(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(答案解析)(2)

一、选择题
1．定义在[0,)+∞的函数()f x ，对任意0x ≥，恒有()()f x f x '>，(1)
f a e
=
，2(2)
f b e
=
，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．无法确定
2．已知函数23()2ln (0)x
f x x x a a
=-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．20,5
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(0,1]
D ．[1,)+∞
3．已知函数()2
ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0x >，有()()1f x f ≥， 则（ ） A ．ln 2a b <-
B ．ln 2a b >-
C ．ln 2a b =-
D ．ln 2a b ≥- 4．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >
C ．a b <
D ．,a b 的大小不能确
定
5．在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（ ）
A ．22sin 1
x
y x =+
B ．221
x
y x =+
C ．x x x x
e e y e e ---=+ D ．x x
x x
e e y e e --+=- 6．已知定义在R 上的函数()
f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ）
A ．(2020)(2021)f ef >
B ．(2020)(2021)f ef <
C ．(2020)(2021)ef f >
D ．(2020)(2021)ef f <
7．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞
B ．[,
)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞
8．下列不可能是函数()()()x
x f x x
e
e Z α
α-=-∈的图象的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数()()()
22
210,
0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞
B ．(
)
2
e ,+∞
C ．(
)2
0,e
D ．()0,e
10．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，记()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.若函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，则在区间(,)a b 上有()0f x ''<恒成
立.已知2
()(2)(1)
e x kx
f x e e e +=
-++在(0,3)上为“凸函数”，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,)e -∞
C ．(1,)+∞
D ．(,)e +∞
11．函数()()()()
22ln 00x x x f x x e x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()22
40f x af x a a -+-=有四个
不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()(),44,-∞⋃+∞
C ．()
{}4,04-
D ．(){},44-∞-
12．若函数()x
x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．2a ≤
B ．1a ≤
C ．1a ≥
D ．2a ≥
二、填空题
13．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；
（2）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）
①直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =. ②直线l ：1x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：()2
1y x =+.
③直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =. ④直线l ：1y x =+在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y e =. ⑤直线l ：1y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =.
14．已知1a >，若对于任意的1[,)3
x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln x
x x a a -≤-恒成立，则a
的最小值为______.
15．对于函数22,0()1
2,0
2x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪
=⎨-+>⎪⎩
有下列命题： ①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22
e
-； ②函数f (x )的最小值为2e
-
； ③该函数图象与x 轴有4个交点；
④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____.
16．已知函数)(f x 的定义域为R ，且)(12f -=．若对任意x ∈R ，)(
2f x '>，则
)(24f x x >+的解集为______．
17．若函数()ln 1f x x x =+的图象总在直线y ax =的上方，则实数a 的取值范围是______.
18．若函数32()1f x x ax x =-++在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.
19．已知函数()(1)2x f x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ∃∈+∞，使得
()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为________.
20．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.
三、解答题
21．已知()()2log 1f x x =+.
（1）若()()0121f x f x <--<，求x 的取值范围； （2）若关于x 的方程()4
0x
f x m -+=有解，求实数m 的取值范围.
22．已知函数()ln(1)f x x a =++，()x a g x e -=，a R ∈.
（1）若0a =，曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线，证明：()000
1
ln 1x x x ++=
； （2）若()()1g x f x -≥，求a 的取值范围.
23．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g (x )＝ln x
x
，x ∈(0，e ]，其中e 是自然常数，a R ∈. （1）讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f (x )>g (x )＋
12
； （3）是否存在正实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
24．已知函数()1ln f x x x =--. （1）求证：()0f x ≥；
（2）求证：对于任意正整数n ，2111111222n e ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+
++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 25．设函数1
()ln ,f x a x a x
=+∈R .
（Ⅰ）设l 是()y f x =图象的一条切线，求证：当0a =时，l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
（Ⅱ）若函数()()g x f x x =-在定义域上单调递减，求a 的取值范围. 26．设函数2
()cos ,()sin a f x x x g x x
=+=
. （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；
（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立，求a 的取值范围.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
构造函数()()x f x g x e =，对其求导得''
()()()x
f x f x
g x e
-=，由()()f x f x '>，可得
'()0g x <，从而可得()g x 在[0,)+∞上单调递减，进而可比较出a 与b 的大小
【详解】
解：令()()x f x g x e =，则''
()()()x
f x f x
g x e
-=， 因为()()f x f x '
>，所以'
()0g x <， 所以()g x 在[0,)+∞上单调递减， 因为12<，所以(1)(2)g g >，即2(1)(2)
f f e e
>，所以a b >， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查数学转化思想，解题的关键是构造函数
()
()x f x g x e
=
，然后求导后可判断出()g x 在[0,)+∞上单调递减，从而可比较出a 与b 的大小，属于中档题 2．D
解析：D 【分析】
求出()'
f x 由()0f x '
≤得
31
4x a x ≤-，令1()4g x x x
=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案. 【详解】
31
()4(0)f x x x a x '=
-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减， 所以3140x a x -+≤，即314x a x ≤-，
令1()4g x x x =-
，由于11
4,y x y x
==-在[]1,2都是增函数， 所以1
()4g x x x
=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=， 所以
3
3a ≤，又0a >，解得1a ≥. 故选：D. 【点睛】
本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1
()4g x x x
=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
3．A
解析：A
【分析】
根据()()1f x f ≥，可得x =1是()f x 的极小值点，即()01f '=，可得a ，b 的关系，对
ln a 与2b -的作差，可得ln (2)ln 24a b a a --=+-，构造
()ln 42,(0)g x x x x =-+>，即可求得()g x 的极大值1
()1ln 404
g =-<，化简整理，即
可得答案. 【详解】
由题意得1()2f x ax b x
'=+-
， 因为()()1f x f ≥，所以()f x 在x =1处取得最小值，即为x =1是()f x 的极小值点， 所以(1)210f a b '=+-=，即12b a =-， 所以ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-， 令()ln 42,(0)g x x x x =-+>，则114()4x g x x x
-'=-=， 令()0g x '=，解得1
4
x =
， 当1
(0,)4x ∈时，()0g x '>，所以()g x 为增函数，
当1
(,)4
x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 为减函数，
所以11
()()ln 121ln 4044
g x g ≤=-+=-<，
所以()ln 42ln (2)0g a a a a b =-+=--<，即ln 2a b <-.
故选：A 【点睛】
解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造()g x 并求极大值，属中档题.
4．A
解析：A 【分析】
根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】
()f x 的定义域是()0,∞+，
11()1x f x x x
'-=-
=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，
()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，
()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，
()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，
()()()
11111x x
x g x x e xe x x
+=+--=-'，
令()1x
h x xe =-，则()()10x
h x x e '=+>，(0,)x ∈+∞
则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即0
01x x e
=，即000x lnx +=，
当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，
当()0x x ∈+∞，
时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11x
g x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，
所以a b = 故选：A ． 【点睛】
关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()
11111x
x x g x x e xe x x
+=+-
-=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，
时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
分析合选项中函数值符号、单调性、奇偶性，并与题中的函数图象作比较，由此可得出合适的选项. 【详解】
对于A 选项，当2x ππ<<时，22sin 01
x
y x =<+，与题中函数图象不符； 对于B 选项，设()221
x
f x x =
+，该函数的定义域为R ， ()()
()2
2
2211
x
x
f x f x x x --=
=-
=-+-+，函数()221
x f x x =+为奇函数， 当0x >时，()2
201
x
f x x =
>+，()()()
()
()
22
22
2
2
2
2142111x x x f x x
x
+--'==
++，
由()0f x '>，可得11x -<<；由()0f x '<，可得1x <-或1x >.
所以，函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-、()1,+∞，单调递增区间为()1,1-，
与题中函数图象相符；
对于C 选项，(
)()
()
222221212
1111
x x x x
x x x x x x x x x x x e e e e e e e y e e e e e e e e -----+---=+====-++++，
所以，函数x x
x x
e e y e e ---=+为R 上的增函数，与题中函数图象不符；
对于D 选项，对于函数x x
x x
e e y e e
--+=-，0x x e e --≠，可得0x ≠，该函数的定义域为{}0x x ≠，
与题中函数图象不符. 故选：B. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．A
解析：A 【分析】
构造函数()()x
g x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】
解：依题意()()0f x f x '+<，
令()()x
g x e f x =，则()(()())0x
g x f x f x e ''=+<在R 上恒成立， 所以函数()()x
g x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即2020
2021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>
故选：A. 【点睛】
四种常用导数构造法：
（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．
（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()x
F x e f x =．
（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()
()x f x F x e
=
． 7．D
解析：D 【分析】
由题意得32x x x a e e e =--，令32()x
x
x g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案.
【详解】 由32()0x
x x f x e
e e a =---=，则32x x x a e e e =--，
令32()x
x
x g x e e
e =--，
则()()()3223()3211213x
x
x x x x x x x g x e e
e e e e e e e '=--=+-=--，
当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减， 所以min
()(0)1g x g ≥=-，()2215()124x
x
x
x
x g x e e e e e ⎡⎤
⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大， 所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．
8．B
解析：B 【分析】 由函数()()x
x f x x
e
e α
-=-，分0a =， a 为正整数，a 为正偶数，a 为正奇数，a 为负整
数分析其定义域，奇偶性和单调性判断. 【详解】
当0α=时，()x
x
f x e e -=-其定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，
又()()()x
x x x f x e
e e e
f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，且单调递增，没有选
项符合题意；
当α为正整数时，()()x
x f x x
e
e α
-=-的定义域为R ，图象经过原点，
当0x >时， ()()11()())(x x x x x x
f x x e e e e x e e x x x ααααα-----'⎡⎤⎡⎤==-+++⎣⎦+⎣-⎦，
因为0,0x x
x x e e
e e --->+>，所以()0
f x '>，则()f x 递增，
又存在0M >，当x M >时，随着x 的增大，()'
f x 的变化率越来越大， 若α为正偶数，则()f x 是奇函数，此时C 选项符合题意； 若α为正奇数，则()f x 是偶函数，此时A 选项符合题意； 当α为负整数时，()()x
x f x x
e
e α
-=-的定义域为{}|0x x ≠，
当α为负奇数，()()()()x
x f x x e
e f x α
--=--=，()f x 为{}|0x x ≠上的偶函数，无
选项符合；
当α为负偶数时且4α≤-时，()()()()x
x f x x e
e f x α
--=--=-，()f x 为{}
|0x x ≠上的奇函数，
当0x >时，()()211(())x x x x f x x e e x x x x x e e x ααααααα----+⎛⎫+--+ ⎪-⎝'⎡⎤=+=⎦
⎭
⎣， 令()2,0x x S x e x x α
α
-+=
+>-， 则()(
)
(
)()()
22
2
2222x
x
x
x
x x S x e x x e ααα
αα---+
-'=
-=-⨯
--，
令(
),0x x x x αϕ->=，则(
)01x
x ϕ'<=， 故(
),0x
x x x αϕ->=为减函数，
而(
)00ϕα=->，()()
(
)2
3
ln ln 2ln t t t αααϕ---+=+=-，
其中2t =≥，
令()2
3
2ln ,2u t t t t t =+-≥，则()()2223,2t t u t t t
+-'=≥，
则()()2
2232+440t
t +-≤⨯-<，故()232ln ,2u t t t t t =+-≥为减函数，
所以()2ln 240u t ≤-<，()()
ln 0ϕα-<，
所以存在()00x ∈+∞,，使得当()00,x x ∈时，()0x ϕ>即()0S x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<即()0S x '>， 故()S x 在()00,x 为减函数，在()0,x +∞为增函数， 因为()00S =，故()00S x <，而当x a >-时，()0S x >， 故存在()10,x ∈+∞，使得当()10,x x ∈时，()0S x <即()0f x '<， 当()1,x x ∈+∞时，()0S x >即()0f x '>，
所以()f x 在()10,x 上为减函数，在()1,x +∞为增函数， 又当0x >时，()0f x >恒成立，故D 选项符合题意. 对任意的整数α，
当α为非负整数时，()f x 在0x =处有定义，且()f x '在0x =不间断，故B 不符合题意，
当α为负整数时，()f x 在0x =处没有定义，故B 不符合题意， 故选：B.
【点睛】
方法点睛：对于知式选图问题的解法：
1、从函数的定义域，判断函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；
2、从函数的单调性，判断函数图象的变换趋势；
3、从函数的奇偶性，判断函数图象的对称性；
4、从函数的周期性，判断函数图象图的循环往复；
5、从函数的特殊点，排除不和要求的图象；
9．B
解析：B 【分析】
分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】
当0x =时，()2
01e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，
得221x a x -=
，设()221
x h x x -=，()()3
210x h x x -'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点
当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()2
2
x x xe e e g x x --'=，
得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2
min (2)g x g e ==，()2
g x e ≥.
因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】
分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.
10．A
解析：A 【分析】
首先根据题中所给的函数解析式，对其求导，再求二阶导，根据题中所给的条件，得到则
有''()0f x <在(0,3)上恒成立，构造函数()x
e e g x x
=，利用导数求得其最小值，得到结果.
【详解】
因为2()(2)(1)e x kx f x e e e +=
-++，所以11(2)'()(2)(1)1
e e x
x k e x kx f x e e e e e +++=-=-+++， (1)''()1
e
x e x k e x f x e kx e e +=-=-+，
要使2
()(2)(1)
e x kx
f x e e e +=
-++在(0,3)上为“凸函数”，
则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，即0e x kx e -<，
即x
e e k x
<在(0,3)上恒成立，
令()x e e g x x =，1122()
'()x e x e x e e e
e x e ex e x x e g x x x --⋅-⋅⋅-==
， 所以()g x 在(0,)e 上单调递减，在(,1)e 上单调递增，
所以min ()()1e
e e g x g e e
===，
所以k 的取值范围是(,1)-∞，
故选：A. 【点睛】
思路点睛：该题属于新定义问题，在解题的过程中，注意： （1）细读题文，理解题中所给的信息，明确凸函数的定义；
（2）根据定义，对所给的函数求导，再求二阶导，令二阶导小于零在给定区间上恒成立； （3）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到所求的结果.
11．C
解析：C 【分析】
作出函数()f x 的大致图象，令()t f x =，则原问题可转为关于t 的方程
2240t at a a -+-=有2个不等实根1t 和2t ，结合()f x 的图象可确定1t 和2t 符合两种情
形：10t =，24t =或()10,4t ∈，()()2,04,t ∈-∞+∞，最后分两类讨论即可求得a 的
取值范围. 【详解】
当0x ≥时，()22x
f x x e
-=，∴()(
)2
22x
f x x x
e
-'=-，
∴当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 函数()f x 的大致图象如图所示：令()t f x =， 当0t =或4时，方程()t f x =有2个实根； 当()
(),04,t ∈-∞+∞，方程()t f x =有1个实根.
当t ∈（0，4）时，方程t ＝f （x ）有3个实根； 则关于x 的方程()()2
240f
x af x a a -+-=有四个不等的实数根可等价于关于t 的方程
2240t at a a -+-=有2个不等实根1t 和2t .
∴1t 和2t 可符合两种情形：10t =,24t =或1t ∈（0，4），()()2,04,t ∈-∞+∞.
若10t =，24t =，则124a t t =+=；
若1t ∈（0，4），()()2,04,t ∈-∞+∞，设g （t ）＝t 2﹣at +4a ﹣a 2，
则g （0）•g （4）＜0，∴()()2
2
416440a a
a a a -⋅-+-<，解得
40a .
综上，实数a 的取值范围为(){}4,04-.
故选：C .
【点睛】
本题考查方程根的问题，利用导数研究函数的单调性与最值，考查学生的数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】 由()x
x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0x x f x a e e -'=--≤在R 上恒
成立，参变分离后，求最值即可的解.
【详解】 由()x x f x ax e
e -=+-在R 上单调递减，
可得：导函数()0x
x f x a e e -'=--≤在R 上恒成立，
因为0x e >，
参变分离可得：min (+)x x
a e e -≤，
+22x x x x e e e e --≥⋅=
2a ≤
故选：A 【点睛】
本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.
二、填空题
13．①③【分析】根据直线在点处切过曲线的定义对5个函数逐个判断可得
答案【详解】对于①由得所以则直线：是曲线：在点处的的切线又当时当时满足曲线在附近位于直线的两侧故直线：在点处切过曲线：故①正确；对于②由
解析：①③ 【分析】
根据直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义，对5个函数逐个判断可得答案. 【详解】
对于①，由3y x =，得2
3y x '=，所以0|0x y ='=，则直线l ：0y =是曲线C ：3y x =在
点()0,0P 处的的切线，
又当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，满足曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直
线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3
y x =，故①正确；
对于②，由()2
1y x =+，得2(1)y x '=+，所以1|0x y =-'=，而直线l ：1x =-的斜率不存在，在点()1,0P -处与曲线C ：()2
1y x =+不相切，故②不正确；
对于③，由sin y x =，得cos y x '=，所以0|1x y ='=，则直线l ：y x =是曲线C ：
sin y x =在点()0,0P 处的切线，
令sin y x x =-，则1cos y x '=-，当02
x π
-<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，
所以当02
x π
-
<<时，0sin 0y x <-=，当02
x π
<<
时，0y '>，函数sin y x x =-递
增，所以当02
x π
<<时，0sin 00y >-=，所以当02
x π
-
<<时，sin x x <，当
02
x π
<<
时，sin x x >，所以曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，
故直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =，故③正确；
对于④，由x y e =，得e x
y '=，所以0|1x y ='=，则曲线C ：x y e =在点()0,1P 处的切
线方程为10y x -=-，即1y x =+，
令()1x
g x e x =--，则()1x
g x e '=-，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 递增，当
0x <时，()0g x '<，函数()g x 递减，则当0x =时，函数()g x 取得极小值，同时也是
最小值(0)0g =，则()0g x ≥，即1x e x ≥+，
则曲线C ：x
y e =不在切线l ：1y x =+的两侧，故④不正确；
对于⑤，由ln y x =，得1
y x
'=，所以|11y x '==，所以曲线C ：ln y x =在点()1,0P 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，
令()1ln g x x x =--，则1
()1g x x
'=-
，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，
()0g x '>，所以函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，
所以当1x =时，函数()g x 取得极小值，也是最小值，所以()(1)0g x g ≥=，所以曲线
C ：ln y x =不在切线l ：1y x =-的两侧，故⑤不正确.
故答案为：①③ 【点睛】
关键点点睛：对直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义正确理解是解题关键.
14．【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令∴在上单调递增∵∴∴恒成立令只需∴单调递增∴单调递减时的最大值为∴∴的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键
解析：3
e
【分析】
不等式等价变形()()()4ln 3ln 3ln 3ln x
x
x
e x x a a x x a a e e
-≤-⇔-≤-，利用同构函数
()ln f x x x =-的单调性得解
【详解】
()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--
()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-
令()ln f x x x =-，()111x f x x x
-'=-
=， ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1
[,)3x ∈+∞，
∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33x
x e
ae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，
令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33x x
g x e -'=，
∴1
[,1),()0,()3
x g x g x ∈'>单调递增，
∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，
1x ∴=时，()g x 的最大值为3
e
，
∴3a e ≥，∴a 的最小值为3e
.
故答案为：3
e
【点睛】
不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键.
15．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(
解析：①②④ 【分析】
求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】
x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝2
2
e -
，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e
-
， x ＞0时，f (x )＝2
1
22x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝12
2e
->-
故f (x )有最小值2
e
-
，②④正确；
令20x x e ⋅=得0x =，令2
1202x x -+=得x =，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.
16．【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性即可得结论【详解】设则因为对任意所以所以对任意是单调递增函数因为所以由可得则的解集故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解利用条件构造函数利用导数研究函数的 解析：)(1,-+∞
【分析】
构造函数)(
()24g x f x x =--，利用导数研究函数的单调性即可得结论. 【详解】
设)(
()24g x f x x =--，则)(
()2g x f x ='-'， 因为对任意x ∈R ，)(
2f x '>，所以()0g x '>， 所以对任意x ∈R ， ()g x 是单调递增函数，
因为)(
12f -=，所以)(
(1)124440g f -=-+-=-=， 由()()10g x g >-=，可得1x >-， 则)(
24f x x >+的解集()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞. 【点睛】
本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数、利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.
17．【分析】根据图象关系利用分离变量法将问题转化为恒成立问题令利用导数可求得则【详解】图象总在上方恒成立定义域为恒成立令当时；当时在上单调递减在上单调递增即实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：分 解析：(),1-∞
【分析】
根据图象关系，利用分离变量法将问题转化为1
ln a x x
<+
恒成立问题，令()()1
ln 0g x x x x
=+
>，利用导数可求得()()min 1g x g =，则()1a g <. 【详解】
()f x 图象总在y ax =上方，ln 1x x ax ∴+>恒成立， ()f x 定义域为()0,∞+，1
ln a x x
∴<+恒成立，
令()()1ln 0g x x x x =+>，()22111
x g x x x x
-'∴=-=，
当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，
()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g ∴==， 1a ∴<，即实数a 的取值范围为(),1-∞.
故答案为：(),1-∞. 【点睛】
结论点睛：分离变量法是处理恒成立问题的基本方法，若()a f x ≤恒成立，则
()min a f x ≤；若()a f x ≥恒成立，则()max a f x ≥.
18．【分析】求出函数的导函数利用导函数与函数单调性的关系只需在上即可【详解】由函数所以函数在上单调递增则即所以令因为由对勾函数的单调性可知在单调递增故故即实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了导
解析：13,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【分析】
求出函数的导函数()f x '，利用导函数与函数单调性的关系只需在()2,+∞上()0f x '≥即可. 【详解】
由函数32
()1f x x ax x =-++，所以()2321f x x ax '=-+，
函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 则()0f x '≥，即23210x ax -+≥，所以3122x a x
≤
+， 令()13133222x g x x x x ⎛
⎫ ⎪=+=⋅+ ⎪ ⎪
⎝⎭
，因为()2,x ∈+∞，
由对勾函数的单调性可知()g x 在()2,+∞单调递增， 故()()1324g x g >=
，故134a ≤，即实数a 的取值范围是13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
故答案为：13,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ . 【点睛】
本题考查了导函数在函数单调性的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.
19．【分析】可知从而根据条件可判断为减函数或存在极值点求导数从而可判断不可能为减函数只能存在极值点从而方程有解这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围【详解】要满足使得成立则函数为减函数或存在极值点当时 解析：()1,+∞
【分析】
可知00lg x x <，从而根据条件可判断()f x 为减函数或存在极值点，求导数
()1x f x e a '=-+，从而可判断()f x 不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程
1x a e -=有解，这样由指数函数x
y e =的单调性即可得出a 的取值范围.
【详解】
00lg x x <，
∴要满足0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，
则函数()f x 为减函数或存在极值点，
()1x f x e a '=-+，
当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤不恒成立，即函数()f x 不是减函数，
∴只能()f x 存在极值点，
()0f x '∴=有解，即方程1x a e -=有解，
即11x a e =+>，
()1,a ∴∈+∞，
故答案为：()1,+∞ 【点睛】
本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.
20．【分析】求导得到恒成立化简得到计算得到答案【详解】在恒成立即恒成立故故答案为【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性意在考查学生的计算能力 解析：[1,)+∞
【分析】 求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1
a x
≤，计算得到答案. 【详解】
1
()ln '()0f x x ax f x a x
=-∴=-≤在()1,+∞恒成立 即1
a x
≤恒成立，故1a ≥ 故答案为[1,)+∞
【点睛】
本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力.
三、解答题
21．（1）10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）(],1-∞-. 【分析】
（1）利用对数的运算法则化简，求解对数不等式. 注意化简前保证真数大于零.
（2）分离参数，利用方程(
)
2log 41x
x m +-=-有解，构造函数
()()2log 41x g x x =+-，求导，分析函数单调性，求出最值，得到m 的取值范围.
【详解】
（1）()()212log 22f x x -=-
()()()()222
lo 2212log 22g 1log 11
f x x x x x x
f ----+-=<+=
1220110222
x x x x ⎧
⎪->⎪
+>⎨⎪-<+⎩
<⎪ 则1
03
x <<
故x 的取值范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
（2）()4
0x
f x m -+=
则()()2
log 4104x
x
f x m m x =+-++=- ()2
log 41x
x m +-=- 设()()2
log 41x
g x x =+-
()()
'
ln 4441
11441ln 2x x x x g x ⋅-=-=++⋅ 当(),0x ∈-∞时，'0g
x
当()0,x ∈+∞时，()'
0g x > 且x →-∞时，()g x →+∞
()2min log 21g x ==
故1m -≥ 则1m ≤-
故m 的取值范围为：(],1-∞- 【点睛】
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域. 22．（1）证明见解析；（2）(,0]-∞. 【分析】
（1）求出导函数()'
f x ，()'
g x ，求出()f x 在00(,())x f x 切线方程，利用切线斜率求得
()y g x =的切点坐标，得切线方程，由两条切线方程是相同的，可证结论；
（2）令()()()ln(1)x a h x g x f x e x a -=-=-+-，求得()h x '
，确定单调性，最小值，由
最小值不小于1可得a 的范围． 【详解】
（1）若0a =，则()ln(1)f x x =+，()x
g x e =.
所以1
()1
f x x '=
+，()x g x e '=， 曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()0001
ln 11
y x x x x =
-+++， 令01()1x
g x e x '==
+，则01
ln 1
x x =+，
曲线()y g x =在点0011ln ,11x x ⎛⎫
⎪++⎝⎭
处的切线方程为
()000
11
ln 111y x x x x ⎡⎤=
+++⎣⎦++， 由题意知()()()000000111
ln 1ln 1111
x x x x x x x x ⎡⎤-++=+++⎣⎦+++，
整理可得
()0
00ln 111
x x x +=+，00x =显然不满足， 因此()000
1
ln 1x x x ++=
. （2）令()()()ln(1)x a
h x g x f x e x a -=-=-+-
若0a >，0(0)01a
h e
a e -=-<-=，不符合条件；
若0a =，()ln(1)x
h x e x =-+，1
()1
x h x e x '=-
+， 当(1,0)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()(0)1h x h ≥=，符合条件； 若0a <，则()ln(1)ln(1)1x a
x h x e
x a e x -=-+->-+≥，符合条件.
所以a 的取值范围是(,0]-∞. 【点睛】
思路点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．求切线方程时要注意是函数图象在某点处的切线，还是过某点的切线，由导数得斜率得切线方程，若不知切点时一般需设出切点坐标，写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点，再得切线方程，不能弄错．
23．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；最小值1；（2）证明见解析；（3）存在，2a e =. 【分析】
(1)根据f (x )＝x －ln x ，求导得11()1x f x x x
'
-=-=，分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0求解单调性和极值.
(2)要证 f (x )>g (x )＋
12，即证[f (x )]min －[g (x )]max >1
2
，由(1)知f (x )在(0，e ]上的最小值为1，再利用导数法求得[g (x )]max 即可.
(3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3，求导
11()ax f x a x x
'-=-
=，分0<1a <e ，1a ≥e 讨论求解.
【详解】
(1)因为f (x )＝x －ln x ， 所以11
()1x f x x x
'
-=-
=， 所以当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x ≤e 时，f ′(x )>0时，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1. (2)∵f (x )的极小值为1，
∴f (x )在(0，e ]上的最小值为1，即[f (x )]min ＝1. 又g ′(x )＝
2
1ln x x -， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝
112
e <， ∴[
f (x )]min －[
g (x )]max >
12
， ∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋
12
. (3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3， 则11()ax f x a x x
'
-=-=. ①当0<
1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1
a ，e ]上单调递增， [f (x )]min ＝f (1
a
)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ②当
1
a
≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4
e
(舍去)， 所以，此时f (x )无最小值．
综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时f (x )有最小值3. 【点睛】
方法点睛：不等式问题.
（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．
（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）求导根据导数()0f x '>，()0f x '<求出最小值()10f =进而有()0f x ≥成立 （2）有（1）得ln 1≤-x x ，令112n x =+得11ln 122
n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，不等式通项可加性相加，根据等比数列求和化简即可证明. 【详解】
解：（1）由题意得()11
1x f x x x
-'=-
= 当1x >时()0f x '>，()f x 单调增 当01x <<时()0f x '<，()f x 单调减 所以()f x 的最小值为()10f =， 所以()()01x f f ≥=即()0f x ≥成立 （2）由（1）知ln 1≤-x x 令112n x =+得11ln 122
n n ⎛
⎫+< ⎪⎝⎭ 所以
2212111111ln 1ln 1ln 122222
2n ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+++++<++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221111
212
n
n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭
-
即22111ln 1111ln 222e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
⋅++<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以2111111222n e ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
【点睛】
已知不等式证明问题常用的方法： （1）证明()min f x a ≥或()max f x a ≤；
（3）构造两个函数()()f x g x <，证明()min max ()f x g x < 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）(,2]-∞. 【分析】
（Ⅰ）设切点为00
1
(,)P x x ，求出切线方程并计算l 与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.
（Ⅱ）由题设可得()0g x '≤，利用参变分离可得a 的取值范围. 【详解】
（Ⅰ）当0a =时，1
(),0f x x x =>，21()f x x
'=-，
设()f x 图象上任意一点001
(,)P x x ，切线l 斜率为020
1()k f x x =-'=. 过点001(,
)P x x 的切线方程为0200
11
()y x x x x -=--. 令0x =，解得0
2
y x =
；令0y =，解得02x x =. 切线与坐标轴围成的三角形面积为00
12
|||2|22S x x =
⋅=. 所以l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关. （Ⅱ）由题意，函数()g x 的定义域为(0,)+∞. 因为()g x 在(0,)+∞上单调递减， 所以2
1
()10a g x x x '=
--≤在(0,)+∞上恒成立， 即当(0,)x ∈+∞，1
a x x
≤+恒成立， 所以min 1()a x x
≤+ 因为当(0,)x ∈+∞，1
2x x
+
≥，当且仅当1x =时取等号. 所以当1x =时，min 1()2x x
+= 所以2a ≤.
所以a 的取值范围为(,2]-∞. 【点睛】
结论点睛：一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()
00f x f x ''><，则()f x 在
(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函
数，则()()()
00f x f x ''≥≤． 26．（1）()f x 单调递增；（2）2
4
a π.
【分析】 （1）求导()'
2sin f
x x x =-，得出导函数的符号，从而可得函数()f x 单调性.
（2）由已知将问题转化为不等式sin ()a x f x ⋅恒成立，令()sin ()k x x f x =⋅，求导
''()cos ()sin ()k x x f x x f x =⋅+⋅，分析导函数的符号，得出()k x 单调递增，求得()
k x 的最大值，由恒等式的思想可得出a 的取值范围. 【详解】 解：（1）()'
2sin f
x x x =-，令()2sin h x x x =-，
当[0,]x π∈时，'
()2cos 0h x x =->，所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增；
所以()(0)0h x h =，即()0f x '
，所以()f x 单调递增.
（2）因为当,62x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()()0f x g x -恒成立， 所以当,62x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，不等式sin ()a x f x ⋅恒成立， 令()sin ()k x x f x =⋅，所以''
()cos ()sin ()k x x f x x f x =⋅+⋅，
因为当,62x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，'cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x >>>>，所以'()0k x >，所以()k x 单调递增，
所以2
()24k x k ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，所以2
4a π≥
. 【点睛】
方法点睛：对于不等式恒成立问题，常常采用：()f x a >对一切x I ∈恒成立，等价于
min ()f x a >；()f x α<对一切x I ∈恒成立，等价于max ()f x α<．。