甘肃省甘谷一中高一数学《4.3.2《空间两点间的距离公式》教案

甘肃省甘谷一中高一数学《4.3.2《空间两点间的距离公式》教案
学习目标：
（1）掌握空间中两点间距离公式；
（2）会求出空间中的点关于特殊的线和点的对称点；
（3）能通过建立适当的空间直角坐标系，解决一些简单的问题. 学习重点：掌握空间中两点间距离公式． 学习难点：空间两点间距离公式的应用． 学习过程：
一、课前准备：
阅读课本136~138P P 的内容，记下疑惑之处并思考以下问题： 1．平面直角坐标系中任一点(,)P x y 到原点O 的距离||OP =
22x y +；两点
111(,)P x y 、222(,)P x y 之间的距离12||PP =221212()()x x y y -+-．
2．平面直角坐标系中，(1,2)A -、(3,1)B -之间的距离||AB = 5 ．
3．空间直角坐标系中，点(2,3,4)P -到x 轴的距离是 5 ，到y 轴的距离是25，到z 轴的距离是
13，到坐标平面xOy 的距离是 4 ，到坐标平面xOz 的距离是
3 ，到坐标平面yOz 的距离是 2 ． 二、新课导学： （一）自主学习：
（1）如图所示的空间直角坐标系中，长方体 1111ABCD A B C D -的顶点1(,,)B x y z ，则 ①1||OB =
222
x y z
++；
②点1A 的坐标是(,0,)x z ，点C 的坐标是(0,,)y z ， 1||A C =
222x y z ++；
（2）空间直角坐标系中，1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 之间的距离12||PP =
222121212()()()x x y y z z -+-+-．
（3）空间直角坐标系中，1(2,3,5)P 、2(3,1,4)P
之间的距离12||PP =6．
（二）典型例题：
【例1】已知三点 (1,3,2)A 、(2,0,4)B -、(8,6,8)C --，试判断C B A ,,三点的位置关系．
【分析】只要证明AC BC AB =+即可 【解析】利用两点间距离公式，得||22AB =、||22BC =||322AC =，
所以||||||AB BC AC +=， 所以C B A ,,三点在同一直线上．
【练习】：（1）已知空间中两点1(,2,3)P x 和2(5,4,7)P 的距离为6，则x = ． 答案：1x =或9x =．
（2）已知(2,5,6)A ，点P 在y 轴上，使7PA =，则点P 的坐标是 ． 答案：(0,2,0)P 或(0,8,0)P ．
D 1C 1
B 1
A 1
C 0
z y x
B A
【例2】如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，
||2||BN ND =，
1||2||CM MD =，求线段||MN 的长． 【分析】如图，建立空间直角坐标系，再求出各个点的
坐标，用空间两点间距离公式即可得解．
【解析】如图所示的坐标系中，各个点的坐标为 (,0,0)B a ，(,,0)C a a ，(0,,0)D a ，1(0,,)D a a
因为||2||BN ND =，可得点N 的坐标为2(,,0)
33a a ，
因为1||2||CM MD =，可得点M 坐标为2(,0,)33
a a
，
由空间两点间距离公式得
222225||()(0)(0)33333
a a a a a MN =-+-+-=，
所以线段||MN 的长为
53
a ．
【例3】空间直角坐标系中的几种特殊的对称关系：
已知点(1,2,3)P ，则点P 关于 （1）坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2,3)-； （2）坐标平面xOz 对称的点的坐标为(1,2,3)-； （3）坐标平面yOz 对称的点的坐标为(1,2,3)-； （4）x 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； （5）y 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； （6）z 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； （7）原点对称的点的坐标为(1,2,3)---．
三、总结提升： 1．空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P
x y z 之间的距离公式： 22212121212||()()()PP x x y y z z =
-+-+-． 2．坐标法解决立体几何问题的三个步骤：
（1）在立体几何图形中建立适当的空间直角坐标系； （2）依题意确定各点的坐标； （3）通过坐标运算得到答案．
3．对称问题，通常对称的定义求解．一般地，点(,,)P x y z 关于坐标平面xOy 、yOz 、xOz 、的对称点坐标分别为(,,)x y z -、(,,)x y z -、(,,)x y z -；关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标分别为(,,)x y z --、(,,)x y z --、(,,)x y z --；关于原点的对称点坐标为(,,)x y z ---．
可简记为：x 、y 、z 中出现者不变号，不出现者变号．
四、反馈练习：
1．点(,2,1)P x 到(1,1,2)M ，(2,1,1)N 的距离相等，则x = （ B ）
A ．
12 B ．1 C ．3
2
D ．2 2．点(2,3,5)A -关于坐标平面xOy 的对称点是A '，则||AA '= （ A ）
A ．10
B 1038．38
N M
z
y
x D 1C 1B 1
A 1D
C
B
A
3．到点(1,1,1)A ---和点(1,1,1)B 的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标满足 （ C ） A ．10x y z +++= B ．10x y z ++-=
C ．0x y z ++=
D ．0x y z +-=
4．已知点(2,3,4)A -，在y 轴上求一点B ，使得||7AB =，则点B 的坐标是 （ B ） A ．(0,329,0)- B ．(0,329,0)-或(0,329,0)+
C ．(0,329,0)+
D ．(0,0,329)-或(0,0,329)+ 5．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，M 、
N 分别为棱1CC 、AD 的中点，求线段MN ，1C N 的长． 【解析】如图建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标
为(,,)2a M a a ，1(,,)C a a a ，(0,,0)2
a
N ，
由空间两点间距离公式得
2226||(0)()(0)22a a a MN a a =-+-+-=，
22213||(0)()(0)22
a a C N a a a =-+-+-=．
五、学后反思：
N M
z y x D 1
C 1B 1
A 1D
C
B
A。