拉格朗日中值定理与罗尔定理的证明

拉格朗日中值定理与罗尔定理的理解
首先说明拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系：罗尔定理可理解为特殊形式的拉格朗日中值定理，即f （a ）=f （b ），而拉格朗日中值定理中二者并不一定相等。

因此，证明拉格朗日中值定理后，罗尔定理也得以证明。

下面我将先对拉格朗日中值定理进行证明。

)(x f 满足：
设函数o a b a f a f a b n n +-++=-⇒-1)())((n 1......)(')()()(！即
)('))((n 1......))((''21)('111)(ξf o a b a f a b a f a f n n =+-++-+-！！！①
到此，我们知道了f’(ξ)用泰勒展开式表示时的大小，即证明了f’(ξ)在泰勒展开式中值的存在。

那么ξ是否在（a ，b ）区间内？我们知道泰勒公式的意义是利用已知点的函数值不断逼近所求点的函数值，所以只需知道在由a 点向b 点逼近的过程中是否遇到了ξ点，即ξ
点与b 点间是否存在余项。

用泰勒公式求解:
o x x x f x x x f x f x f n n +-++-+=-100)(000))((1)-(n 1......))((''11)('01)('！！！②将x=b ,x 0=a 代入上式，得：
o a b a f a b a f a f b f n n +-++-+=
-1)())((1)-(n 1......))((''11)('01)('！！！③
)1()3(-得：。