工程力学课件第3章：力偶系

一、力对轴之矩的定义
§3-2 力对轴之矩
M z (F ) M O (Fxy ) Fxyh
力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴 与平面交点之矩。
⑴ 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则 确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。
⑵ 力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。 (3) 合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数 和。
(F
2
)
M
z
(F
)2
力对点之矩矢的方向
cos( M O，i )
M x (F ) MO (F )
cos(MO，j)
M y (F ) MO (F )
cos( M O，k )
M z (F ) MO(F)
通过计算力对轴之矩实求：力P对点O的矩。
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x (F ) M x (Fy ) M x (Fz ) -zFy + yFz M y (F ) M y (Fz ) M y (Fx ) -xFz + zFx M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) -yFx + xFy
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
M x (P) M x (Px ) M x (Py ) M x (Pz ) 0 0 6Pz 6Psin 45 84.8(N m)
M y (P) M y (Px ) M y (Py ) M y (Pz ) 0 0 5Pz 5P sin 45 70.7(N m)
MO (P) 84.8i 70.7 j 38.2k
My MR
cos(MR，k)
Mz MR
平面力偶系的合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
例： 三力偶如图示，已知 F1 F1' 100N, 力偶臂d1=200mm， F2 F2' 120N，力偶臂d2=300mm ， F3 F3' 80 N，
力偶臂d3=180mm，求其合力偶矩。 解：三个分力偶的力偶矩大小为：
MO (F ) ( yFz - zFy )i (zFx - xFz ) j (xFy - yFx )k [MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
M x (F ) -zFy + yFz
M y (F ) -xFz + zFx M z (F ) -yFx + xFy
§3-4 力偶的等效条件和性质
一、力偶的等效条件
力偶矩矢等效条件是两个力偶矩矢相等。
二、力偶的性质
1.力偶的性质一 力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。
2.力偶的性质二
力偶中的两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关， 恒等于力偶矩矢量。
MO(F ) MO(F ) rA F rB F rA F rB F
(rA rB ) F rBA F M
F ' F
3. 力偶的性质三 ⑴ 力偶在其作用平面内可任意转移或移到另一平 行平面，不改变对刚体作用效应。
⑵ 保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力 偶中的力和力偶臂，不改变对刚体的作用效应。
力偶在同一刚体内是一自由矢量
§3-5 力偶系的合成
M rBA F rBA (F3 F4 ) rBA F3 rBA F4 M1 M2
MOD (F ) = MO (F )cos 4 0.371 1.485kN.m
§3-3 力偶矩矢
力偶：作用于刚体上等值、反向、平行而不共线的两 个力组成的力系，记为（ F ,）F '
力偶作用面、力偶臂d
力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动。 力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。
OA O1 Asin 30o
例：在直角三角形棱柱体的三个侧面上各受一力偶作用，力 偶矩矢量分别为M1 、M2 、M3 ，如图所示。已知M1=100N·m ，保 持物体平衡时求M2 、M3 。
解: 根据空间力偶系的平衡条件，力偶矩矢M1 、M2 、M3构成 一封闭多边形，如图所示，由图可得
M2 M1 100N m M3 2M1 141N m
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
一、平面中力对点之矩
力对点之矩：力使刚体绕点（矩心）转动效应的度量。
MO (F ) Fh 2SOAB
平面中力对点之矩的正负规 定：力使刚体绕点逆时针转为正， 顺时针转为负。
+-
二、力对点之矩矢
1.力对点之矩矢的定义
空间问题中引用力对点之矩 矢度量力使刚体绕某点的转动 效应。
力偶对物体的转动效应用力偶矩矢M 来度量。
M rBA F
⑴ 力偶矩矢的大小：|M| = |rAB×F| = Fd ；力偶矩 矢的方位：力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手螺 旋法则确定。
⑵ 力偶矩矢的解析表示式：M = Mx i + My j + Mz k ⑶ 平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表 示力偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。
力偶系合成为一合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各分 力偶的力偶矩矢之矢量和。
MR M1 M2 Mn M
MR M1 M2 Mn M
合力偶矩矢的大小
MR ( M x )2 ( M y )2 ( Mz )2
合力偶矩矢的方向
cos(MR，i)
Mx MR
cos(MR，j)
力偶系平衡的充分且必要条件是各力偶矩矢在直角坐 标系各轴上投影的代数和分别等于零。
平面力偶系平衡的充分且必要条件是力偶矩代数和为零。
例：三铰拱 AC 的部分上作用有力偶，其力偶矩为 M 。已知 两个半拱的直角边成正比，即 a : b = c : a ，不计三铰拱自重，求
A、B 两点的约束力。
解：各杆受力图如图，由几何关系可得FA 、FC 垂直于AC 。建立平衡方程
MO MO(F1) MO(F2 ) MO(Fn ) MO(F )
4.合力矩定理 FR F1+ F2+ Fn
MO (FR ) r FR r (F1 F2 Fn ) r F1 r F2 r Fn MO (F1 ) MO (F2 ) MO (Fn )
解： 先以曲柄OA 和套筒为研究对象，对于曲柄和套筒力偶 只能与力偶平衡，故力FA 、FO 必构成力偶。受力图如图，建立 平衡方程
M 0:
M1 FA OAsin 30o 0
再以杆O1B 为研究对象，受力图如图，建立平衡方程
M 0 : M2 FA O1 A 0
由于 FA FA
解得： M2 4M1
i jk MO(F) r F x y z
Fx Fy Fz
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
MO (F ) 的解析表达式
[MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
3.力对点之矩矢的基本性质
力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产生 的绕点的转动效应可用一个力矩矢度量，等于各力对 点之矩矢的矢量和。
MO(F) MO(FR ) MO(F1) MO(F2 ) MO(Fn ) MO(F )
平面力系合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一 点之矩的代数和。
例：求图所示力F 对A 点之矩。
解：将力F 分解两垂直的力Fx 、Fy ，由合力矩定理可得
MA (F ) MA (Fx ) MA (Fy ) F cos b F sin a
解：①将力向坐标轴方向分解；（二次投影法）
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
②求力对轴的矩
M z (P) M z (Px ) M z (Py ) M z (Pz ) 6 Px (5 Py ) 0 6P cos 45sin 60 5P cos 45cos 60 38.2(N m)
M y 20 0.3777, MR 52.95
cos(MR , k)
Mz 48.5 0.9160 MR 52.95
§3-6 力偶系的平衡条件
力偶系作用下刚体平衡的充分且必要条件：合力偶矩矢 等于零，即力偶系n 个力偶矩矢的矢量和等于零。
M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
空间力偶系的 平衡方程
例 试求力F对OD之矩。F=10kN，各边长分别为20cm、 30cm、40cm。
解：由于力对OD之力臂不是很明 了，故先求出力对O点之矩矢，再 将其投影到OD上去
[MO(F)]OD = MOD(F)
MO(F) = 0.4×10i = 4i kN·m
cos OA
20
20 0.371
OD 20 2 30 2 40 2 53.85
力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。
MO
(
F
) x
M x (F )
MO(F )y M y (F )
MO
(
F
) z
M z (F )
力对点之矩矢可表示为 MO (F ) M x (F )i M y (F ) j M z (F )k
力对点之矩矢的大小
MO(F )
M
x
(F
)2
M
y
M1 100 0.2 20 N.m M 2 120 0.3 36 N.m
M 3 80 0.18 14.4 N.m
根据合力偶矩矢在某一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢 在同一坐标轴上的投影之代数和，有：
M Rx M x = M3 sin 30 7.2 N.m
M Ry M y = M1 20 N.m
M Rz M z = M 2 M3 cos 30 48.5 N.m
合力偶矩矢MR的大小和方向余弦分别为：
MR
M
2 Rx
M
2 Ry
M
2 Rz
7.22 202 48.52 52.95 N.m
cos(MR , i)
M x 7.2 0.1360, MR 52.95
cos(MR , j)
定义：力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径 与力的矢量积。
MO(F) r F
力矩矢的大小（转动效应的强度）
MO (F ) Fr sin(r, F ) Fh = 2SΔOAB
力矩矢的方向： （定位矢量）
方位：力与矩心所确定平面的法向 指向：右手螺旋法则判定
2. 力对点之矩矢的解析表达式
r xi yj zk F Fxi Fy j + Fzk
M 0:
M FA a2 b2 0
解得： FA
M a2 b2
FB FC FC FA
M a2 b2
例：图示机构，套筒A 穿过摆杆 O1B ，用销子连接在曲柄OA
上，已知长为 a ，其上作用有力偶 M1 。在图示位置β=30o ，机械
能维持平衡。不计各杆自重及摩擦，试求在摆杆 O1B 上所加力偶 的力偶矩 M2 。