数学：2.2《间接证明》课件(苏教选修1-2)

间接证明（例题1）
求证：正弦函数没有比2小的正周期.
思路

先求出周期
用反证法证明 2 是最小正周期.
（例1）求证：正弦函数没有比2小的正周期.
解
假设T是正弦函数的周期
则对任意实数x都有:
sin(x T ) sin x
令x=0,得
sinT 0
即
T k , k Z.
假设最小正周期 0 T 2 故T
从而对任意实数x都应有
sin(x ) sin x
这与
sin( ) sin 矛盾.
2
2
因此,原命题成立.
间接证明（习题1）
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.
证: 假设这个整数是奇数,可以设为2k+1, k Z.
则有 (2k 1)2 4k 2 4k 1
而 4k2 4k 1 （k Z）不是偶数 这与原命题条件矛盾.
(3)式表 明，p 2是2的倍 数，所以p也是2的倍 数.
则p与q都是2的倍数，它们至少有公约数2，
这与p, q互素矛盾，因此 2不是有理数.
（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法 枚举法
反设
否定命题不成立 归谬
原结论成立 存真
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤：
（1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真； （2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
（3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立.
2.2.2间接证明
间接证明（问题情境）
在《数学（ 2 必修）》第三章中，如何证明 命题“在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB与A1C是异面直线”
因此， AB与A1C是异面直线 .
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法.
反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论
导致矛盾
（例题2）证明：2不是有理数 .
假设 2是有理数，可设 2 q ( 1),
p
互素
其中p, q为互素的整数, q 0.
将（1）两边平方，变形得2 p2 q2 (2)
(2)式表 明，q 2是2的倍 数，从而q也 是2的倍 数.
设q 2l(l N ),代入（2）式得
p2 2l 2 ( 3)