5--矩阵--分块矩阵

3 2
6 12
3 2 1 2
1 D CF 2
3 7 2 14
D CF 代入得 AB F
7 14 6 0
C E
1 2 3 2 1 2 1 0 3 4 0 1
例
a 11 x 1 a 12 x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 .......... .......... .......... a x a x
m1 1 m 2 2
a 1 n x n b1 a 2 n x n b2 .......... ......... a mn x n b m
C E
D F
O ED CF E 0 D EF
E 0 CE 00 EE
D CF F
C E
其中
1 CF 2
3 6 4 0 2 6 0 12
1
则
E A O
A1 A2
一般的分块原则为：分块后出现特殊矩阵： 单位阵、零矩阵、对角矩阵、三角形矩阵。
又如
1 0 A 0 0
1 0 A 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 1 4
记矩阵 B 的第 j 列为
j

b1 j b2 j . b lj
则矩阵
B 可按照列向量的方式分 b1 j b2 j b lj b1 n b2n b ln
块为
b 11 b 21 B b l1
则
A
am2
1

2


n

1

2

n
回顾：矩阵乘法的定义
设 A ( a ik ) m l , B ( b kj ) l n , 定义A,B之积
C mn Aml Bl n (cij )mn
l
其中， c ij a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j a il b lj
可如下分块
1 0 A 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 4 2 3 0 1
分块矩阵的运算 1、加法 要求：同型矩阵，同样的分块;
Amn A 11 A s1 A1t A st B 11

b lj

l

k 1 l
a1k bk1


k 1 l
a 1 k b kj


k 1 l
a 1 k b kn
j

b1 n b2n b ln ln


k 1 l
a ik b k 1


k 1 l
a ik b kj
分块矩阵
以子块为元素的矩阵称为 分块矩阵。 对矩阵分块，是处理“大”矩阵的有效方法。
矩阵分块的定义： 以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵
A ( a ij ) a 11 a 21 am1 a 12 a 22 am2 ... ... ... a1n a2n a mn
pq
kA 11 ) kA s 1


kA 1 t kA st
3、乘法
A m l B l n A 11 A s1 A 12 As2
l1
C
s t
l2
pq
A1 r A sr s r l
E O
A1 A2
A
T
E T A1
0 1 0 1 3 0 0 1 1 0
T
O
T A2
T
而 ET E,
0 0 , 0
A1
T
0 2
T
1 3
1 , 0
A
T
O
T
A2
4 1
用两组相互垂直 的直线将 A 分成 s×t 块，得分块矩阵：
) A 11 A 21 A s1 A 12 A 22 As2 ... ... ... A1 t A2t A st s t
A ( A pq
注意：
A pq 是“小矩阵”
2列
0 1 0 0
3 2 4 1 0 0 1 E 2列 O 1
1 2 B 6 0 C E
2 0 3 2
0 0 1 0
0 0 0 1
2行
2行
D F
O E
E AB O


k 1 l
a ik b kn


k 1
a mk b k 1


k 1
a mk b kj


k 1
a mk b kn
mn
1 2 AB m 1 1 2 1 m1 i
1



j

n
矩 阵 乘 法 i

a 11 a i1 am1
a 12

a1l
ai2 a il
am2
l
a ml
b 11 b 21 b l1 ml
l

b1 j b2 j

则方程组可写作：
AX b
线性方程组的系数矩阵为A，大小为m×n. 常数项b是一个只有1列的矩阵，即列向量。 分块矩阵 (A, b).
设 P 为一个 m 阶方阵，则有
P ( A , b ) ( PA , Pb )
分块矩阵的转置 例
A 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 4 2 3 0 1
0 1 1 4
2 3 0 1
2 3 0 1
1 0 A 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 1 4
2 3 0 1
下述分块是无用的，也是错误的
1 0 A 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 4 2 3 0 1
1
2

n
1 2 2 2


1 n 2 n

m2
ml
mn

j

设 例： e
i
( 0 , 0 ,1 , 0 , 0 ) 1 其他 分量 都为 0的
1 2 A m
对应小矩阵相加减.
B1t B st

则
A 11 A B A s1 B s1
B 11 B mn B s1 A1t B 1t A st B st
2. 数乘
kA ( kA
则 A 可按照行向量的方式分 a 11 A a i1 am1 a 12 a1l
块为 1 i m
a i2 a il
am2 a ml
例
1 0 A 0 0
1 E 0 0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1
0 0 1 0
0 1 1 4
2 3 0 1
2 3 0
O 0 0 0
记
0 A1 1 1
A 2 4
1 0 0 0 2
0 0 0 4 1
注意：若只计算矩阵的转置，则没有必要对矩阵进行分块。
例
A C
B D
T
A T B
T
C D
T
T

利用矩阵分块重新理解矩阵乘积：
a 11 a 21 A a m1 a 11 a 21 A a m1 a 12 a
是 第 i 个分 量为 行向 量（即
1 n 的矩 阵）。
n m 的矩阵 ,
设 A 是一个大小为 按行向量分块为：
1 2 则 e i A ( 0 , 0 ,1 , 0 , 0 ) m

i
记矩阵 A 的第 i 行为
i

k 1
a ik b kj
a i 1
ai2

a il

记矩阵 B 的第 j 列为
j
b1 j b2 j b lj
.
i
j
记矩阵 A 的第 i 行为
i
a i 1
ai2

a il

22
... ... ... ... ... ...
am2 a 12 a
22
a1n 1 a2n 2 a mn m a1n a2n a mn
则
1 2 A m

r
B 11 B 21 B r1

B 1 t l1 B2t l 2 B rt r t lr (C Nhomakorabea)
r
其中
C
pq


k 1
A pk B kq
要求：A 的列的分法与 B 的行的分法相同。 若分块矩阵中出现特殊矩阵，运算量可望大幅减小。
例 求 AB
1 0 A 0 0
X x1 x2 xn b b1 b2 bm
令
A
a 11 a 21 am1
a 12 a 22 am2
... ... ...
a1n a2n a mn