湖北省2019届高三1月联考测试数学(理)试题(精品解析版)

湖北省2019年元月高考模拟调研考试
理科数学
一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，
∴，
则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．
【详解】解：由y＝3x，x∈R，
得y＞0，即A＝（0，+∞），
由y，x∈R，
得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，
即A∩B＝（0，2]，
故选：C．
【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．
3.函数的大致图像是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断
【详解】f（﹣x）f（x），
则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，
当x＝1时，f（1）0，故排除B，
故选：A．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．
【详解】解：如图所示，
设BC中点为E，则
（）•．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．
5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
【详解】根据几何体的三视图：
该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．
所以：v，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．
6.若在上是增函数，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．
【详解】解：若f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，
∴﹣m，且m．
求得m，且m，∴m，故m的最大值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．
7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．
【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，
设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，
∴OC a，
∴O'C a，OO'a，
∴OD a，
∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，
S正六边形a2，
∴点恰好取自阴影部分的概率P，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．
8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段
的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．
【详解】由题意可得A（a，0），
A为线段OB的中点，可得B（2a，0），
令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，
可设P（2a，b），
由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），
即|AP|＝2a，即有2a，
可得a＝b，e，
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．
【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，
即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），
即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；
由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），
又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；
由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），
可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．
10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．
【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，
∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，
整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，
∴cos A cos B＞0，
∴tan A＝3tan B；
∴则222．
∴可得的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而
AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．
【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，
∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，
且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，
∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，
CH⊥平面ABC，
∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；
当CD＝1时，B与D重合，AH，
当CD＜1时，AH，
∵D为直角边BC上的一点，
∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面
面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）
A. B. 以为直径的圆的面积大于
C. 直线过抛物线的焦点
D. 到直线的距离不大于2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．
【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），
由斜率之积为，可得，即，
∴MN的直线方程为x＝2；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，
联立，可得ky2﹣y+m＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴，即m＝﹣2k．
∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．
则直线MN过定点（2，0）．
则O到直线MN的距离不大于2．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.设，满足约束条件，则的最大值为__．
【答案】5
【解析】
【分析】
先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．
【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：
作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，
由可得A（1，2），此时z＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应
点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为
_______．
【答案】10
【解析】
【分析】
设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得A n﹣23＝A32A n﹣22，解得即可.
【详解】设停车位有n个，
这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成
（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，
恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，
因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，
∴A n﹣23＝A32A n﹣22，
解得n＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成
公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】解：∵AB＝2BC＝2，
∴由题意可得：c＝2a＝2，a，
∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，
∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，
∴S ac．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知函数为偶函数，函数有4个零点转化为函数在有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.
【详解】由题意可知，函数的定义域，
，
即，∴函数为偶函数，
若函数有4个零点，即函数在有2个零点，
当x＞0时，
,
易知：函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，且时，，
故只需：的最小值
∴，解得
∴的取值范围为.
故答案为：
【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列为递增数列，且，，数列的前项和为，，，
.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
【答案】(1), (2)
【解析】
【分析】
（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和．
【详解】（1）对于数列，
即注意到为递增数列
则∴
对于数列，由得
相减得
又∵∴为定值
∴数列和都是以4为公差的等差数列
又∵∴在中令得
∴，
∴，
（2）由（1）得
∴
∴
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.
（1）平面；
（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)见证明 (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，
存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．
【详解】（1）∵在底面中，，
且
∴，∴
又∵，，平面，平面
∴平面又∵平面∴
∵，∴
又∵，，平面，平面
∴平面
（2）方法一：在线段上取点，使则
又由（1）得平面∴平面
又∵平面∴作于
又∵，平面，平面
∴平面又∵平面∴
又∵∴是二面角的一个平面角
设则，
这样，二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点存在，且
方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直
∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系
且由（1）知是平面的一个法向量
设则，
∴，
设是平面的一个法向量
则∴
令，则，它背向二面角
又∵平面的法向量，它指向二面角
这样，二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点存在，且
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣
的占，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣.
（1）试完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣没兴趣合计
男生
女生
合计
（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率.
（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，
如下表所示.若从高一（8）班和高一（
9
）班获奖学生中各随机选取
2
人进行跟踪调查，记选中的
4
人中市级
以上游泳比赛获奖的人数为
，求随机变量
的分布列及数学期望.
班级
市级比赛
获奖人数
223344334
2
市级以上
比赛获奖
人数
2210233212
0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001
0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
.
【答案】（1）见解析；（2） (3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知数据得到列联表，求出K2≈，从而作出判断；
（2）利用互斥概率加法公式即可得到结果；
（3）由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望值．【详解】（1）由题得如下的列联表
有兴趣无兴趣
男生501060
女生251540
总计7525100
∴
∴没有
（2）记事件从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有人有兴趣，
则从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且与互斥
∴所求概率
（3）由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3
，，
，，
所以的分布列是
0123
∴
【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机事件概率分布列、数学期望、方差的求法，考查概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，
若.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线和直线于、两点，试求的值.
【答案】（1）（2）为定值
【解析】
【分析】
（1）由通径公式得出，结合已知条件得出，再由c＝1，可求出a、b的值，从而得出椭圆的方程；
（2）设切点为（x0，y0），从而可写出切线m的方程为，进而求出点M、N的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出x0与y0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．
【详解】（1）由题得解得
∴椭圆的方程为
（2）设切点为则
令得即
令得即
∴为定值
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
21.已知函数.
（1）试讨论函数的导函数的零点个数；
（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先对原函数求导，得到，再分类讨论即可得到单调性与极值，从而判断出导函数的零点个数；
（2）设研究函数的单调性与最值即可.
【详解】（1）解法一：由题得
∴
当时，是减函数
且
，
∴此时有且只有一个零点
当时，，此时没有零点
当时
+0-
↗极大值↘
∴
（ⅰ）若则此时，函数没有零点
（ⅱ）若则
此时，函数有且只有一个零点
（ⅲ）若则
且，下面证明存在使
①取
下面证明，
证明：设则，
∴在上恒负
∴在上是减函数
∴在上，恒有
∴在上是减函数
∴，得证
或②取
下面证明，
证明：设则
∴在上是减函数
∴，得证
∴此时，函数有且只有两个零点
综上，函数的零点个数
解法二由题得
当时，，此时没有零点
当时
导函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数
设则
当时，；当时，
∴在上单调递增，在上单调递减
∴
又∵当时，，当时，（即，）∴图象如图
∴当即时，有1个交点；当即时，有2个交点；当即
时，有1个交点；当即时，没有交点.
综上，函数的零点个数
（2）设
∴
∴
题设成立的一个必要条件是即
当时
，
∴在上单调递减
又∵在处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同）
∴，
从而在上单调递减
∴，
∴实数的取值范围为
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值的思路；关于不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解．
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线与直线的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）；
（2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围.
【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为
（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
（2）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可得到的取值范围．
【详解】（1）曲线即即即或
由于曲线过极点∴曲线的极坐标方程为
直线即
即即
直线的极坐标方程为
（2）由题得
设为线段的中点，圆心到直线的距离为
则它在时是减函数
∴的取值范围
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）画出函数的图象；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）写出f（x）的分段函数式，画出图象；
（2）由题意可得2m+1≥f（x）﹣x的最小值，对x讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．
【详解】（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|
，
∴的图像如图
（2）由（Ⅰ）得
∴当时，
∴题设等价于即
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。