全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数课件理
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对数形式
特点
记法
一般对数
底数为(>0,且≠1)
logN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
考点1 对数与对数运算
2.对数的性质、运算法则及重要公式
性质
运算法则
考点1 对数与对数运算
选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均
是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.
考点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象和性质
0<<1
>1
图象
定义域:(0,+∞).
值域:R.
图象过定点(1,0),即恒有log1=0.
性质
当>1时,恒有>0;当0<<1时,恒有<0. 当>1时,恒有<0;当0<<1时,恒有>0.
在(0,+∞)上是增函数.
在(0,+∞)上是减函数.
可.
当0<<1时,显然不成立.
当>1时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,
f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方,
只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤log2,所以log2≥1,
解得1<≤2.
答案 C
图2-5-3
考法2 对数函数的图象及应用
方法技巧 对数型函数图象的考查类型及解题思路
定,需分>1与0<<1两种情况讨论.
先将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数
=log的单调性求解.
将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数
的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.
考法3 对数函数的性质及应用
命题角度3
对数型函数的单调性问题
示例6 [2017全国卷Ⅰ,9,5分]已知函数f()=ln +ln(2-),则
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
第五讲 对数与对数函数
考点帮 · 必备知识通关
考点1 对数与对数运算
考点2 对数函数的图象与性质
考法帮 · 解题能力提升
考法1 对数式的运算
考法2 对数函数的图象及应用
考法3 对数函数的性质及应用
考法4 指数函数、对数函数的综合问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
析情境· 数学应用
考法3 对数函数的性质及应用
命题角度1
比较大小
考法3 对数函数的性质及应用
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
3.对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,
具体步骤如下:
(1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(),g();
(2)在同一平面直角坐标系内作出函数=f()及函数=g()的图象;
(3)观察当在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参
数的取值或不等式的解的情况.
数单调性在这类问题中的应用.
析情境· 数学应用
数学应用 对数函数的实际应用
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 · 数学探索
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学应用 对数函数的实际应用
数学应用 对数函数的实际应用
数学应用 对数函数的实际应用
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
数学建模
由实际问题建立函数模型.
g(3)<0,g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g()=2+log2-17在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以
3<<4,故>2=4不成立,排除C.
答案 B
点评 破解此类题的关键:一是巧构造,即会构造函数,注意活用初等函数的单调性进行
判断;二是会放缩,即会利用放缩法比较大小.
考法4 指数函数、对数函数的综合问题
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
考法3 对数函数的性质及应用
考法3 对数函数的性质及应用
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧 常见的对数不等式的类型及解题方法
常见类型
log f()>logg()
log f()>
logf()>logg()
解题方法
借助函数=log的单调性求解,如果的取值不确
单调性与函数u=f()(f()>0)的单调性在>1时相同,在0<<1时相反.
2.研究=f(log)型的复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=log,则
只需研究t=log及=f(t)的单调性即可.
注意 (1)研究对数型复合函数的单调性,一定要坚持“定义域优先”原则,
否则所得范围易出错.
要求,选项C中的图象不符合要求.
答案 A
考法2 对数函数的图象及应用
考法2 对数函数的图象及应用
解析 设f1()=(-1)2,f2()=log,要使当∈(1,2)时,不等式(-1)2<log恒
成立,只需在区间(1,2)上,f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方即
数学探索 指数、对数比较大小的策略
2.涉及三元变量的比较大小问题
若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在
设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解.
示例10 [2017全国卷Ⅰ,11,5分][理]设,,为正数,且2=3=5,则
<3<5 <2<3
(2)有时需对底数进行讨论.
考法4 指数函数、对数函数的综合问题
示例7 [2020全国卷Ⅰ,12,5分][理]若2+log2=4+2log4,则
A.>2 B.<2 C.>2 D.<2
解析 解法一
令f()=2+log2,
因为=2在(0,+∞)上单调递增,=log2在(0,+∞)上单调递增,
=
.
(3)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=
(4)(log32+log92)·(log43+log83)=
.
.
考法1
对数式的运算
考法1
对数式的运算
考法2 对数函数的图象及应用
示例2 函数=log与=-+在同一平面直角坐标系中的图象可能是
思维导引
考法2 对数函数的图象及应用
2020全国Ⅰ,T12 探索创新 考法4
预测
热度
★★☆
核心
素养
数学运算
逻辑推理
直观想象
★★★ 逻辑推理
数学运算
考情解读
本讲是高考的一个热点,主要考查对数式的大小比较、对数
命题分
析预测
函数的图象和性质,也常与其他函数、方程、不等式等综合命题,
题型以选择题和填空题为主,难度不大.
考点帮·必备知识通关
A.f()在(0,2)上单调递增
B.f()在(0,2)上单调递减
C.=f()的图象关于直线=1对称
D.=f()的图象关于点(1,0)对称
考法3 对数函数的性质及应用
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧
对数型复合函数的单调性问题的求解策略
1.对于=log f()型的复合函数的单调性,有以下结论:函数=log f()的
f()=2+log2-4,则f()在(0,+∞)上单调递增,
且f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,f()=2+log2-4在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以
1<<2,故>2=2,<2都不成立,排除A,D;
取=2,得2+log2=17,令g()=2+log2-17,则g()在(0,+∞)上单调递增,且
数学应用 对数函数的实际应用
提能力· 数学探索
数学探索 指数、对数比较大小的策略
考情解读
考点内容
1.对数与对
数运算
2.对数函数
课标
要求
考题取样
情境
载体
对应
考法
理解 2020全国Ⅰ,T8 课程学习 考法1
2019浙江,T6
课程学习 考法2,4
的图象与性 掌握 2020全国Ⅱ,T9 课程学习 考法3
质
方法技巧 解决指数函数与对数函数综合问题的技巧
(1)解决指数函数与对数函数的综合问题时,一般运用指数、对数函数的图
象与性质等知识,并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题.
(2)解决与指数函数、对数型函数有关的问题时,要注意数形结合思想的应
用.
(3)在给定条件下求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式的知识及函
解析 当>1时,函数=log的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函
数=-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足>1,选项B,D中的图象都
不符合要求;
当0<<1时,函数=log的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数
=-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足0<<1,选项A中的图象符合
考点1 对数与对数运算
考点2 对数的图象与性质
考点1 对数与对数运算
1.对数的概念
一般地,如果=N(>0,且≠1),那么数叫作以为底N的对数,记作=logN,
其中叫作对数的底数,N叫作真数.
由此可得对数式与指数式的互化:=N⇔logN=(>0,且≠1).
说明 几种常见的对数
<5<2 <2<5
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学探索 指数、对数比较大小的策略
一
数学运算
对数式的运算.
一
备考指导 本题以天体的明暗程度为背景,考查考生的阅读理解能力,运算求
解能力,以及运用数学知识分析解决问题的能力.本题难度不大,具有良好的
导向作用,引导考生在学习过程中增强数学应用意识,关注数学的实际应用.
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学探索 指数、对数比较大小的策略
考点2 对数函数的图象与性质
考点2 对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数=(>0,且≠1)与对数函数=log(>0,且≠1)互为反函数,它
们的图象关于直线=对称(如图2-5-2所示).
图2-5-2
考点2 对数函数的图象与性质
考法1 对数式的运算
考法帮·解题能力提升
考法2 对数函数的图象及应用
1.对有关对数型函数图象的识别问题,主要依据底数确定图象的变化趋势、
图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解.
2.对有关对数型函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平
移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系
不确定时应注意分类讨论.
考法2 对数函数的图象及应用
所以f()=2+log2在(0,+∞)上单调递增.
又2+log2=4+2log4=22+log2<22+log2(2),………. (放缩)
所以f()<f(2),
所以<2.
考法4 指数函数、对数函数的综合问题
解法二(取特值法) 由2+log2=4+2log4=4+log2,取=1,得2+log2=4,令
考法3 对数函数的性质及应用
考法4 指数函数、对数函数的综合应用
考法1
对数式的运算
示例1 (1)[2018全国卷Ⅲ,12,5分][理]设=log0.20.3,=log20.3,则
A.+<<0 B.<+<0
C.+<0< D.<0<+
(2)[2018全国卷Ⅰ,13,5分]已知函数f()=log2(2+).若f(3)=1,则
特点
记法
一般对数
底数为(>0,且≠1)
logN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
考点1 对数与对数运算
2.对数的性质、运算法则及重要公式
性质
运算法则
考点1 对数与对数运算
选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均
是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.
考点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象和性质
0<<1
>1
图象
定义域:(0,+∞).
值域:R.
图象过定点(1,0),即恒有log1=0.
性质
当>1时,恒有>0;当0<<1时,恒有<0. 当>1时,恒有<0;当0<<1时,恒有>0.
在(0,+∞)上是增函数.
在(0,+∞)上是减函数.
可.
当0<<1时,显然不成立.
当>1时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,
f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方,
只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤log2,所以log2≥1,
解得1<≤2.
答案 C
图2-5-3
考法2 对数函数的图象及应用
方法技巧 对数型函数图象的考查类型及解题思路
定,需分>1与0<<1两种情况讨论.
先将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数
=log的单调性求解.
将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数
的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.
考法3 对数函数的性质及应用
命题角度3
对数型函数的单调性问题
示例6 [2017全国卷Ⅰ,9,5分]已知函数f()=ln +ln(2-),则
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
第五讲 对数与对数函数
考点帮 · 必备知识通关
考点1 对数与对数运算
考点2 对数函数的图象与性质
考法帮 · 解题能力提升
考法1 对数式的运算
考法2 对数函数的图象及应用
考法3 对数函数的性质及应用
考法4 指数函数、对数函数的综合问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
析情境· 数学应用
考法3 对数函数的性质及应用
命题角度1
比较大小
考法3 对数函数的性质及应用
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
3.对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,
具体步骤如下:
(1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(),g();
(2)在同一平面直角坐标系内作出函数=f()及函数=g()的图象;
(3)观察当在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参
数的取值或不等式的解的情况.
数单调性在这类问题中的应用.
析情境· 数学应用
数学应用 对数函数的实际应用
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 · 数学探索
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学应用 对数函数的实际应用
数学应用 对数函数的实际应用
数学应用 对数函数的实际应用
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
数学建模
由实际问题建立函数模型.
g(3)<0,g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g()=2+log2-17在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以
3<<4,故>2=4不成立,排除C.
答案 B
点评 破解此类题的关键:一是巧构造,即会构造函数,注意活用初等函数的单调性进行
判断;二是会放缩,即会利用放缩法比较大小.
考法4 指数函数、对数函数的综合问题
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
考法3 对数函数的性质及应用
考法3 对数函数的性质及应用
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧 常见的对数不等式的类型及解题方法
常见类型
log f()>logg()
log f()>
logf()>logg()
解题方法
借助函数=log的单调性求解,如果的取值不确
单调性与函数u=f()(f()>0)的单调性在>1时相同,在0<<1时相反.
2.研究=f(log)型的复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=log,则
只需研究t=log及=f(t)的单调性即可.
注意 (1)研究对数型复合函数的单调性,一定要坚持“定义域优先”原则,
否则所得范围易出错.
要求,选项C中的图象不符合要求.
答案 A
考法2 对数函数的图象及应用
考法2 对数函数的图象及应用
解析 设f1()=(-1)2,f2()=log,要使当∈(1,2)时,不等式(-1)2<log恒
成立,只需在区间(1,2)上,f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方即
数学探索 指数、对数比较大小的策略
2.涉及三元变量的比较大小问题
若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在
设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解.
示例10 [2017全国卷Ⅰ,11,5分][理]设,,为正数,且2=3=5,则
<3<5 <2<3
(2)有时需对底数进行讨论.
考法4 指数函数、对数函数的综合问题
示例7 [2020全国卷Ⅰ,12,5分][理]若2+log2=4+2log4,则
A.>2 B.<2 C.>2 D.<2
解析 解法一
令f()=2+log2,
因为=2在(0,+∞)上单调递增,=log2在(0,+∞)上单调递增,
=
.
(3)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=
(4)(log32+log92)·(log43+log83)=
.
.
考法1
对数式的运算
考法1
对数式的运算
考法2 对数函数的图象及应用
示例2 函数=log与=-+在同一平面直角坐标系中的图象可能是
思维导引
考法2 对数函数的图象及应用
2020全国Ⅰ,T12 探索创新 考法4
预测
热度
★★☆
核心
素养
数学运算
逻辑推理
直观想象
★★★ 逻辑推理
数学运算
考情解读
本讲是高考的一个热点,主要考查对数式的大小比较、对数
命题分
析预测
函数的图象和性质,也常与其他函数、方程、不等式等综合命题,
题型以选择题和填空题为主,难度不大.
考点帮·必备知识通关
A.f()在(0,2)上单调递增
B.f()在(0,2)上单调递减
C.=f()的图象关于直线=1对称
D.=f()的图象关于点(1,0)对称
考法3 对数函数的性质及应用
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧
对数型复合函数的单调性问题的求解策略
1.对于=log f()型的复合函数的单调性,有以下结论:函数=log f()的
f()=2+log2-4,则f()在(0,+∞)上单调递增,
且f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,f()=2+log2-4在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以
1<<2,故>2=2,<2都不成立,排除A,D;
取=2,得2+log2=17,令g()=2+log2-17,则g()在(0,+∞)上单调递增,且
数学应用 对数函数的实际应用
提能力· 数学探索
数学探索 指数、对数比较大小的策略
考情解读
考点内容
1.对数与对
数运算
2.对数函数
课标
要求
考题取样
情境
载体
对应
考法
理解 2020全国Ⅰ,T8 课程学习 考法1
2019浙江,T6
课程学习 考法2,4
的图象与性 掌握 2020全国Ⅱ,T9 课程学习 考法3
质
方法技巧 解决指数函数与对数函数综合问题的技巧
(1)解决指数函数与对数函数的综合问题时,一般运用指数、对数函数的图
象与性质等知识,并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题.
(2)解决与指数函数、对数型函数有关的问题时,要注意数形结合思想的应
用.
(3)在给定条件下求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式的知识及函
解析 当>1时,函数=log的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函
数=-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足>1,选项B,D中的图象都
不符合要求;
当0<<1时,函数=log的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数
=-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足0<<1,选项A中的图象符合
考点1 对数与对数运算
考点2 对数的图象与性质
考点1 对数与对数运算
1.对数的概念
一般地,如果=N(>0,且≠1),那么数叫作以为底N的对数,记作=logN,
其中叫作对数的底数,N叫作真数.
由此可得对数式与指数式的互化:=N⇔logN=(>0,且≠1).
说明 几种常见的对数
<5<2 <2<5
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学探索 指数、对数比较大小的策略
一
数学运算
对数式的运算.
一
备考指导 本题以天体的明暗程度为背景,考查考生的阅读理解能力,运算求
解能力,以及运用数学知识分析解决问题的能力.本题难度不大,具有良好的
导向作用,引导考生在学习过程中增强数学应用意识,关注数学的实际应用.
数学探索 指数、对数比较大小的策略
数学探索 指数、对数比较大小的策略
考点2 对数函数的图象与性质
考点2 对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数=(>0,且≠1)与对数函数=log(>0,且≠1)互为反函数,它
们的图象关于直线=对称(如图2-5-2所示).
图2-5-2
考点2 对数函数的图象与性质
考法1 对数式的运算
考法帮·解题能力提升
考法2 对数函数的图象及应用
1.对有关对数型函数图象的识别问题,主要依据底数确定图象的变化趋势、
图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解.
2.对有关对数型函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平
移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系
不确定时应注意分类讨论.
考法2 对数函数的图象及应用
所以f()=2+log2在(0,+∞)上单调递增.
又2+log2=4+2log4=22+log2<22+log2(2),………. (放缩)
所以f()<f(2),
所以<2.
考法4 指数函数、对数函数的综合问题
解法二(取特值法) 由2+log2=4+2log4=4+log2,取=1,得2+log2=4,令
考法3 对数函数的性质及应用
考法4 指数函数、对数函数的综合应用
考法1
对数式的运算
示例1 (1)[2018全国卷Ⅲ,12,5分][理]设=log0.20.3,=log20.3,则
A.+<<0 B.<+<0
C.+<0< D.<0<+
(2)[2018全国卷Ⅰ,13,5分]已知函数f()=log2(2+).若f(3)=1,则