左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译

解法1 这只大红书柜摆满了那些古书。 解法2 x y 设 A(x)：x是书柜 设 F(x,y)：x摆满了y
解法1中R(x)表示x是大红书柜, 解法2中A(x) ∧B(x) ∧C(x)也 可表示大红书柜,但用A(x) ∧B(x) ∧C(x)将更方便于对 书柜的大小颜色进行讨论
B(x)：x是大的 D(y)：y是古老的 F(x,y)：x摆满了y
例题1 并非每个实数都是有理数。
设 R(x)：x是实数。 Q（x）：X是有理数。
每个实数都是有理数表示为： (x)( R( x) Q( x))
(x)( R( x) Q( x)) 并非每个实数都是有理数表示为：
例题2 没有不犯错误的人
解 本语句即为“不存在不犯错误的人”。 设 M(x)：x 是人。 F(x)：x犯错误。 “存在不犯错误的人”表示为： “不存在不犯错误的人”表示为：(x(M ( x) F ( x)) 等价于“任何人都要犯错误”或“所有人都要犯错误”。 所以此命题也可符号化为： (x)(M ( x) F ( x))
2.7谓词演算的推理理论
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2.3谓词公式与翻译
一、谓词公式
• 定义1：n元谓词A(x1，x2...xn) 称为谓词演算的原子公式。 • 定义2：谓词演算的合式公式,可由下述各条组成: ① 原子公式是合式公式。 ② 若A 是合式公式，则(A)也是合式公式。 ③ 若A，B是合式公式，则(A ∧ B)，(A ∨ B)，(A B)， (A B)也是合式公式。 ④ 若A是合式公式，x是A中出现的任何变元 ,则(x)A , (x)A，也是合式公式。 ⑤ 只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式.
练习1
（3）没有不能表示成分数的有理数。
解：令D(x): x是有理数。F(x):x能表示成分数。 则符号化为： (x)(D(x) F(x)) 或 (x)(D(x)∧ F(x)) 真值为１。
（4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。
解：令M(x)：x是人.Q(x):x参加考试。H(x):x能取得好成 绩。则符号化为： (x)( (M(x)∧Q(x))H(x) ) 或 (x)( (M(x)∧Q(x))∧ H(x) )
再对x和y加以限制
R(x)：x是大红书柜 Q(y)：y是古书
C(x)：x是红的 E(y)：y是图书
a ：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
a：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
R(a) Q(b) F (a, b)
对个体刻划深度 的不同就可翻译成 不同的谓词公式.
练习
例1：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零。 （2）存在小于2的素数。 （3）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。 解：
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（1）凡正数都大于零 解：令M(x):x是正数。F(x): x大于零。则符号化为： （x）(M(x)F(x)) （2）存在小于2的素数。 解：令E(x): x 小于 2 。 S(x):x 是素数。则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)) 真值为0。
存在一个δ >0，使得对所有x，若︱
当且仅当： 每个ε>0: (ε)Q(ε,0) 存在δ >0：(δ) Q(δ,0) ∧ 对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε： (x)((Q(δ , ︱x-a︱)Q(ε, ︱f(x)-f(a)︱))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
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练习2
• 1、 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y))) (2)（x)(L(x) ∧(y)(J(y)A(x,y)))
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练习2
• 2、在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1） P63 (6)那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚 的巨著. （2）P63 (7) :f在a点连续，当且仅当对每个ε>0，存在一个
δ >0，使得对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。
解: (1)设：S(x):x是大学生. A(x):x戴眼镜. B(x):x用功. E(y):y是大的. G(y):y是厚的. D(y):y是巨著. F(x,y):x看y.a:那位 b:这本 (1)符号化为: A(a)∧B(a)∧S(a)∧E(b)∧G(b)∧D(b)∧F(a,b)
约定：最外层括号可以省略；量词后面如果有括号，则不能省略
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2.3谓词公式与翻译
• 二、谓词公式的翻译（符号化）
把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词 逻辑的翻译或符号化；一般，符号化的步骤如下： (1)正确理解给定命题。必要时把命题改述，使其中每个原子 命题、原子命题之间的关系明显表达出来。 (2)把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨 论时，要给出特性谓词。 (3)找出恰当量词。应注意全称量词后跟条件式，存在量词后 跟合取式。 (4)用恰当的联结词把给定命题表示出来。
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练习2
（2）设：P(x,y):x在y连续. Q(x,y):x大于y. f在a点连续，当且仅当对每个ε>0， (2)符号化为:
P(f,a)(ε)(Q(ε,0) x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。 ((δ )Q(δ,0)∧ (x)(Q(δ , ︱x-a︱)Q(ε, ︱f(x)-f(a)︱)) ))
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离散数学(Discrete Mathematics)
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第二章 谓词逻辑
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
• 小结：本节介绍了谓词合式公式的概念，重 点掌握谓词公式的翻译. 作业: P63 (5)
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例题3 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解 设 M(x)：x是人。 P(x)：x是聪明的。 命题符号化为：
x(M ( x) P( x)) (x( M ( x) P( x)))
由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同，强调的 重点不同，会影响到命题符号化的形式不同。见例题4。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题4 这只大红书柜摆满了那些古书。