2018版高考一轮总复习数学理习题 第2章 函数、导数及

(时间：40分钟)
1．现有一组数据如下：
( ) A ．v ＝log 2t
B ．v ＝log 12 t
C ．v ＝
t 2－1
2
D ．v ＝2t －2
答案 C
解析 取t ＝1.99≈2(或t ＝5.1≈5)，代入A 得v ＝log 22＝1≠1.5；代入B ，得v ＝log 12
2＝－1≠1.5；代入C ，得v ＝22
－1
2
＝1.5；代入D ，得v ＝2×2－2＝2≠1.5，故选C.
2．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
c x ，x <A ，c A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产
品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )
A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16 答案 D
解析 (回顾检验法)∵
c A
＝15，故A >4，则有c
2＝30，解得c ＝60，A ＝16，将c ＝60，A
＝16代入解析式检验知正确．故选D.
3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )
A ．100元
B ．110元
C ．150元
D ．190元 答案 D
解析 设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1000－5x )×(20＋x )＝－5x 2
＋900x ＋20000＝－5(x －90)2
＋60500.故当x ＝90时，y max ＝60500，此时售价为每件190元．
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的
次数是(参考数据lg 2≈0.3010)( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案 B
解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1
100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此需4次，故选B.
5．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )
A ．3000元
B ．3800元
C ．3818元
D ．5600元 答案 B
解析 由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
0，x ≤800x －，800<x ≤4000，0.11x ，x >4000
显然由0.14(x －800)＝420，可得x ＝3800.
6．某生产厂商更新设备，已知在未来x (x >0)年内，此设备所花费的各种费用总和y (万元)与x 满足函数关系y ＝4x 2
＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为________．
答案 4
解析 y x
＝4x ＋64
x
≥2
4x ·64x ＝32，当且仅当4x ＝64
x
，即x ＝4时等号成立．
7．若某商场将彩电价格由原价(2250元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖________元．
答案 270
解析 由题意可得每台彩电比原价多卖2250×(1＋40%)×80%－2250＝270(元)． 8．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．
答案 180
解析 依题意，知20－x x ＝y －824－y ，即x ＝5
4(24－y )，
∴阴影部分的面积
S ＝xy ＝5
4(24－y )y ＝54
(－y 2＋24y )(8<y <24)，
∴当y ＝12时，S 有最大值为180.
9．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x 元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
解 (1)根据题意，200⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x ≥3000，
整理得5x －14－3x
≥0，即5x 2
－14x －3≥0，
又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10. (2)设利润为y 元，则
y ＝
900x
·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋1x －3x 2
＝9×104⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，
故x ＝6时，y max ＝457500元．
10．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4
，
已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
22
. (1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)．则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10
＝12，解得x
＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
10 .
(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m
＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m
10 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
12 ，m 10＝12，
解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为
22a (1－x )n .令22a (1－x )n ≥1
4
a ，即(1－x )n
≥24，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
10 ≥⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12
3
2 ，n 10≤3
2
，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．
(时间：20分钟)
11．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是
( )
答案 A
解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.
12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线
y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a 8
，则m 的值
为________．
答案 10
解析 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt
，即18＝e nt ，
因为12＝e 5n ，故18＝e 15n
，则t ＝15，m ＝15－5＝10.
13．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)
答案 14
a 2
解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2
，
∴D ＝at －t 2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14
a 2，
∴当t ＝12a ，即A ＝14
a 2
时，D 取得最大值．
14．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋k x －8＋
x ，
x ，
已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. (1)求k 的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
解 (1)由题意，得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋k x －8＋
x
，
11－x x
，
因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k
2－8＋2.
解得k ＝18.
(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18
x －8
＋2， 所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[ 2(8－x )＋
18
8－x
]＋18≤－2－x
18
8－x
＋18＝6.
当且仅当2(8－x)＝
18
8－x
，即x＝5时取得等号．
当x≥6时，L＝11－x≤5.
所以当x＝5时，L取得最大值6.
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．。