深圳深圳市滨河中学七年级下册数学期末试卷易错题(Word版 含答案)

深圳深圳市滨河中学七年级下册数学期末试卷易错题（Word 版 含答案） 一、解答题
1．如图，直线AB ∥直线CD ，线段EF ∥CD ，连接BF 、CF ． （1）求证：∠ABF +∠DCF ＝∠BFC ；
（2）连接BE 、CE 、BC ，若BE 平分∠ABC ，BE ⊥CE ，求证：CE 平分∠BCD ；
（3）在（2）的条件下，G 为EF 上一点，连接BG ，若∠BFC ＝∠BCF ，∠FBG ＝2∠ECF ，∠CBG ＝70°，求∠FBE 的度数．
2．如图1，点A 在直线MN 上，点B 在直线ST 上，点C 在MN ，ST 之间，且满足
MAC ACB SBC ∠+∠+∠360=︒．
（1）证明：//MN ST ；
（2）如图2，若60ACB ∠=︒，//AD CB ，点E 在线段BC 上，连接AE ，且
2DAE CBT ∠=∠，试判断CAE ∠与CAN ∠的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若180ACB n
︒
∠=
（n 为大于等于2的整数），点E 在线段BC 上，连接AE ，若MAE n CBT ∠=∠，则:CAE CAN ∠∠=______．
3．如图1，MN ∥PQ ，点C 、B 分别在直线MN 、PQ 上，点A 在直线MN 、PQ 之间． （1）求证：∠CAB ＝∠MCA +∠PBA ；
（2）如图2，CD ∥AB ，点E 在PQ 上，∠ECN ＝∠CAB ，求证：∠MCA ＝∠DCE ； （3）如图3，BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ，AF ∥CG ．若∠CAB ＝60°，求∠AFB 的度数．
4．已知，AB ∥CD ．点M 在AB 上，点N 在CD 上．
（1）如图1中，∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF 、∠F 、∠FND 的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE 平分∠FND ，MB 平分∠FME ，且2∠E ＋∠F ＝180°，求∠FME 的度数；
（3）如图4中，∠BME ＝60°，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，且EQ ∥NP ，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ 的度数．
5．已知，如图：射线PE 分别与直线AB 、CD 相交于E 、F 两点，PFD ∠的角平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设PFM α∠=︒，EMF β∠=︒且
()
2
350αβα-+-=．
（1）α=________，β=________；直线AB 与CD 的位置关系是______；
（2）如图，若点G 是射线MA 上任意一点，且MGH PNF ∠=∠，试找出FMN ∠与GHF ∠之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图）分别与AB 、CD 相交于点
1M 和点1N 时，作1PM B ∠的角平分线1M Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中
1
FPN Q
∠∠的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
二、解答题
6．已知//a b ，直角ABC 的边与直线a 分别相交于O 、G 两点，与直线b 分别交于E ，F 点，且90ACB ∠=︒．
（1）将直角ABC 如图1位置摆放，如果56AOG ∠=︒，则CEF ∠=________； （2）将直角ABC 如图2位置摆放，N 为AC 上一点，180NEF CEF ∠+∠=︒，请写出
NEF ∠与AOG ∠之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角ABC 如图3位置摆放，若135GOC ∠=︒，延长AC 交直线b 于点Q ，点P 是射线GF 上一动点，探究,POQ OPQ ∠∠与PQF ∠的数量关系，请直接写出结论． 7．如图，AB ⊥AK ，点A 在直线MN 上，AB 、AK 分别与直线EF 交于点B 、C ，∠MAB+∠KCF =90°．
（1）求证：EF ∥MN ；
（2）如图2，∠NAB 与∠ECK 的角平分线交于点G ，求∠G 的度数；
（3）如图3，在∠MAB 内作射线AQ ，使∠MAQ =2∠QAB ，以点C 为端点作射线CP ，交直．线．AQ 于点T ，当∠CTA =60°时，直接写出∠FCP 与∠ACP 的关系式．
8．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b ，使直线b 经过点P ，且//b a ，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的 线．
（2）已知，如图3，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠．求证：//BE CF （写出每步的依据）．
9．已知ABC ，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ．
（1）如图1，若点D 在边BC 上， ①补全图形； ②求证：A EDF ∠=∠．
（2）点G 是线段AC 上的一点，连接FG ，DG ．
①若点G 是线段AE 的中点，请你在图2中补全图形，判断AFG ∠，EDG ∠，DGF ∠之间的数量关系，并证明；
②若点G 是线段EC 上的一点，请你直接写出AFG ∠，EDG ∠，DGF ∠之间的数量关系． 10．已知直线//EF MN ，点,A B 分别为EF ， MN 上的点．
（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，1
2
CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，求CBN
∠与ADB ∠的度数；
（2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 1
3
CBD CBN ∠=∠，则
ADB =∠_________︒；
（3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 1
3
CBD CBN ∠=∠”改为
“FAC ACB m ∠=∠=︒，1
CAD FAC n
∠=
∠， 1CBD CBN n ∠=∠”，则
ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）
三、解答题
11．如图，直线//AB CD ，E 、F 是AB 、CD 上的两点，直线l 与AB 、CD 分别交于点
G 、H ，点P 是直线l 上的一个动点（不与点G 、H 重合），连接PE 、PF ．
（1）当点P 与点E 、F 在一直线上时，GEP EGP ∠=∠，60FHP ∠=︒，则
PFD ∠=_____．
（2）若点P 与点E 、F 不在一直线上，试探索AEP ∠、EPF ∠、CFP ∠之间的关系，并证明你的结论．
12．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
（习题回顾）已知：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，
AE 、CD 相交于点F .求证：CFE CEF ∠=∠；
（变式思考）如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC 的外角
BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则
CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图3，在ABC 中，AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，BAC ∠的平分线AE 交CD 于点F .ABC 的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M .直接写出M ∠与CFE ∠的数量关系.
13．在ABC 中，射线AG 平分BAC ∠交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作//DE AC 交AB 于点E .
（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分EDB ∠.
①若100BAC ︒∠=，30C ︒∠=，则AFD ∠=_____；若40B ︒∠=，则AFD ∠=_____； ②试探究AFD ∠与B 之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D 在线段BG 上运动时，BDE ∠的角平分线所在直线与射线AG 交于点F .试探究AFD ∠与B 之间的数量关系，并说明理由.
14．模型与应用. （模型）
（1）如图①，已知AB ∥CD ，求证∠1＋∠MEN ＋∠2＝360°.
（应用）
（2）如图②，已知AB ∥CD ，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ．
如图③，已知AB ∥CD ，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n 的度数为 ．
（3）如图④，已知AB ∥CD ，∠AM 1M 2的角平分线M 1 O 与∠CM n M n －1的角平分线M n O 交于点O ，若∠M 1OM n ＝m °．
在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n －1的度数．（用含m 、n 的代数式表示）
15．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在ABC 中，若100A ∠=︒，70B ∠=︒，10C ∠=︒，则ABC 是“准互余三角形”； ②若ABC 是“准互余三角形”，90C ∠>︒，60A ∠=︒，则20B ∠=︒； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且50ABC ∠=︒．若P 是直线l 上一点，且ABP △是“准互余三角形”，请直接写出APB ∠的度数．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE ＝35°． 【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF ＝∠BFE ，∠DCF ＝∠EFC ，进而解答即可； （2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE ＝35°． 【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF ＝∠BFE ，∠DCF ＝∠EFC ，进而解答即可； （2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可； （3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可． 【详解】
证明：（1）∵AB ∥CD ，EF ∥CD ， ∴AB ∥EF ， ∴∠ABF ＝∠BFE ， ∵EF ∥CD ， ∴∠DCF ＝∠EFC ，
∴∠BFC ＝∠BFE +∠EFC ＝∠ABF +∠DCF ； （2）∵BE ⊥EC ， ∴∠BEC ＝90°， ∴∠EBC +∠BCE ＝90°，
由（1）可得：∠BFC ＝∠ABE +∠ECD ＝90°， ∴∠ABE +∠ECD ＝∠EBC +∠BCE ， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠EBC ， ∴∠ECD ＝∠BCE ， ∴CE 平分∠BCD ；
（3）设∠BCE ＝β，∠ECF ＝γ， ∵CE 平分∠BCD ， ∴∠DCE ＝∠BCE ＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，
∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，
∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，
∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，
∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．
2．（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】
（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】
（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到
∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到结论；
（3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．
【详解】
解：（1）如图，连接AB，
，
∠+∠+∠=︒，
MAC ACB SBC
360
∠+∠+∠=︒，
180
ACB ABC BAC
180MAB SBA ∴∠+∠=︒， //MN ST ∴
（2）2CAE CAN ∠=∠，
理由：作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，
设CBT α∠=，则2DAE α∠=．
BCF CBT α∠=∠=，60CAN ACF α∠=∠=︒-，
//AD BC ，180120DAC ACB ∠=︒-∠=︒，
12012022(60)2CAE DAE CAN αα∴∠=︒-∠=︒-=︒-=∠．
即2CAE CAN ∠=∠．
（3）作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，设CBT β∠=，则MAE n β∠=．
//CF ST ，
CBT BCF β∴∠=∠=， 180180n ACF CAN n n
β
β︒︒-∠=∠=
-=， 1801
180180(180)n CAE MAE CAN n n n n
βββ︒-∠=︒-∠-∠=︒--+=︒-， 11
::1n CAE CAN n n n
-∠∠=
=-， 故答案为1n -． 【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
3．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】
（1）过点A 作AD ∥MN ，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA ＝∠DAC ，∠PBA ＝∠DAB ，根据角的和差等量代换即可得解； （2）
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【详解】
解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
4．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB
解析：（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
∠BME，进而可求解．
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=1
2
【详解】
解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝1
2∠MEN＝1
2
（∠BME＋∠END），∠ENP＝1
2
∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝1
2（∠BME＋∠END）﹣1
2
∠END＝1
2
∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝1
2
×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．5．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2
解析：（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出
∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证ER ∥FQ ，得∠FQM 1=∠R ，设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，得出∠EPM 1=2∠R ，即可得1FPN Q ∠∠=2． 【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM =∠MFN =35°，∠EMF =35°，
∴∠EMF =∠MFN ，
∴AB ∥CD ；
（2）∠FMN +∠GHF =180°；
理由：由（1）得AB ∥CD ，
∴∠MNF =∠PME ，
∵∠MGH =∠MNF ，
∴∠PME =∠MGH ，
∴GH ∥PN ，
∴∠GHM =∠FMN ，
∵∠GHF +∠GHM =180°，
∴∠FMN +∠GHF =180°；
（3）1FPN Q
∠∠的值不变，为2， 理由：如图3中，作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，
∵AB ∥CD ，
∴∠PEM 1=∠PFN ，
∵∠PER =12∠PEM 1，∠PFQ =1
2∠PFN ，
∴∠PER =∠PFQ ，
∴ER ∥FQ ，
∴∠FQM 1=∠R ，
设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，
则有：122y x R
y x EPM ⎧⎨⎩=+∠=+∠，
可得∠EPM 1=2∠R ，
∴∠EPM 1=2∠FQM 1， ∴11EPM FQM ∠∠=1FPN Q
∠∠=2． 【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
二、解答题
6．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP//a ，则CP//a//b ，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a ，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N
解析：（1）146°；（2）∠AOG +∠NEF =90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP //a ，则CP //a //b ，根据平行线的性质求解．
（2）作CP //a ，由平行线的性质及等量代换得∠AOG +∠NEF =∠ACP +∠PCB =90°．
（3）分类讨论点P 在线段GF 上或线段GF 延长线上两种情况，过点P 作a ，b 的平行线求解．
【详解】
解：（1）如图，作CP //a ，
∵a //b ，CP //a ，
∴CP //a //b ，
∴∠AOG =∠ACP =56°，∠BCP +∠CEF =180°，
∴∠BCP =180°-∠CEF ，
∵∠ACP +∠BCP =90°，
∴∠AOG +180°-∠CEF =90°，
∴∠CEF =180°-90°+∠AOG =146°．
（2）∠AOG +∠NEF =90°.理由如下：
如图，作CP //a ，则CP //a //b ，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】
本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
7．（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或
∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得
∠KAN=∠K
解析：（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF，从而判断两直线平行；
（2）设∠KAN=∠KCF=α，过点G作GH∥EF，结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解；
（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解．【详解】
解：（1）∵AB⊥AK
∴∠BAC=90°
∴∠MAB+∠KAN=90°
∵∠MAB+∠KCF=90°
∴∠KAN=∠KCF
∴EF∥MN
（2）设∠KAN=∠KCF=α
则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α
∠KCB=180°－∠KCF=180°－α
∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK
∴∠GAN=1
2∠BAN=45°＋1
2
α，∠KCG=1
2
∠KCB=90°－1
2
α
∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋1
2
α过点G作GH∥EF
∴∠HGC=∠FCG=90°＋1
2
α
又∵MN∥EF
∴MN∥GH
∴∠HGA=∠GAN=45°＋1
2
α
∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋1
2α）－（45°＋1
2
α）=45°
（3）①当CP 交射线AQ 于点T
∵180CTA TAC ACP ∠+∠+∠=︒
∴180CTA QAB BAC ACP ∠+∠+∠+∠=︒
又∵=60,90CTA BAC ∠︒∠=︒
∴30QAB ACP ∠+∠=︒
由（1）可得：EF ∥MN
∴FCA MAC ∠=∠
∵FCP FCA ACP ∠=∠+∠
∴FCP MAC ACP ∠=∠+∠
∵MAC MAQ QAB BAC ∠=∠+∠+∠，2MAQ QAB ∠=∠
∴()390=330901803MAC QAB ACP ACP ∠=∠+︒︒-∠+︒=︒-∠
∴1803FCP ACP ACP ∠=︒-∠+∠
即∠FCP +2∠ACP=180°
②当CP 交射线AQ 的反向延长线于点T ，延长BA 交CP 于点G
FCP FCA ACP ∠=∠-∠，由EF ∥MN 得MAC FCA ∠=∠
∴FCP MAC ACP ∠=∠-∠
又∵TAG QAB ∠=∠，180BAC CAG ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒
∴18090CAG BAC ∠=︒-∠=︒
90CAT CAG TAG QAB ∠=∠-∠=︒-∠
∵180CAT CTA ACP ∠+∠+∠=︒，60CTA ∠=︒
∴120CAT ACP ∠+∠=︒
∴90120QAB ACP ︒-∠+∠=︒
∴30QAB ACP ∠=∠-︒
由①可得390MAC QAB ∠=∠+︒
∴()=330903MAC ACP ACP ∠∠-︒+︒=∠
∴32FCP MAC ACP ACP ACP ACP ∠=∠-∠=∠-∠=∠
综上，∠FCP =2∠ACP 或∠FCP +2∠ACP=180°．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关键．
8．（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】
（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；
②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据
解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】
（1）①过P 点折纸，使痕迹垂直直线a ，然后过P 点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线b ；
②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到ABC BCD ∠=∠，再利用角平分线的定义得到23∠∠=，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】
（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线．
故答案为垂；
（2）证明：BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠（已知），
12∠∠∴=，33∠=∠（角平分线的定义），
//AB CD （已知），
ABC BCD ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），
2223∴∠=∠（等量代换），
23∴∠=∠（等式性质），
//BE CF ∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结
合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
9．（1）①见解析；②；见解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF
【分析】
（1）①根据题意画出图形；②依据DE∥AB，DF∥AC，可得
∠EDF+∠AFD=180°，∠
解析：（1）①见解析；②；见解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-
∠EDG=∠DGF
【分析】
（1）①根据题意画出图形；②依据DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD=180°，
∠A+∠AFD=180°，进而得出∠EDF=∠A；
（2）①过G作GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到
∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；②过G作GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF．
【详解】
解：（1）①如图，
②∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，
∴∠EDF=∠A；
（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF．
如图2所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥DE，
∴GH∥DE，
∴∠AFG=∠FGH，∠EDG=∠DGH，
∴∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；
②∠AFG-∠EDG=∠DGF．
如图所示，过G作GH∥AB，
∵AB ∥DE ，
∴GH ∥DE ，
∴∠AFG =∠FGH ，∠EDG =∠DGH ，
∴∠AFG -∠EDG =∠FGH -∠DGH =∠DGF ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等．正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（1）120º，120º；（2）160；（3）
【分析】
（1）过点作，，根据 ，平行线的性质和周角可求出，则 ，再根据 ， ，可得 ， ，可求出 ，，根据 即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，
解析：（1）120º，120º；（2）160；（3）
()1360n m n -⋅- 【分析】
（1）过点,C D 作CG EF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周
角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据 12
CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，可得 1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出 60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据 ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13
CAD FAC ∠=∠， 13
CBD CBN ∠=∠求解即可； （3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n ∠=
∠， 1CBD CBN n ∠=∠求解即可；
【详解】
解：（1）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF MN ， ∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒， ∵1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒ ∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，
∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
（2）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒，
∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403
CAD FAC ∠=∠=︒
∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒，
∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
故答案为：160；
（3）同理（1）的求法
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ， ∴ACG FAC m ∠=∠=︒，
∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒，
∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵1
3602m CBD CBN n n ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n
︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m n N n CB ︒-︒-︒-︒-
︒∠-∠=-=∠︒， 又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n -︒∠=∠-∠=︒-
=︒， ∴()
1n ADH FAD m n -∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n
-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m n n n --∠=∠+∠=
-︒︒-︒︒-+︒． 故答案为：
()1360n m n
-⋅-． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题
11．（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP 或∠AEP=∠EPF+∠CFP ，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB ∥CD ，∠FHP=60°，可以推出
解析：（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP 或∠AEP=∠EPF+∠CFP ，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点P 与点E 、F 在一直线上时，作出图形，由AB ∥CD ，∠FHP=60°，可以推出GEP EGP ∠=∠=60°，计算∠PFD 即可；
（2）根据点P 是动点，分三种情况讨论：①当点P 在AB 与CD 之间时；②当点P 在AB 上方时；③当点P 在CD 下方时，分别求出∠AEP 、∠EPF 、∠CFP 之间的关系即可．
【详解】
（1）当点P 与点E 、F 在一直线上时，作图如下，
∵AB ∥CD ，∠FHP=60°，GEP EGP ∠=∠，
∴GEP EGP ∠=∠=∠FHP=60°，
∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，
∴∠PFD=120°，
故答案为：120°；
（2）满足关系式为∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：
①当点P在AB与CD之间时，
过点P作PQ∥AB，如下图，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，
即∠EPF =∠AEP+∠CFP；
②当点P在AB上方时，如下图所示，
∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠EQP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；
③当点P在CD下方时，
∵AB∥CD，
∴∠AEP=∠EQF，
∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，
综上所述，∠AEP 、∠EPF 、∠CFP 之间满足的关系式为：∠EPF =∠AEP+∠CFP 或∠AEP=∠EPF+∠CFP ，
故答案为：∠EPF =∠AEP+∠CFP 或∠AEP=∠EPF+∠CFP ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨论问题．
12．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可
解析：[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸]
∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可证明；
[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF 、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出CFE ∠=CEF ∠；
[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE ，由此可证∠M+∠CFE=90°．
【详解】
[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD 是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD ，
∵AE 是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF ，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD ，∠CEF=∠DAF+∠B ，
∴∠CEF=∠CFE ；
[变式思考]相等，理由如下：
证明：∵AF 为∠BAG 的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF ，
∵∠CAE=∠GAF ，
∴∠CAE=∠DAF ，
∵CD 为AB 边上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE ；
[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C 、A 、G 三点共线 AE 、AN 为角平分线，
∴∠EAN=90°，
又∵∠GAN=∠CAM ，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B ，∠CFE=∠EAC+∠ACD ，∠ACD=∠B ，
∴∠CEF=∠CFE ，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．
13．（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=
解析：（1）①115°，110°；②1902
AFD B ︒∠=+∠，证明见解析；（2）1902
AFD B ︒∠=-∠，证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=12
∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的内角和定理求得∠AFD 的度数即可；已知
AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，根据角平分线的定义可得∠CAG=12
∠BAC ，∠FDM=12
∠EDG ；由DE//AC ，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C ，∠FMD=∠GAC ；即可得∠FDM +∠FMD=12∠EDG +∠GAC=12∠C+12∠BAC=12（∠BAC+∠C ）=12
×140°=70°；再由三角形的内角和定理可求得∠AFD=110°；
②∠AFD=90°+12
∠B ，已知AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，根据角平分线的定义可得
∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，
∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；再由三角形的内角和定理可得
∠AFD=90°+1
2
∠B；
（2）∠AFD=90°-1
2
∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得
∠CAG=1
2∠BAC，∠NDE=1
2
∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=1
2
∠EDB；由DE//AC，根据平行
线的性质可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=1
2
∠C，所以∠FDM
+∠FMD =1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；再由三角形外角
的性质可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-1
2
∠B.
【详解】
（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，
∴∠CAG=1
2
∠BAC=50°；
∵//
DE AC，∠C=30°，
∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；
∵DF平分∠EDB，
∴∠FDM=1
2
∠EDG=15°；
∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；∵∠B=40°，
∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×140°=70°；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°；故答案为115°，110°；
②∠AFD=90°+1
2
∠B，理由如下：
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）
=90°-1
2
∠B；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-1
2∠B）=90°+1
2
∠B；
（2）∠AFD=90°-1
2
∠B，理由如下：
如图，射线ED交AG于点M，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠NDE=1
2
∠EDB，
∴∠FDM=∠NDE=1
2
∠EDB，
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM=∠NDE=1
2
∠C，
∴∠FDM +∠FMD =1
2∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；
∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-1
2
∠B.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，
根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质确定各角之间的关系是解决问题的关键.
14．（1）证明见解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【详解】
【模型】
（1）证明：过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠1＋∠MEF
解析：（1）证明见解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°
【详解】
【模型】
（1）证明：过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠1＋∠MEF＝180°，
同理∠2＋∠NEF＝180°
∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°
【应用】
（2）分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；
由上面的解题方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°(n－1)，
故答案是：900°， 180°(n－1)；
（3）过点O作SR∥AB，
∵AB ∥CD ，
∴SR ∥CD ，
∴∠AM 1O ＝∠M 1OR
同理∠C M n O ＝∠M n OR
∴∠A M 1O ＋∠CM n O ＝∠M 1OR ＋∠M n OR ，
∴∠A M 1O ＋∠CM n O ＝∠M 1OM n ＝m°，
∵M 1O 平分∠AM 1M 2，
∴∠AM 1M 2＝2∠A M 1O ，
同理∠CM n M n-1＝2∠CM n O ，
∴∠AM 1M 2＋∠CM n M n-1＝2∠AM 1O ＋2∠CM n O ＝2∠M 1OM n ＝2m°，
又∵∠A M 1M 2＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n －1＋∠CM n M n-1＝180°(n －1)， ∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n －1＝(180n －180－2m)°
点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要．
15．（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由和是的角平分线，证明即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角
解析：（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由90ABC A ∠+∠=︒和BD 是ABC 的角平分线，证明290ABD A ∠+∠=︒即可； （2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A +∠ABC =90°；②∠A +2∠APB =90°；③2∠APB +∠ABC =90°；④2∠A +∠APB =90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，
∴90ABC A ∠+∠=︒，
∵BD 是ABC ∠的角平分线，
∴2ABC ABD ∠=∠，
∴290ABD A ∠+∠=︒，
∴ABD △是“准互余三角形”；
（2）①∵70,10B C ∠=︒∠=︒，
∴290B C ∠+∠=︒，
∴ABC 是“准互余三角形”，
故①正确；
②∵60A ∠=︒， 20B ∠=︒，
∴210090A B ∠+∠=︒≠︒，
∴ABC 不是“准互余三角形”，
故②错误；
③设三角形的三个内角分别为,,αβγ，且αβγ<<，
∵三角形是“准互余三角形”，
∴290αβ+=︒或290αβ+=︒，
∴90αβ+<︒，
∴180()90γαβ=︒-+>︒，
∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，
故③正确；
综上所述，①③正确，
故答案为：①③；
（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°；
如图①，
当2∠A +∠ABC =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，
∵∠ABC =50°，
∴∠A =20°，
∴∠APB =110°；
如图②，当∠A +2∠APB =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，
∵∠ABC =50°，
∴∠A +∠APB =50°，
∴∠APB=40°；
如图③，当2∠APB+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB=20°；
如图④，当2∠A+∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
所以∠A=40°，
所以∠APB=10°；
综上，∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时，ABP
△是“准互余三角形”．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解．。