.3函数的连续性

无穷间断点 振荡间断点
(极限为无穷的间断点)
注 左右极限都存在的间断点为第一类间断点.
不是第一类的任何间断点为第二类间断点.
三.连续函数的运算及初等函数的连续性
定理1 如果函数f (x)和g(x)都在x0处连续,则由f (x) 与g(x)经过四则运算构成的函数, 即f (x) g(x),
第二节 函数极限 (Limits of Functions)
（二）
思考：
试问函数f
(x)


x sin 10
1 x
5+x2
x0
x0 x0
在x=0点的左右极限是否存在，若存在其值为多少？
四、两个重要极限
(一)、两个重要极限
lim sin x 1 x0 x
lim
x
ex 1~ x ln(1 x) ~ x
(即 lim ex 1 1） x0 x
(即lim ln(1 x) 1)
x0
x
n 1 x 1~ x / n
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x, 1- cos x ~ x2 / 2
1

1 x
x


e
推论
lim 1
1
xx

e
x0
(二)、利用两个重要极限求极限
例1.求 lim tan x . x0 x
例2.求
lim
x0
1

cos x2
x
.
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
1
例3.求 lim(1 2x)x . x0
一、函数的间断点与连续性
函数的增量
设函数 f (x)在x0的邻域内有定义, 对x0邻域的任意x x x x0, 称为自变量在点x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x x0
例1.考察函数y 1 的连续性. x
x2 2
例2.考察函数f (x) 1

x2

2
x0 x0 x0
在x 0处 的连续性.
例3.考察函数f
பைடு நூலகம்
(x)

x 2
x 1 x 1
在x 1处 的连续性.
例4.考察函数f (x) x2 9 的间断点. x3
二.函数间断点的类型
f
(x)

g
(
x)及
f (x) g(x)
(g(x)

0),
在x0点都是连续的.
定理2如果函数f (u)在u u0处连续, 函数u x在x0处 连续,u0 (x0 ), 则复合函数y f x 在x x0处连续.
重要结论 一切初等函数在其定义域内都是连续的.
2虽在x0处有定义,
但 lim xx0
f (x)不存在;

3
虽在x0处有定义,
且
lim
x x0
f (x)存在,
但
lim
x x0
f (x)

f (x0 );
那么我们就说函数f (x)在点x0不连续 (discontinuity),点x0叫做函数f (x)的间断 点或不连续点(discontinuity po int).
o
x0
x
y
o
x
振荡型
例3.考察函数f
(x)

x 2
x 1 x 1
在x 1处 的连续性.
例4.考察函数f (x) x2 9 的间断点. x3
解: 显然 lim x2 9 lim x 3 6,
x3 x 3 x3 但 f (3) 不存在, 故x 3为其可去间断点.
x
定义1 若函数y f (x)在点x0及其附近有定义, 且
lim y
x0

lim
x0

f
x0

x
f
x0

0
lim
x x0
f
x

f
x0
则称函数f (x)在点x0处连续(continuity).
函数f (x)在点x0处连续必须同时满足下列三个条件:
xa x0
f
(x)

1-
cos
x
x2
x0
1
例 讨论f (x) e x的间断点，
并指明是何种类型
1函数f (x)在x0处及附近(即邻域内)有定义;
2 极限 lim f x 存在;
x x0
3 lim xx0
f
x

f
x0 .
如果函数在区间a, b内每一点都连续,
则称函数在该区间内连续.
若函数y

f
(
x)在x0处有
lim
xx0 0
f (x)
f (x0 ),则
lim tan x x0 x
lim
x0
1

cos x2
x
.
例
求
lim
x0
sin 3x
x x3
.
例 求 lim x ln(3x 1) . x0 1 cos x
切记 ：
只能对 函数的因子 作等价无穷 小代换，不 能对分母和 分子的某个 加项作代换， 否则就会出 错。
第三节 函数的连续性 （continuity of functions）
例.考察函数f
(x)


x
1
12
的间断点.
例.考察函数f (x) sin 1 x
的间断点.
y sin 1 x
间断点的类型

可去间断点（左右极限相等，极限存在
第一类

但不等于该点函数值

或函数在该点无定义 ）
跳跃间断点（左右极限存在，但不相等）
第二类
例.求极限
(1)lim x 2
cos

2x2

2
2
;
(2)lim x1
ln a
x
x
.
(3)lim 1 x2 1.
x0
x
四.闭区间上连续函数的性质
定理3介值定理 设函数f (x)在闭区间[a,b]
上连续, 且在两个端点的函数值f (a)和f (b) 不相等, 则对介于f (a)与f (b)之间的任何值C,
称f (x)在x0处左连续(continuity from the left);
若 lim xx0 0
f (x)

f (x0 ),则称f
( x)在x0处右连续.
显然,函数f (x)在x0处连续的充要条件是 它在x0既左连续又右连续.
如果函数f (x)在x0处有下列三种情形之一 :
1函数f (x)在x0处没有定义;
f 0 (a b)
y
y f (x)
a f(x)
o
x

b
定理4 最值定理
设f (x)在闭区间上连续, 则f (x)在 该区间上必有最大值和最小值.
y
推论
a
1
2 b x
闭区间上的连续函数必有界.
作业(习题一) 25；32; 33; 37; 38.
思考题
例 讨论a为何值,f (x)在(, )上连续,
目的与要求 理解函数在一点连续(continuity at a
point)的概念，了解函数区间上连续 (continuity on an interval)的概念 会判别函数间断点的类型 了解初等函数连续性，了解闭区间上连续函 数 性 质 : 介 值 定 理 (intermediate value theorem)、零点定理、最值定理
第一类 : 左右极限都存在.
(可去间断点)极限存在但不等于f (x0 ),
lim
x x0
f (x)
f (x0 ).
第二类 : 左右极限至少有一个不存在.
(无穷间断点)极限为无穷大,即 lim f (x) xx0
第y
一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
在开区间a,b内至少存在一点 , 使得
f C a b
y
f(b)
f(x)
y=C
c
y f (x)
f(a)
o
x
a b
推论根的存在定理 设f (x)在闭区间
[a,b]上连续, 如果f (a), f (b)符号相反,
那么在开区间(a,b)内至少有一点 , 使得
例4.求 lim(3 x)2x. x x
例5.求
lim(1
x
)
x 1 x
.
x0
2
例6.求 lim( x 1)x. x x 2
定理：等价无穷小的代换性质
~ ， ~ ， 且极限lim 存在
则lim lim


补充：当x 0时，常用的等价无穷小