2014-2015学年辽宁省葫芦岛一中高三(上)周考数学试卷(十九)(理科) Word版含解析

2014-2015学年辽宁省葫芦岛一中高三（上）周考数学试卷（十九）（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项中，只有一个符合要求的）
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（ ）
A． {1，4} B． {2，3} C． {9，16} D． {1，2}
2．（5分）条件p：（1﹣x）（1+x）＞0，条件q：lg有意义，则￢p是￢q（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
3．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（ ）
A． 10° B． 20° C． 70° D． 80°
4．已知数列{an}、{bn}满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2﹣bnx+2n的两个零点，则b10等于（ ）
A． 24 B． 32 C． 48 D． 64
5．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，三侧面两两互相垂直，侧面△SAB，△SAC的面积分别为1，，3，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． 14π B． 12π C． 10π D． 8π
6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
A． B． C． 2 D．
7．（5分）变量x，y 满足，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，实数a的集合是（ ）
A． {﹣3，0 } B． { 3，﹣1} C． { 0，1 } D． {﹣3，0，1 }
8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，则PC与AB成角的大小是（ ）
A． 30° B． 60° C． 120° D． 90°
9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（loga）≤2f（1），则a的取值范围是（ ）
A． [1，2] B． C． D．（0，2]
10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）
A． B． 8π C． 9π D． 12π
11．（5分）已知函数f（x）=x+﹣2alnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围．
A． [﹣，1] B． [﹣1，] C． [.] D． [，1]（
12．（5分）在一个正方体的内切球中有一个内接正四棱锥，记正四棱锥的体积为V1正方体的体积为V2，且V1=KV2，则K的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13．（5分）在△ABC中，=（1，1﹣sinA）=（cosA，1），且⊥，则A=．
14．（5分）若对任意n∈N+，关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0在（﹣∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是 ．
15．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为 ．
16．四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）（2013秋?房山区期末）在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，a=2，sin，且△ABC的面积为4
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求边b、c的长．
18．（12分）已知数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn且Sn+1=Sn+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn＜的n值．
19．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（C）=1，若c=4，求△ABC 面积的最大值．
20．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面是矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在SC上，∠ABM=60°
（1）确定M点的位置，并证明你的结论
（2）求钝二面角S﹣AM﹣B的余弦值．
21．（12分）（2007?江西）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的大小；
（3）求此几何体的体积．
22．（12分）（2014?巴中模拟）f（x）=|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（3）试比较++…+与的大小．（n∈N*且n≥2），并证明你的结论．
2014-2015学年辽宁省葫芦岛一中高三（上）周考数学试卷（十九）（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项中，只有一个符合要求的）
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（ ）
A． {1，4} B． {2，3} C． {9，16} D． {1，2}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．
解答：解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}．
故选A．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）条件p：（1﹣x）（1+x）＞0，条件q：lg有意义，则￢p是￢q（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．
解答：解：由（1﹣x）（1+x）＞0得﹣1＜x＜1，
若lg有意义，则1+x+（1﹣x）2＞0，
即x2﹣x+2＞0，则x∈R，
即p：﹣1＜x＜1，q：x∈R，
则q是p的必要不充分条件，
即￢p是￢q的必要不充分条件，
故选：B
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用逆否命题的等价性判断q是p的必要不充分条件是解决本题的关键．
3．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（ ）
A． 10° B． 20° C． 70° D． 80°
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．
解答：解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，
点P在第一象限，OP的斜率
tanα===cot20°=tan70°，
由α为锐角，可知α为70°．
故选C．
点评：本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
4．已知数列{an}、{bn}满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2﹣bnx+2n的两个零点，则b10等于（ ）
A． 24 B． 32 C． 48 D． 64
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由根与系数关系得到an?an+1=2n，取n=n+1后再得一式，两式相除，可得数列{an}中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，求出a10，a11后，可求b10
解答：解：由已知得，an?an+1=2n，
∴an+1?an+2=2n+1，
两式相除得=2．
∴a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列．
而a1=1，a2=2，
∴a10=2×24=32，a11=1×25=32，
又an+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64．
故选：D．
点评：本题考查了韦达定理的应用，等比数列的判定及通项公式求解，考查转化、构造、计算能力，是中档题．
5．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，三侧面两两互相垂直，侧面△SAB，△SAC的面积分别为1，，3，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． 14π B． 12π C． 10π D． 8π
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：先根据题意得出侧棱SA，SB，SC两两垂直，再根据三角形面积公式，解方程组得SA=2，SB=1，SC=3，进而算出以SA、SB、SC为长、宽、高的长方体的对角线长为，从而得到三棱锥外接球R=，最后用球的表面积公式，可得此三棱锥外接球表面积．
解答：解：由题意得，侧棱SA，SB，SC两两垂直，
设SA=x，SB=y，SC=z，则
因为△SAB，△SBC，△SAC都是以S为直角顶点的直角三角形，
得，解之得：x=2，y=1，z=3即SA=2，SB=1，SC=3，
∵侧棱SA，SB，SC两两垂直，
∴以SA、SB、SC为过同一顶点的3条棱作长方体，该长方体的对角线长为=，恰好等于三棱锥外接球的直径
由此可得外接球的半径R=得此三棱锥外接球表面积为S=4πR2=14π
故选A．
点评：本题给出特殊三棱锥，求它的外接球表面积，着重考查了空间垂直关系的性质和多面体的外接球等知识，属于中档题．
6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
A． B． C． 2 D．
考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．
解答：解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，
可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C
△ABC中，cosA==﹣
∵A∈（0，π），∴A=根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1
∵球O的体积为V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB?ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=故选：B
点评：本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．
7．（5分）变量x，y 满足，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，实数a的集合是（ ）
A． {﹣3，0 } B． { 3，﹣1} C． { 0，1 } D． {﹣3，0，1 }
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．
解答：解：不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=﹣ax+z，
若a=0时，直线y=﹣ax+z=z，
此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若﹣a＞0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z 与y=x﹣2平行，
此时﹣a=1，解得a=﹣1．
若﹣a＜0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z 与y=﹣3x+14平行，
此时﹣a=﹣3，解得a=3．
综上满足条件的a=3或a=﹣1，
故实数a的取值集合是{3，﹣1}，
故选：B．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据．
8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，则PC与AB成角的大小是（ ）
A． 30° B． 60° C． 120° D． 90°
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立空间直角坐标系，设PC与AB成角的大小为θ，由cosθ=|cos＜＞|=能求出PC与AB成角的大小．
解答：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AC=BC，
则P（0，1，1），C（0，0，0），
A（0，1，0），B（1，0，0），=（0，﹣1，﹣1），=（1，﹣1，0），
设PC与AB成角的大小为θ，
cosθ=|cos＜＞|===，
∴θ=60°．
∴PC与AB成角的大小为60°．
故选：B．
点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（loga）≤2f（1），则a的取值范围是（ ）
A． [1，2] B． C． D．（0，2]
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log2a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解．
解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴，
∴可变为f（log2a）≤f（1），
即f（|log2a|）≤f（1），
又∵在区间[0，+∞）上单调递增，且f（x）是定义在R上的偶函数，
∴，即，
解得≤a≤2，
故选：C．
点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，易错处是忽略定义域内的单调性不同，即对称区间单调性相反，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力．
10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）
A． B． 8π C． 9π D． 12π
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；球．
分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
解答：解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为×S△ABC×DQ=，
S△ABC=AC?BQ==2．
即××DQ=，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=9π；
故选：C．
点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．
11．（5分）已知函数f（x）=x+﹣2alnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围．
A． [﹣，1] B． [﹣1，] C． [.] D． [，1]（
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：函数在区间（1，2）内是增函数，转化成导数在这个区间上大于等于0恒成立问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0．
解答：解：∵f′（x）=1﹣﹣=要使函数f（x）=x+﹣2alnx在区间（1，2）上单调递增，
需f′（x）≥0在（1，2）上恒成立；
即≥0在（1，2）上恒成立，
即x2﹣2ax﹣3a2≥0在（1，2）上恒成立，
设h（x）=x2﹣2ax﹣3a2，则它的对称轴为x=a，
①当a≤1时，h（1）=1﹣2a﹣3a2≥0，解得﹣1≤a≤；
②当1＜a＜2时，△=4a2+12a2≤0，a不存在；
③当a≥2时，h（2）=4﹣4a﹣3a2≥0，a不存在；
综上可知，a的取值范围是﹣1≤a≤．
故选：B．
点评：本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想；关键是把问题转化成求最值问题解决．
12．（5分）在一个正方体的内切球中有一个内接正四棱锥，记正四棱锥的体积为V1正方体的体积为V2，且V1=KV2，则K的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：设出正方体的棱长，求出球的半径，然后求解球的内接正四棱锥的体积的表达式，求出正四棱锥体积的最大值，即可求解K．
解答：解：设正方体的棱长为2，则正方体的内切球的半径为1，正方体的体积V2=8．
设正四棱锥底面边长为a，底面到球心的距离为x，
则：x2+（）2=12，
是正四棱锥的体积为：V=a2h=a2（1+x）=（1﹣x2）（1+x）其中x（0，1），
因为（1﹣x2）（1+x）=（2﹣2x）（1+x）（1+x）≤=，当且仅当x=时取等号．
正四棱锥的最大值为：，即V1=，V1=KV2
可得=8k，解得k=．
故选：A．
点评：本题考查正方体的内接球，球的内接体，几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题以及空间想象能力计算能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13．（5分）在△ABC中，=（1，1﹣sinA）=（cosA，1），且⊥，则A=．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．
分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，由二倍角公式，结合同角的商数关系可得tan=，由A为三角形的内角，计算即可得到．
解答：解：由=（1，1﹣sinA）=（cosA，1），且⊥，
则=0，
即cosA+1﹣sinA=0，
即2cos2=2sincos，
由于0＜A＜π，即0＜＜π，
即有cos=sin，
tan=，即有=，
即有A=．
故答案为：．
点评：本题考查向量垂直的条件：数量积为0，主要考查二倍角公式和同角公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）若对任意n∈N+，关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0在（﹣∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是　（﹣∞，﹣1]　．
考点：函数恒成立问题．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于x2+x ≥（）nmax对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立．
解答：解：关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，
等价于x2+x≥（）nmax对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，
∴x2+x≥对 x∈（﹣∞，λ]恒成立．
设y=x2+x，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，
∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+λ≥，
解得λ≤﹣1，或λ≥（舍）
当x＞﹣，左边的最小值就是在x=﹣时取到，
达到最小值时，x2+x，=﹣，不满足不等式．
因此λ的范围就是λ≤﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
15．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为　（0，2）　．
考点：其他不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．
专题：计算题．
分析：设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．
解答：解：设g（x）=f（x）﹣x，
∵f′（x）＜，
∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，
∴g（x）为减函数，又f（1）=1，
∴f（log2x）＞=log2x+，
即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），
∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，
∴0＜x＜2，
则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．
故答案为：（0，2）
点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题．
16．四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为 ．
考点：球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积．
专题：球．
分析：设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．
解答：解：四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，边长为2，三角形的高为：．
由题意设内切球的半径为r，
四棱锥的高为：h，∴h==，斜高为：
棱锥的体积为：V=S底?h==．
连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，
∴S全=4×+2×2sin60°=6．
∴=，
r=．
球的体积为：==．
故答案为：
点评：本题考查几何体的内切球的体积的求法，等体积法求法球的半径是解题的关键考查空间想象能力以及计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）（2013秋?房山区期末）在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，a=2，sin，且△ABC的面积为4
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求边b、c的长．
考点：解三角形；三角形中的几何计算．
专题：计算题．
分析：（I）由二倍角公式cosB=1﹣2可求
（II）由cosB，及0＜B＜π可求sinB，，然后由三角形的面积公式可求c，再由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB可求
解答：解：（I）∵sin，
∴cosB=1﹣2=1﹣2×=（II）由（I）cosB=，且在△ABC中0＜B＜π
∴
又由已知S△ABC=4且a=2
∴解得c=5
∴b2=a2+c2﹣2accosB==17
∴
∴
点评：本题主要考查了二倍角公式、同角平方关系、三角形的面积公式、余弦定理等公式的综合应用，属于基础试题
18．（12分）已知数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn且Sn+1=Sn+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn＜的n值．
考点：数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）根据题意可得，从而；
（2）由（1）知，所以Tn=，又，所以不等式Tn＜可化简为，解得n=1或2．
解答：解：（1）∵（n∈N*）
∴，
故，
所以，
又a1=1，
所以，
从而数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
则有；
（2）由（1）知，
所以{}是首项为1，公比为的等比数列，=，
又，
所以不等式Tn＜即为，
化简得，
解得n=1或2．
点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和等知识，考查转化思想，属中档题．
19．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（C）=1，若c=4，求△ABC 面积的最大值．
考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质；解三角形．
分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理，利用三角函数性质求得函数的单调增区间．
（2）利用f（C）=1求得C，进而利用余弦定理建立关于a和b的等式，利用基本不等式求得ab的最大值，进而利用三角函数面积公式求得面积的最大值．
解答：解：f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
（1）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数单调增，
∴函数f（x）的递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．
（2）∵0＜C＜π，
∴＜2C+＜，
∵f（C）=2sin（2C+）=1，
∴sin（2C+）=，
∴2C+=，C=∴cosC==∴ab=a2+b2﹣c2≥2ab﹣c2，
又∵c=4
∴ab≤16，
∴S△ABC=absin=ab≤4，
故△ABC面积的最大值是4．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对学生基础知识的考查．
20．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面是矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在SC上，∠
ABM=60°
（1）确定M点的位置，并证明你的结论
（2）求钝二面角S﹣AM﹣B的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出；
（2）设分别是平面SAM，MAB 一个法向量，由，解出利用法向量的夹角计算公式即可得出．
解答：解：（1）点M是线段SC的中点，证明；建立以D为原点，DA所在直线为Ox轴，DC所在直线为Oy轴，DS所在直线为Oz轴的如图空间直角坐标系：
设M（x，y，z），S（0，0，2），A，，C（0，2，0）．
设（λ＞0）．
则（x，y，z﹣2）=λ（﹣x，2﹣y，﹣z），
可得M，
∴=，
又=（0，2，0），∠ABM=60°．
∴cos60°=，
∴=，
解得λ=1，因此点M是线段SC的中点．
（2）由（1）有M（0，1，1），=（，﹣1，﹣1），
又=，=（0，2，0）．
设=（x1，y1，z1），分别是平面SAM，MAB 一个法向量，
则，解得=，
同理可得=．
∴cosθ=﹣=．
点评：本题考查了利用平面的法向量夹角求二面角的方法、向量的夹角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2007?江西）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的大小；
（3）求此几何体的体积．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：计算题；证明题；压轴题．
分析：（1）由题意及图形，利用直三棱柱的特点，因为O为中点连接OD，由题意利用借助线面垂直的判定定理证明OC∥平面A1B1C1；
（2）由题意利用三垂线定理找到二面角的平面角，在三角形中进行求解二面角的大小；
（3）由题意及图形利用体积分割的方法，把不规则的几何体分割成两个规则的几何体，利用相应的体积公式进行求解．
解答：（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．
则OD∥BB1∥CC1．
因为O是AB的中点，
所以OD=．
则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．C1D?平面C1B1A1且OC?平面C1B1A1，
则OC∥面A1B1C1．
（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2．
作BH⊥A2C2于H，连CH．
因为CC1⊥面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C．
又因为AB=，BC=，AC=．
所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．
因为BH=，所以sin∠BCH=，故∠BCH=30°，
即：所求二面角的大小为30°．
（3）因为BH=，所以=．=?2=1．
所求几何体体积为=．
点评：此题重点考查了线面平行的判定定理，还考查了利用图形及三垂线定理求二面角的平面角的大小；还考查了利用分割法求几何体的体积．
22．（12分）（2014?巴中模拟）f（x）=|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（3）试比较++…+与的大小．（n∈N*且n≥2），并证明你的结论．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）先求出导函数fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判断函数的单调性即可；
（2）求出函数的定义域；求出导函数，从导函数的二次项系数的正负；导函数根的大小，进行分类讨论；判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
（3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g （x）的最小值，只要最小值大于0即可．
解答：解：（1）a=1，f（x）=|x﹣1|﹣lnx
当x≥1时，f（x）=x﹣1﹣lnx，f′（x）=1﹣=≥0
∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的．
x＜1时，f（x）=x﹣1﹣lnx，f′（x）=1﹣＜0
∴f（x）在区间（0，1）减的．
故a=1时f（x）在[1，+∞）上是递增的，减区间为（0，1），f（x）min=f（1）=0
（2）当a≥1，x＞a，f（　x　）=x﹣a﹣lnx，f′（x）=1﹣，
f（x）在[a，+∞）上是递增的，
0＜x＜a，f（x）=﹣x+a﹣lnx，f′（x）=﹣1﹣＜0
∴f（x）在（0，a）递减函数，
0＜a＜1，x≥a，f（x）=x﹣a﹣lnx，
f′（x）=1﹣，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，
f（x）在[1，+∞）递增函数f（x）在[a，1）递减函数，
0＜x＜a 时 f（x）=a﹣x﹣lnx，f′（x）=﹣1﹣＜0，
∴f（x）在（0，a）递减函数．
当a≥1 时 f（x）在[a，+∞），（0，a）增函数．
当0＜a＜1 时 f（x）在[1，+∞），（0，1）增函数．
（3）当a=1 x＞1 时 x﹣1﹣lnx＞0
∴=n﹣1﹣（++…+）＜n﹣1﹣（++…+）=n﹣1﹣（﹣+﹣+…+﹣）=n﹣1﹣（﹣）=点评：本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减．考查分类讨论的数学思想方法，函数的最值，不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化的数学思想，属于基础题。