线性代数第五习题答案详解

第五章
n 维向量空间
习题一
1． 解：a-b = a+(-b)
= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T
3a+2b-c = 3a+2b+(-c)
= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T
2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a
3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a
61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 616a
21a 1+31a 2+(-6
5
)a 3 = a
将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =
21a 1+31a 2+(-6
5
)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .
3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则
有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为
(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0
所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0
所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.
(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2, x 2+y 2,…,
x n +y n )∉V 2.因此V 2不是向量空间.
习 题 二
1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：
(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4
其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,
a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量
b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T 根据对分量相等可得下列线性方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-====++++++1
201
213214321k k k k k k k k k k
解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.
因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .
(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+++++++++1
2
1332223
21
2
143214321k k k k k k k k k k k k k
由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.
因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .
2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相
关.
(2) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=40051011122051011133162111132
1
a a a
因为()332
1
=a a a R
所以a 1,a 2,a 3线性无关.
(3) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0002101114201260111713144211
132
1
a a a
因为()3232
1
<=a a a R
所以a 1,a 2,a 3线性相关.
(4) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=50041011132041011121130111132
1
a a a
因为()332
1
=a a a R
所以a 1,a 2,a 3线性无关.
3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0
又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即
(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有
⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 解得⎪⎩⎪
⎨⎧===0003
21k k k
因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.
4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使
k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0
因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：
k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：
(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0， （下用两种方法解）
法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，
k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0
可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1
取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使
k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。

(2) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性相关时，k 1+k 4，k 2+k 1，k 2+k 3，k 3+k 4中至少存 在 一
个不为0，因此易知k 1,k 2,k 3,k 4不全为0，于是可得b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。

法二：因为a 1,a 2,a 3,a 4为任意向量，
所以当⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+=+=+0
00
04
3322
141k k k k k k k k ，
而该方程组的系数矩阵对应的行列式
01
100011000111001=，所以有非零解
所以b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。

5. 证明：假使向量组b 1,b 2,…,b m 线性相关.即存在不全为0的常数k 1,k 2,…,k m ,使： k 1b 1+k 2b 2+…+k m b m =0 由题意不妨设 a 1=(a 11,a 12,…,a 1r ), a 2=(a 21,a 22,…,a 2r ), …………………, a m =(a m1,a m2,…,a mr )
则相应地， b 1=(a 11,a 12,…,a 1r ,a 1r+1,… a 1n ), b 2=(a 21,a 22,…,a 2r ,a 2r+1,… a 2n ), …………………,
b m =(a m1,a m2,…,a mr ,a mr+1,… a mn )
由k 1b 1+k 2b 2+…+k m b m =0可得： k 1a 11+k 2a 21+…+k m a m1=0 k 1a 12+k 2a 22+…+k m a m2=0 …………………, k 1a 1r +k 2a 2r +…+k m a mr =0
k 1a 1r+1+k 2a 2r+1+…+k m a mr+1 =0 …………………, k 1a 1n +k 2a 2n +…+k m a mn =0 去前面r 个分量可得：
k 1(a 11,a 12,…,a 1r )+k 2(a 21,a 22,…,a 2r )+…+k m (a m1,a m2,…,a mr )=0 即
k 1a 1+k 2a 2+…+k m a m =0
由假设知k 1,k 2,…,k m 不全为0，因此a 1,a 2,…,a m 线性相关，此与a 1,a 2,…,a m 线性 无关相矛盾，结论得证.
习 题 三
1．
(1) 解：对矩阵进行初等行变换为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡482032251345394751325394754317
3125→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡53105310321043173125→⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡00002100321043173125 该矩阵的秩为3，矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组.
(2) 解：对矩阵进行初等行变换为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--01111000111020
01→⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡---21
1
10001110200
1
→⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---120010001110
20
01
该矩阵的秩为4，因此矩阵的第1,2,3,4列是它的列向量组的一个极大无关组.
2．(1) 解：以a 1,a 2,a 3为列作矩阵A ：
A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------74316514
3
121→⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡------10551
18994
001
→⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00510094
0001 该矩阵的秩为2,它的一个极大无关组为a 1,a 2
(3) 解：以a 1,a 2,a 3为列作矩阵A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡300021001 该矩阵为下三角矩阵，其0≠A ，因此该矩阵的秩为3,它的一个极大无关组为向量组本身.
(4) 解：以a 1,a 2,a 3,a 4,a 5为列作矩阵A,
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---→⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=00
000222001512012
2
1
1222000000015120
12
21
122200151201512012211140113130215
1
2012211A
矩阵A 的秩为3, 矩阵A 的第1,2,3列构成它的一个极大无关组，
3. 证明： （法 一）
设s a a a A ,,,:21 ；t b b b B ,,,:21 ，且r B R A R ==)()( t s b b b a a a C ,,,,,,,:2121
向量组C 能被A 表示，而A 也能被C 表示
所以)()()(B R r A R C R === 取向量组
B 的极大无关组为：r i i i b b b ,,,21 ，它也是向量组
C 的极大无关组
所以向量组C 能由向量组r i i i b b b ,,,21 线性表示，所以向量组C 能由向量组B 线性表示，所以向量组A 能由向量组B 线性表示，加上题设条件，所以向量组A 与向量组B 等价。

（法 二）
设向量组B 和A 的秩均为r,且设它们的一个极大无关组分别为 (b 1,b 2,…,b r ), (a 1,a 2,…,a r ).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大无关组的向量线性表示.因此要证明向量组A 与B 等价，只证明a 1,a 2,…,a r 可由b 1,b 2,…,b r 线性表示即可.
因为B 可由A 线性表示，不妨设 b 1=c 11a 1+c 12a 2+…+c 1r a r b 2=c 21a 1+c 22a 2+…+c 2r a r … … … … … … b r = c r1a 1+c r2a 2+…+c rr a r 不妨设存在常数k 1,k 2,…,k r 使 k 1b 1+k 2b 2+…+k r b r =0 于是可得：
(k 1c 11+k 2c 21+…+k r c r1)a 1+(k 1c 12+k 2c 22+…+k r b r2)a 2+…+(k 1c 1r +k 2c 2r +…+k r b rr )a r =0 由a 1,a 2,…,a r 线性无关可得： k 1c 11+k 2c 21+…+k r c r1=0 k 1c 12+k 2c 22+…+k r b r2=0
… … … … … … k 1c 1r +k 2c 2r +…+k r b rr =0
把k 1,k 2,…,k r 当作未知数，当k 1,k 2,…,k r 只有0解时，b 1,b 2,…,b r 线性无关.要k 1,k 2,…,k r
只有0解，当且仅当ij c ≠0 (i=1,…,r,j=1,2,…,r),即
C=
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡rr r r r r c c c c c c c c c 212222111211 即矩阵C 的秩为r,存在逆矩阵C -1.设C -1=⎥⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡'''''''''rr
r r
r r c c c c c c c c c 21222
2111211
又因为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r b b b 2
1=C ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r a a a 21,则
C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r b b b 21= C -1C ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r a a a 2
1
即
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡r a a a 2
1= C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r b b b 21
因此有：
a 1=11
c 'b 1+12c 'b 2+…+r c 1'b r a 2=21
c 'b 1+22c 'b 2+…+r c 2'b r … … … … … …
a r =1r
c 'b 1+2r c 'b 2+…+rr c 'b r 也即说明，a 1,a 2,…,a r 可由b 1,b 2,…,b r 线性表示，因此结论成立.
4. 证明：(1) 必要性. 若a 是任一n 维向量，由于n+1个n 维向量a 1,a 2,…,a n ,a 必线性相关，
而a 1,a 2,…,a n 线性无关，故a 必可由a 1,a 2,…,a n 线性表示. (2) 充分性.
因为任一n 维向量都能由a 1,a 2,…,a n 线性表示，则特别地n 维单位坐标向量e 1,e 2,
…,e n 都能由a 1,a 2,…,a n 线性表示,因此，a 1,a 2,…,a n 与e 1,e 2,…,e n 是等价的向量组，故 a 1,a 2,…,a n 的秩为n,即它们线性无关.
5. 证明：因为R 3=L(e 1,e 2,e 3), e 1,e 2,e 3表示单位坐标向量，所以只须证明L(e 1,e 2,e 3)= L(a 1,a 2,a 3).
即证e 1,e 2,e 3与a 1,a 2,a 3等价.显然，a 1,a 2,a 3可由e 1,e 2,e 3线性表示，因而只须证明e 1,e 2,e 3可由a 1,a 2,a 3线性表示即可.
因为()321,,a a a ＝()321,,e e e ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110且0
11101110＝２
因此矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110为可逆矩阵，其逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---212
121212********* 即()321,,e e e ＝()321,,a a a ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡---212
12
1212121
2121
21
这说明e 1,e 2,e 3可由a 1,a 2,a 3线性表示，因此L(a 1,a 2,a 3) = R 3.
6. 证明： （法 一）
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1110110111101101111000111101001121T T a a ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11101101111022021110331221T T b b 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T
T a a 2
1
与⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛T T b b 21有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过有限次初等行变换得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价，所以向量组T
T
a a 21,与向量T
T
b b 21,等价，即向量组a 1,a 2与向量组b 1,b 2等价。

（法 二）
(1) (`b 1,b 2)能由(a 1,a 2)线性表示.
设(`b 1,b 2)= (a 1,a 2)⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡42
31
k k k k 即 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---11103
31
2=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11010011
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡42
31k k k k 可解得：⎥⎦⎤⎢
⎣⎡4231k k k k =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--1311 这说明(`b 1,b 2)能由(a 1,a 2)线性表示.
(2) (a 1,a 2)能(`b 1,b 2)由线性表示.
由(1)可知：(b 1,b 2)= (a 1,a 2)⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--1311 1
3
11--=-2≠0
也即是矩阵⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--1311有可逆矩阵，可求得其逆矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡212
32121 因此有(a 1,a 2)= (`b 1,b 2) ⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡21232121
也即(a 1,a 2)能(`b 1,b 2)由线性表示. 由(1),(2)可知:L(a 1,a 2)=L(`b 1,b 2)
7. 解：设存在常数k 1,k 2, k 3使 k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3=0 即
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=++-=++0
230032323
21321k
k k k k k k k 可解得：k 1=k 2=k 3=0
因此a 1,a 2,a 3线性无关,即a 1,a 2,a 3为R 3的一个基.
设向量b 1=l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3, b 2=l 4a 1+l 5a 2+l 6a 3.即(l 1,l 2,l 3)，(l 4,l 5,l 6)分别为b 1,b 2在基a 1,a 2,a 3下的坐标.也即是：
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=++-=++72305
32323
21321l
l l l l l l l 和 ⎪⎩⎪
⎨⎧-=+-=
++--=++13
2389
32656
54654l l l l l l l l
可分别解得：⎪⎩⎪
⎨⎧-===
132
3
2
1l l l 和 ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-==
2
336
5
4l l l 因而b 1,b 2在基a 1,a 2,a 3下的坐标分别为(2,3,-1)和 (3,-3,-2).
8. 解：V 的维数为n-1维，取V 中n-1个向量e 2=(0,1,0,…,0), e 3=(0, 0,1 ,…,0),…,
e n = (0,0,0,…,1).易证e 2,e 3,…,e n 线性无关.对任意x=(0,x 2,x 3,…,x n )有 x=x 2e 2+x 3e 3+…+x n e n ,因此，e 2,e 3,…,e n 为V 的一个基.
习 题 四
1．(1)解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211112211221→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----411332011001→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--431302011001→⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--434302010001
于是可得：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
-===44432
13
4
334x x x x x x 取x 4＝1，可得线性方程组的一个基础解系为：
ξ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-134334
因此可得线性方程组的通解为：η=k ξ, k ∈R. (2) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5311111062531→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---001441002001→⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-001010002001
于是可得： ⎩⎨
⎧=-=023
2
41x x x x
取⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0142x x ，可得线性方程组的一个基础解系为： ξ1=,0012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ξ2=⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1001
因此可得线性方程组的通解为：η=k 1ξ1+k 2ξ2, k 1,k 2∈R.
(3) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7421631472135132→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----199703419901410707421→⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----510016743001410707421 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---732700051001410707421
因此该齐次线性方程组只有0解.
2. (1) 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----69141328354214132→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----147702814140147705421→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000
000021101201 于是可得：
⎩⎨⎧+=
--=2123331x x x x 其导出组的一个基础解系为：ξ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112，非齐次线性方程组的一个特解为0η=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-133
因此非齐次线性方程组的通解为：η=0η+k ξ,k ∈R.
(2) 非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------112211121112→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------211112121211→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---001332331001→ ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001011010001 因此有：⎩⎨⎧+==3
321
1x x x x
可得非齐次线性方程组的一个特解为：0η=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛112.其导出组的一个基础解系为：
ξ=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛111.于是可得非齐次线性方程组的通解为：η=0η+k ξ,k ∈R.
3. 解：因齐次线性方程组的一个基础解系有两个解向量，所以它的系数矩阵的秩为4-2=2,
说明系数矩阵通过行变换，有两行可化为0向量.因此只求其前两行，后两行由前两行通过行变换得到.
设系数矩阵前两行的元素为a 11,a 12,a 13,a 14和a 21,a 22,a 23,a 24.由ξ1, ξ2是齐次线性方程
组的解向量可得：
⎩⎨⎧==++++00233213121114
1312a a a a a a (1)
可解得：⎩⎨⎧+-+-==)2()2(33131213121411a a a a a a
取 a 12=3,a 13=0可有 a 11=-2,a 14=-1,
取 a 12=0,a 13=3可有 a 11=-1,a 14=-2.
由于a 21,a 22,a 23,a 24为未知数所建立的方程组与(1)一致，因此我们将上面的解向量一组作
为a 11,a 12,a 13,a 14的解，另一组作为a 21,a 22,a 23,a 24的解.于是可得一个齐次线性方程组的系
数矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0363133123011032. 因此，该齐次线性方程组为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====+--+--+--+-00003633323323214
321431421x x x x x x x x x x x x x .
4. 解：因非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，则它的导出组的自由未知量个数为1，其
基础解系只有一个解向量，不妨设为ξ.又设非齐次线性方程组的一个特解为0γ，则它的通解为：γ=0γ+k ξ,k ∈R. 因1η,2η是它的两个解向量,为方便之,不妨取k=1和k=－1则可得：
⎩⎨⎧-=+=ξγξγηη0021
因此可解得0γ=21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡9753，ξ=21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111.于是可得通解为：γ=21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡9753+2k ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111,k ∈R.
5. 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2221112111
2λλ→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----λλλλ222331332001→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---2220310320012λλλλ 要方程组有解，其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.因此有2
λ+λ-2=0,可解得λ=-2或λ=1.
(1) 当λ=-2时，其增广矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--022*********，因此⎩⎨⎧++==223321x x x x ，相应地其导出组的解为⎩⎨⎧==3321
x x x x ，它的一个基础解系为ξ=(1,1,1)T . 非齐次线性方程组的一
个特解为0γ=(3,3,1)T .则非齐次线性方程组的通解为γ=0γ+k ξ,k ∈R.
(2) 当λ=1时，同(1)类似可解得非齐次线性方程组的通解为γ=0γ+k ξ,k ∈R.
其中0γ=(2,1,1)T , ξ=(1,1,1)T .
6. 证明：设B=(b 1,b 2,…,b n ),由AB=0知Ab j =0(j=1,2,…,n),即向量组b 1,b 2,…,b n 是方程组
AX=0的解向量，从而它们可由Ax=0的基础解系线性表示.故b 1,b 2,…,b n 的秩不大于n-R(A) (基础解系所含解向量个数),也就是R(B)≤ n-R(A)，或R(B) +R(A)≤ n.
7. .
8.
9.。