《2。4解直角三角形》能力达标专题提升训练21-22鲁教版(五四制)九年级数学上

2021年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》能力达标专题提升训练（附答案）1．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（）
A．B．C．D．h•cosα
2．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）
A．h1＝h2B．h1＜h2
C．h1＞h2D．以上都有可能
3．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）
A．B．2C．D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（）
A．B．C．D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，则下列选项中不能表示tan B 的是（）
A．B．C．D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AC＝CB，sin∠ACD＝，则tan∠BDC的值是（）
A．B．C．D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC相交于点E，则tan∠CAE的值为（）
A．B．C．D．
10．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．
11．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD＝2，那么tan∠BCD＝．
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cos C＝，AB＝10，AC＝6，则BC的长为．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，E为AC中点，连接BE交AD于点F，若cos∠CAB＝，求＝．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，．求sin A的值．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求∠EBD的正弦值；
（2）求AD的长．
17．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝．（1）求CD的长；
（2）求tan B的值．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cot B＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
参考答案
1．解：∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD＝α，
在Rt△BCD中，
∵cos∠BCD＝，CD＝h，
∴BC＝．
故选：B．
2．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE 即h2，
在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，
在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，
∴h1＝h2，
故选：A．
3．解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
故选：B．
4．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
5．解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．
6．解：如图：
∵∠A＝120°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠CBD+∠BCE＝（180°﹣∠2）+（180°﹣∠1）＝360°﹣（∠1+∠2）＝300°，
∵BM，CM分别是△ABC的外角平分线，
∴∠3+∠4＝∠BCE+∠CBD＝（∠BCE+∠CBD）＝150°，
∴∠M＝30°，
∴∠M的余弦值是，
故选：D．
7．解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，
∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，
又∵∠C+∠B＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
在Rt△ABC中，tan B＝，故A可以表示；
在Rt△ABD中，tan B＝，故B可以表示；
在Rt△ADCz中，tan B＝tan∠DAC＝，故C可以表示；
D不能表示tan B；
故选：D．
8．解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，过点C作CH⊥BD于H．
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，DE⊥EC，
∴∠ACE＝∠E＝90°，
∴四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE，AC＝DE，
∵sin∠ACD＝＝，
∴可以假设AD＝3k，CD＝5k，则AC＝BC＝DE＝4k，
∴BE＝BC+CE＝7k，
∴BD＝＝＝k，
∵S△CBD＝•BC•DE＝•BD•CH，
∴CH＝k，
∴DH＝＝＝k，∴tan∠BDC＝＝．
故选：C．
9．解：连接DE，如图所示，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CE＝1.5；
∴tan∠CAE＝＝．
故选：A．
10．解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，
∵BC＝，BD＝，
∴sin∠ACB＝，
故答案为．
11．解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC＝，OB＝1，
∴BC＝＝2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝＝2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
12．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD．
∴∠ACD＝∠DAC＝45°．
∴∠ADC＝90°．
∵AD＝2，
∴CD＝AD＝2，AC＝AD＝2．
∵AB＝AC，
∴AB＝2．
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣2．
在Rt△BDC中，tan∠BCD＝＝．故答案为：．
13．解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∵cos C＝，
∴．
∴CD＝AC＝×6＝3．
∴AD＝．
在Rt△ADB中，
BD＝．
∴BC＝CD+BD＝3+．
故答案为：3+．
14．解：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，
设AE＝CE＝a，
∴AC＝2a，
∵cos∠CAB＝＝＝，
∴AB＝3a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2+AC2＝AB2，
∴BC＝＝a，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，
过D作DQ⊥AB，垂足为Q，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴CD＝DQ，
∴DQ+DB＝CD+DB＝BC＝a，
cos∠ABC＝＝＝，
即cos∠QBD＝，
∴sin∠QBD＝＝，
∴sin∠QBD＝＝＝，
又∵CD+BD＝a，
∴解得：CD＝a，BD＝a，
∴A（0，2a）、D（a，0）、B（a，0）、E（0，a），设l AD：y＝k1x+b1，l BE：y＝k2x+b2，
∴，，
解得：，，
∴l AD：y＝﹣x+2a，l BE：y＝﹣x+a，
联立，
解得：，
∴F（a，），
∴S△AEF＝a×a＝a2，
S△BDF＝×a×＝a2，
∴＝×＝．
解法二：由DQ＝DC，根据同高（等高），面积比＝底的比，可得CD：DB＝AC：AB＝2：3，
连接CF，设S△CEF＝x，S△CDF＝2y，∴S△AEF＝x，S△BDF＝3y，S△ABF＝3x，利用E为中点，得x+3x＝x+5y，
∴x＝y，
∴S△AEF：S△BDF＝x：3y＝5：9．
15．解：过点C作CD⊥AB，
在Rt△CDB中，
∵sin B＝＝，
设CD＝4x，BC＝5x，
则BD＝3x，
∴AD＝10﹣3x，
在Rt△CDA中，由勾股定理得，
AC2＝AD2+CD2，
即102＝（10﹣3x）2+（4x）2，
整理得：25x2﹣60x＝0，
解得：x＝2.4或x＝0（舍去），
∴CD＝4x＝9.6，
在Rt△CDA中，
sin A＝＝＝．
16．解：（1）∵AD＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，
又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，∴∠EBD＝∠ABC，
∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝，
∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，
∴AF＝1，
又∴△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，
∴AD＝2AF＝2．
17．解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝，
∴BD＝＝，
Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC＝，
Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，
∴，解得AH＝，HD＝，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE＝＝，
∴BE＝BD+DH+HE＝，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG＝．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴＝，
即，
∴BE＝，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴，即＝，
∴EG＝，
∴点E到直线BC的距离为．18．解：如图，作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴CD＝BD＝3，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，∴tan30°＝，
∴AD＝，
∴S△ABC＝•AB•CD＝•（3+）•3＝9+3，∴△ABC的面积是9+3．
19．解：（1）在直角△ACD中，cos∠ADC＝＝，因而可以设CD＝3x，AD＝5x，
根据勾股定理得到AC＝4x，则BC＝AD＝5x，
∵BD＝4，∴5x﹣3x＝4，
解得x＝2，
因而BC＝10，AC＝8，
CD＝6；
（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝10，
∴tan B＝＝＝．
20．解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵cot B＝，
在Rt△BEA中，＝，
设BE＝3x，AE＝2x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝4，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB＝．
（2）由（1）知AB＝2，又∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∵BD＝AD，
∴BF＝FE＝BE＝3．
∴DF＝AE＝2，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．
∴tan∠DCB＝．。