武大计院组合数学PPT第3章容斥原理和鸽巢原理

设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2

120 2

60
A3

120 3

40
A5

120 5

24
A7

120 7

17
A2 A3

120 6


20
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容斥原理
2 3 5
235
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容斥原理
例3.10 错排问题 设 Ai (i 1,2,, n) 表示i在第i位排列的集合，则有
Ai (n 1)!, i 1,2,, n
Ai Aj (n 2)!, i, j 1,2,, n, i j ，…
A2 A5

120 10

12
A3 A5

120 15

8
A2 A7

120 14


8
A3 A7

120 21

5
A5 A7


120 35

3
A2 A3 A5

120 30

4
(1)n | A1 A2 An |
证 任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方 程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为
1 0 0 0 (1)n 0 1
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容斥原理
(2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端 的贡献为0，而对方程右端的贡献为
A2 A3 A7


120 42

2
A2 A5 A7

120 70

1
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容斥原理
A3 A5 A7

120 105

1
A2 A3 A5 A7

120 210

0
A2 A3 A5 A7 120 (60 40 24 17) (20 12 8 8 5 3) (4 2 1 1) 0 27
A1 A2 An n!C(n,1)(n 1)!C(n,2)(n 2)! (1)n C(n, n)1!
n!1 1 1 (1)n 1
1! 2!
n!
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容斥原理
例2.66 在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中，求 使A,C,E,G四个字母不在原来位置上的排列的数目。 解 设A1,A2,A3,A4分别表示A,C,E,G在原来位置上排 列的集合。所求数目为
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容斥原理
例 计算1到600中不能被6整除的整数个数。 证 能被6整除的整数个数为
600/ 6 100
所求数的个数为 600100 500
一般，若 A S ，则 | A || S | | A | 或 | A || S | | A |
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100
A1 A2


500 6

83
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容斥原理
A1 A3

500 10
50
A2 A3

500 15
33
A1 A2 A3


500 30


16
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3
A1 A2 A3 A4 A5 26!3 24!2 22!22!4 20!19!17!
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容斥原理
例3.8 求完全由n个布尔变量确定的布尔函数的个数。 解 设n个布尔变量为 xi , i 1,2,, n ，自变量可能的 取值有 2n个，n个布尔变量的布尔函数有 22n 个。 设 f ( x1 , x2 ,, xn )是 一个布尔函数，f ( x1 , x2 ,, xn )
Ai 3n, i 1,2,3 A1 A2 A3 1
Ai Aj 2n , i j, i, j 1,2,3
A1 A2 A3 4n A1 A2 A3 A1 A2 A1 A3
A2 A3 A1 A2 A3 4n 3 3n 3 2n 1
3
容斥原理
作为上述法则的第一个推广：令S是一个有限集 合，P1, P2是S中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
A1 A2 S A1 A2 A1 A2 更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可
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容斥原理
例3.3 求a,b,c,d,e,f 六个字母的全排列中不允许出 现 ace 和 df 图象的排列数。 解 A1为出现ace图象的排列的集合，A2为出现df 图象的排列的集合，那么有
| A1 | 4! | A2 | 5! | A1 A2 | 3!
所求排列数为
| A1 A2 | 6! | A1 | | A2 | | A1 A2 | 6!4!5!3! 582
250 166 100 83 50 33 16 366
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容斥原理
例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。
证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
Ai

n pi
,
i 1,2,, k
Ai Aj

n pi p j
, i, j 1,2,, k, i
j
,…
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容斥原理
(n) A1 A2 Ak

n
n p1

n p2

n pk

n p1 p2

n p1 p3

e4x 3e3x 3e2x e x


(4n
3 3n
3 2n
1)
1
xn
n0
n!
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容斥原理
例3.6 求不超过120的素数的个数。
解 若一个正整数n是一个合数，那么n必能被某个 素数 p n 整除。由112=121知，不超过120的合 数必能被2,3,5,7之一整除。
不依赖于k个布尔变量的布尔函数有 22nk 个。
设 Ai , i 1,2,, n 为不依赖于布尔变量xi的函数
的集合，那么所求函数的个数为
A1 A2 An 22n C(n,1)22n1 C(n,2)22n2 (1)n C(n, n)2
当n=2时 A1 A2 222 C(2,1)22 C(2,2)2 16 8 2 10

m 0



m 1



m 2



m 3




(1)m

m m

(1 1)m 0
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容斥原理
推论
| A1 A2 An |
n
| Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
n pk1 pk

n p1 p2 pk

n1
1 p1
1
1 p2
1
1 pk

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容斥原理
例 n 60 22 3 5
(n) 601 1 1 1 1 1 60 1 2 4 16
能具有的n个性质。令Ai(i=1,2,…,n)是S中具有性 质Pi的元素的集合，则有
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容斥原理
定理3.2
| A1 A2 An |
n
| S | | Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
i 1
1i jn
1i jk n
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容斥原理
由题意知， M 170 P 130 C 120 M P 45
M C 20
所求人数为
P C 22
M PC 3
M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
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容斥原理
例3.9 欧拉函数 (n) 表示不大于n，且与n互素的
正整数的个数。
(1) 1 (2) 1 (3) 2 (4) 2 (5) 4
设 n p11 p22 pkk ，Ai (i 1,2,, k ) 表示从1到n中 能被 pi 整除的数的集合，那么有
所求素数个数为：27+4-1=30。
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容斥原理
例3.7 用26个英文字母作不允许重复的全排列， 要求排除dog, god, gum, depth, thing字样的出现， 求满足这些条件的排列数。 解 设A1为出现dog的排列的集合；A2为出现god的 排列的集合； A3为出现gum的排列的集合；A4为出现depth的 排列的集合； A5为出现thing的排列的集合。
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容斥原理
另解：设 an (n 0,1,2,...) 为所求的n位符号串数 目，则{an}的指数型母函数为
G( x) (1 1 x 1 x2 )( 1 x 1 x2 )3
1! 2!
1! 2!
e x (e x 1)3 e x (e3x 3e2x 3e x 1)
i 1
1i jn
1i jk n
证
(1)n1 | A1 A2 An |
| A1 A2 An || S | | A1 A2 An |
| S | | A1 A2 An |
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容斥原理
例3.2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同 时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三 门课的学生3人，问这学校共有多少人？ 解 设M为修数学课学生的集合 P为修物理课学生的集合 C为修化学课学生的集合
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容斥原理
A1 A2 A3 24! A4 A5 22! A1 A2 A1 A4 A1 A5 A2 A3 0 A1 A3 22! A2 A4 A2 A5 A3 A4 A3 A5 20! A4 A5 19! A3 A4 A5 17! 所求的排列数为
不依赖于变量 xi 是指对于每一 ( x1,, xi1, xi1,, xn )
都有
f ( x1 ,, xi1 ,0, xi1 ,, xn ) f ( x1 ,, xi1 ,1, xi1 ,, xn )
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容斥原理
不依赖于某个布尔变量的布尔函数有 22n1 个。
第3章 容斥原理和鸽巢原理
容斥原理
例 对{1,2,…,n}的排列 i1i2 in 计数，其中 i1 1 。 解 直接计数： (1) i1 2：有 (n 1)! 个； … (n-1) i1 n :有 (n 1)! 个； 共有 (n 1)(n 1)!个 间接计数：i1 1 ：有 (n 1)! 个 所以共有 n!(n 1)! (n 1)(n 1)! 个
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容斥原理
例3.4 N={1,2,…,500}，求N中能被2，3，5整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
A1

500 Biblioteka 2 250A2


500 3

166
A3


500 5