广西南宁市第三中学高一数学下学期期中试题

广西南宁市第三中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．=︒240sin （ ）
A ．2
1
-
B ．2
3-
C ．
2
1
D ．2
3
2．已知向量(,1),(1,1),a k b ==-r r ，如果//a b r r
，那么（ ）
A ．1k =且c r 与d u r
同向
B ．1k =且c r 与d u r
反向
C ．1k =-且c r 与d u r
同向 D ．1k =-且c r 与d u r
反向
3．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝2sin(2x ＋π4)，g(x)＝sin(2x ＋π
3)，
h(x)＝cos(x －π
6)的部分图象如图所示，则( ) A ．a 为f(x)，b 为g(x)，c 为h(x) B ．a 为h(x)，b 为f(x)，c 为g(x) C ．a 为g(x)，b 为f(x)，c 为h(x)
D ．a 为h(x)，b 为g(x)，c 为f(x)
4．函数y ＝cosx ·|tanx| ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-
22
ππ
x 的大致图象是（ ）
5．如图， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）
A ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r r
B ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r
C ．0A
D B
E C
F ++=u u u r u u u r u u u r r
D ．0BD B
E FC --=u u u r u u u r u u u r r
6．若扇形的弧长是8cm ，面积是8cm 2，则扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．π
D ．4
7．=1=1=3++a b c a b c a b c r r r r r r r r r 若向量、
、两两所成的角相等，且，，，则等于（ ） A ．2
B ．5
C ．2或5
D 25或8．将函数y ＝)2cos(φ+x 的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能取值为（ ） A ．4
3π B ．
4
π C ．
8
3π D ．－4
π
9．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)．若点C 满足
,,,1OC OA OB R αβαβαβ=+∈+=u u u r u u u r u u u r
其中且，则点C 的轨迹方程为( )
A ．3x ＋2y －11＝0
B ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝5 C ．2x －y ＝0
D ．x ＋2y －5＝0
10．函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)，y ＝f (x)的部分
图象如图所示，则f (π
24)＝（ ） A 3B ．3C ．
33
D ．33
-
11．使sin cos x x <成立的一个区间是（ ）
A ．3(,
)4
4
π
π- B ．1(,
)2
2
π
π- C ．13(,
)44
ππ- D ．(0,)π
12．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
()cos cos AB AC OP OA AB B AC C
λ=++⋅⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r
，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹经过△ABC 的( ) A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上)
13．已知(3,4)a =r
则a =r ___________
14．已知向量(1,2)a →
=，(2,3)b →
=-，(4,1)c →
=，若用→a 和→b 表示→c ，则→
c =____ 15．函数y =lg （2sin x +1）的定义域为________________________．
16．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →
|＝
1，
则|OA →＋OB →＋OD →
|的最大值是 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知3
tan 4
α=-，求sin cos αα、的值。

18．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），
).2
3,2(ππα∈
（I ）若|,|||BC AC =求角α的值；
（II ）若2
5
AC BC ⋅=u u u r u u u r ，求tan α的值.学
19．（本小题满分12分）已知|a r |=4，|b r |=3，(2a r -3b r )·(2a r +b r
)=61,
（1）求向量a r 与向量b r
的夹角θ； （2）若(k a r +b r )⊥b r
，求k 的值.
20．（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F
分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形EFGH .
（I ）在图中画出这个正方形EFGH （不必说明画法与理由）； （Ⅱ）求二面角1H EG B --的余弦值．
21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,ABCD PA PD ⊥ ,PA PD =,1,2,5AB AD AB AD AC CD ⊥====
（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（2）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM//平面PCD ？若存在，求
AM
AP
的值；若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分12分）已知圆2
2
:4O x y +=和点(1,)M a 。

（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； （2）若2a =
M 的圆的两条弦,AC BD 互相垂直，求AC BD +的最大值。

南宁三中2017~2018学年度下学期高一段考
理科数学试题答案
1．B
2．D (1,0),(0,1)a b ==r r Q ，若1k =，则(1,1),(1,1)c a b d a b =+==-=-r r r u r r r ，显然，a r
与
b r 不平行，排除A 、B 。

若1k =-，则(1,1),(1,1)
c a b
d a b =-+=-=-+=--r r r u r r r ，即//c d
r u r
且与d u r
反向，排除C ，选D 。

3．B 解析：从振幅、最小正周期的大小入手：b 的振幅最大，故b 为f(x)；a 的最小正周期最大，故a 为h(x)，从而c 为g(x)．故选B.
4．C 【解析】函数是偶函数，所以D 排除， ()00=f 过原点，所以A 排除，当
⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx 时，x x x y sin tan cos ==，所以选择C ．
5. C ,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 得0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r
.
或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
.
6．D 18,8,2,42l
l lr r r
α==∴=∴=
=Q ，。

7．C 设向量a b c r r r 、、两两所成的角为θ，由题意可知0θ=o 或120θ=o
，则先求出2++a b c
r r r 的值即可求得答案是C.
8．B y ＝)2cos(φ+x 的图象沿x 轴向左平移
8π
个单位后得])8
(2cos[)(φπ++=x x g )4
2cos(φπ
++
=x ，得到一个奇函数的图象，所以4,0)4cos()0(π
φφπ=∴=+=g
9．D 解析：OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r
Q ，又1αβ+=Q 得1αβ=-，代入上式得
(1)OC OA β=-u u u r u u u r
,OB AC AB ββ+∴=u u u r u u u r u u u r
，即知A 、B 、C 三点共线，求C 点的轨迹方程即为求AB 的直线方程。

由(3,1),(1,3)A B -知AB 的方程为250x y +-=，即为C 点的轨迹方程．答案：D 10．A 解析：本题可先通过f(x)相邻两零点与周期的关系求出周期，其次再利用零点及|φ
|<π2，求出φ，利用f(0)＝1，求出A ，得到f(x)，最终代数求出f(π24)的值．3π8－π8＝
π4＝T 2，∴T ＝π2，又∵T ＝π
|ω|，ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝Atan(2x ＋φ) 又∵f(3π8)＝0，∴Atan(3π4＋φ)＝0，∴φ＋3π
4＝k π(k ∈Z) ∴φ＝k π－3π4，又∵|φ|<π2，∴φ＝π
4 ∴f(x)＝Atan(2x ＋π
4)，又∵f(0)＝1，∴A ＝1 ∴f(x)＝tan(2x ＋π4)，∴f(π24)＝tan π
3＝ 3. 答案： 3
11．A 解释：由sin y x =和cos y x =的图像可知不等式sin cos x x <的解集为
()Z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-
ππππ24,243，当0=k 时为A 。

12．D (),(),cos cos cos cos AB AC AB AC
OP OA AP AB B AC C AB B AC C
λλ=++∴=+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r
又()0,cos cos AB AC
BC BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=∴⋅⋅u u u r u u u r
u u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r
与 ()cos cos AB AC
AB B AC C
λ+⋅⋅u u u r u u u r u u u r
u u u r
垂直，即点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心。

13. 5
14.【解析】2c a b =-r r r 设c xa yb →=+r r ，
则(,2)(2,3)(2,23)(4,1)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,1x y x y x y -=+===-
15．【解析】由01sin 2>+x 即21sin -
>x ，∴6
π
-+2k π＜x ＜67π+2k π（k ∈Z ）． 故此函数的定义域为{π6x -+2k π＜x ＜6
7π
+2k π，k ∈Z}．
16．解析：设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1可知(x －3)2＋y 2
＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →
＝(－1，0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，
∴|OA →＋OB →＋OC →
|＝（x －1）2＋（y ＋3）2，问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点
P (1，－3)间距离的最大值．
∵圆心C (3，0)与点P (1，－3)之间的距离为（3－1）2＋（0＋3）2＝7，
故（x －1）2＋（y ＋3）2
的最大值为7＋1.
17．解：3tan 0,4αα=-<∴Q 为第二或第四象限角，22sin cos 1
sin 3
cos 4αααα⎧+=⎪
∴⎨=-⎪
⎩， 当α为第二象限角时，34
sin ,cos 55αα=
=-； 当α为第四象限角时，34
sin ,cos 55
αα=-=，
（注：34
sin ,cos 55αα=±=±得5分）
18．解：（I ）(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-u u u r u u u r
Q ，
22(cos 3)sin 106cos AC ααα∴=-+=-u u u r
22cos (sin 3)106sin BC ααα=+-==u u u r
，
由AC BC =u u u r u u u r 得sin cos αα=，又35(,),224
πππ
αα∈∴=Q 。

（II ）由25AC BC ⋅=u u u r u u u r ，得2
(cos 3)cos sin (sin 3)5αααα-+-=，
1
sin cos 5
αα∴+= ①
由①式两边平方得1
12sin cos 25
αα+=，
2242449
2sin cos ,(sin cos )1()252525αααα∴=-∴-=--=，
又242sin cos 0,(,)252παααπ=-<∴∈，7sin cos 0,sin cos ,5
αααα∴->∴-= 434
sin ,cos ,tan 553
ααα∴==-∴=-
19．解：(1)∵(2a r -3b r )·(2a r +b r )=61, ∴4a r 2-4a r ·b r -3b r 2=61. ∵|a r |=4,| b r
|=3,
∴a r 2=16, b r 2=9, ∴4×16-4a r ·b r -3×9=61, ∴a r ·b r
=-6,
∴cos θ=a b a b ⋅r r r r 61432-==-⨯，又∵0≤θ≤π,∴θ23π
=
（2）由(k a r +b r )⊥b r 得(k a r +b r )·b r =0, 即k a r ·b r +b r 2=0, ∴-6k+9=0, k=3
2
20．分析：（I ）分别在AB 、CD 上取H 、G ，使10AH DG ==，长方体被平面α分成两个高
为10的直棱柱，可求得其体积比值为
97或79。

解析：
A 1
A
B 1B
D 1D
C 1
C
F E H G
M （I ）交线围成的正方形EHGF 如图， （Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ， 则14AM A E ==，18EM AA ==，
因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===． 于是2
2
6MH EH EM =
-=，所以10AH =．
以D 为坐标原点，DA u u u r
的方向为x 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则
(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r
．
设(,,)n x y z =r
是平面EHGF 的法向量，
则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即100,
680,x y z =⎧⎨-+=⎩
所以可取(0,4,3)n =r ．
同理可得，平面B 1EG 的法向量为(4,0,5)m =-u r
，
设二面角1H EG B --的平面角为θ，则341cos cos ,41m n m n m n
θ⋅=<>==⋅u r r
u r r
u r r 。

21．解：（1）取AD 的中点O ，连接PO ，CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，
又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO CO ⊥，因为AC CD =，所以CO AD ⊥。

如图建立空间直角坐标系O xyz -，
由题意得(0,1,0),(1,1,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P -，
设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则0
0n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
r u u u r r u u u r ，即020y z x z --=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1,2x y ==-，所以(1,2,2)n =-r ，
又(1,1,1)PB =-u u u r
，所以3cos ,3n PB n PB n PB
⋅<>==-r u u u r
r u u u r r u u u r 。

（2）设M 是棱PA 上一点，则存在[]0,1λ∈使得AM AP λ=u u u u r u u u r
，
因此点(0,1,),(1,,)M BM λλλλ-=--u u u u r
，因为平面BM ⊄平面PCD ，所以BM//平面PCD ，
当且仅当0BM n ⋅=u u u u r r ，即(1,,)(1,2,2)0λλ--⋅-=，解得1
4
λ=，
所以在棱PA 上存在点M 使得BM //平面PCD ，此时
1
4
AM AP =。

22．解：（1）214a +=，则a =， ……………2分
当a =
(1)3
y x =-
- ……………3分
当a =(1)3
y x =
- ……………4分 （2）解法一：设O 到,AC BD 的距离分别为12,d d ，则22
123d d += (6)
分
AC BD AC BD ==+=……………8分
21()20202)AC BD d +=+=+<<
20=+……………10分
2()40,AC BD AC BD +=∴+
最大的最大值为 ……………12分
（可由公式222
121212()023d d d d d d -≥⇒⋅≤+=）
解法二：当AC 的斜率为0或不存在时，AC BD +=，
当AC 的斜率存在且不为0时，设AC 的方程为(1)y k x =-，
由弦长公式L =得AC =
同理可得，2220,BD AC BD =+=
2
()20220AC BD AC BD +=+⋅=+
20=+
1
2
=-，即3k =±-时，()40AC BD +=最大，
∴+的最大值AC BD。