出函数关系本题的关键．该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第四章函数第05讲二次函数综合题讲评（1）讲座2 二次函数复习（六）部分都做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目考查的知识点及解题方法完全相同。

老师对具体的分析方法等都做了详细讲解。

【解析】第一个特殊点（根号，0.5），也是面积的最大点；第二，三角形AOP的面积，底边AO一定，所以面积的变化和高OP有关，高的增加是开始增加的快，然后越来越慢，到x＝的时候，高开始减小，而且减小的越来越快。

所以选择A.故本题答案选A.
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：ab2－4ab＋4a＝________．
【考点】提公因式与公式法的综合运用
【难度】中等。

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第一章数与式第04讲多项式及因式分解部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。

而且，老师讲义中的题目要比中考的这道题复杂得多。

涉及了分组分解法等较难的因式
分解题目。

【解析】
故本题答案为：.
10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y＝________．
【考点】求抛物线解析式
【难度】容易。

【点评】本题考查了已知某点，求抛物线的解析式。

关键是理解y轴交于点（0，1）点．该题目在初三强化提高班讲座2 专题讲座二次函数复习（一）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。

而且，老师讲义中的题目要比中考的这道题复杂得多。

涉及了较难的二次函数抛物线的题目。

【解析】根据题目，此抛物线经过y轴交于点（0，1）然后画图可知，这样的抛物线有很多，我们写出一
个解析式就可以，根据图形，我们可知符合题意
故本题答案为：
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM
的周长为＝________．
【考点】矩形周长
【难度】中等。

【点评】本题考查了矩形的相关性质，求矩形周长。

关键是理解矩形的相关性质该题目在初三强化提高班第五章矩形、菱形第01讲矩形、菱形（一）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。

而且，老师讲义中的题目要比中考的这道题复杂得多。

涉及了较难的矩形的题目。

【解析】根据题目和矩形的性质，可知，，则四边形ABOM 的周长为=AB+AM+MO+BO=5+6+6.5+2.5=20
故本题答案为：20
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝－x－1，双曲线，在l上取一点A1，过A1
作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，…．记
点An的横坐标为a n，若a1＝2，则a2＝________，a2013＝________；若要将上述操作无限次地进行下云，则a1不能取的值是＝________．
【考点】双曲线点坐标
【难度】中等。

【点评】本题考查了双曲线的相关性质，双曲线点的坐标。

关键是理解双曲线的相关性质该题目在初三强化提高班第八章总复习第01讲中考综合题（一）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。

而且，老师讲义中的题目要比中考的这道题复杂得
多。

涉及了较难的双曲线的题目。

故本题答案为：
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．
【考点】全等三角形的判定与性质；
【难度】中等。

【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是先证明全等，再求BC=AE．该题目在初二强化提高班专题讲座第一章全等三角形第01讲全等三角形综合复习（三）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。

【解析】
证明：∵DE ∥AB
∴∠CAB=∠ADE
在△ABC 与△DAE 中
∴△ADE ≌△BAC （ASA）
∴BC=AE
14．计算：
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。

【难度】中等。

【点评】本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运算法则，此类题目同学最容易在正负号上摔跟头，平时练习时一定要仔细．该题目在初三强化提高班专题讲座第八章中考总复习第02讲中考综合复习串讲（1）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的除了数字外几乎一致，解题方法完全相同。

老师对具体的分析方法等都做了详细讲解。

【解析】
15．解不等式组：
【考点】解一元一次不等式组。

【难度】中等
【点评】此题主要考查了不等式的解法，一定要注意符号的变化和不等号的变化情况．这是同学最容易丢分的地方。

该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第三章不等式（组）第01讲不等式部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的除了数字外几乎一致，解题方法完全相同。

讲义中的例题比这道题
要难，老师对具体的分析方法等都做了详细讲解。

【解析】
16．已知x2－4x－1＝0，求代数式（2x－3）2－（x＋y）（x－y）－y2的值．
【考点】整式的混合运算-化简求值。

【难度】中等
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键．该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第一章数与式第03讲代数式第八章中考总复习第02讲中考综合复习串讲（1）部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的除了数字外几乎一致，解题方法完全相同。

讲义中的例题比这道题要难，老师对具体的分析方法等都做了详细讲解。

【解析】
17．列方程或方程组解应用题：
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提
前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．
【考点】分式方程的应用。

【难度】中等。

【点评】本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系，这里最容易出问题的地方就是：增根和无解。

同学一定要清晰的理解他们的区别和联系。

该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第一章数与式第05讲分式及分式的相关运算部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查
的知识点及解题方法完全相同。

【解析】
18．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【考点】二元一次方程跟的判别式
【难度】中等
【点评】本题主要考察一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b z-4ac，该题目在初三强化提高班专题讲座。

第二章函数第02讲一元二次方程部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。

而且，老师讲义中的题目要比中考的这道题复杂得多。

【解析】
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝1/2BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【考点】四边形的判定与性质；勾股定理。

【难度】中等
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，注意寻找求相关直线的关系的．该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第三章多边形与平行四边形第04讲多边形综合题目选讲部分做了专题讲解，中考原题与讲义中的2道题十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。

如果能把这两道题弄
懂，本题容易求解。

【解析】
20．如图AB是O的直径，PA，PC与O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO
交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠EPD＝∠EDO；
（2）若PC＝6，tan∠PDA＝3/4，求OE的长．
【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；
解直角三角形。

【点评】本题是关于圆与直线、三角形综合运用的习题，该题目
在初三强化提高班讲座1 专题讲座第七章圆的专题练习第05讲直线与圆
的位置关系部分做了专题讲解，中考原题与讲义中的2道题十分相似，考查的
知识点及解题方法完全相同。

如果能把这两道题弄懂，本题容易求解。

【难度】中等偏上。

【解析】
21．第九界中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。

（1）第九界园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，
牡丹园面积为平方千米；
（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八届园博会的水面面积
之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待
游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系。

根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出
结果，精确到百位）。

第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
【考点】条形统计图；统计表。

【难度】中等偏上。

【点评】本题考查了统计表、条形统计图的知识，难度较大，注意解答此类综合题目时要抓住每种统计图的特点，不要弄混．该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第八章总复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。

【答案】
22．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a>2）的正方形ABCD各边上分别截
取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当AFQ＝BGM＝GHN＝DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积。

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）。

请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长
为；
（2）求正方形MNPQ的面积。

参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边
【考点】正方形综合题。

【难度】中等。

【点评】本题考查了正方形的综合运用。

该题目在部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分
相似，考查的知识点及解题方法完全相同。

【答案】
五、计算题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2 m≠0 与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在－2 x －1这一段位于直线l的上方，并且在2 x 3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。

【考点】一次函数、二次函数综合题。

【难度】中等。

【点评】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。

此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n的取值范围该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第八章总复习讲座2 综合复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。

【解析】
24．在△ABC中，AB＝AC，BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，BCE＝150°，ABE＝60 °，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC＝45°，求α的值。

【考点】几何综合题。

【难度】中等。

【点评】本题考查了几何的综合运用，该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第八章总复习讲座2 综合复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完
全相同。

【解析】
25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB
＝
60°，则称P为⊙C的关联点。

（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是＿＿＿＿＿＿＿；
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO＝30 ，若直线l上的点P（m，n ）是⊙O的关联
点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。

【考点】二次函数综合题。

【难度】中等。

【点评】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。

此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n的取值范围该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第八章总复习讲座2 综合复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。

【解析】。