人教版高中物理必修2第六章 万有引力与航天3. 万有引力定律教案(3)

第六章第三节 万有引力定律
1. 月一地检验
牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度 a==2.74×10-3m ／s 2
一个物体在地面的重力加速度为g=9．8m ／s 2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根
据开普勒第三定律可以导出a ∝（a ∝，而=k ，则a ∝）。

因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，a=g=2．74×10-3m ／s 2。

即其加速度近似等于月球的向心加速度的值。

月球围绕地球做近似圆周运动的向心加速度十分接近地面重力加速度的1／3600，这个重要的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律。

2. 万有引力定律
宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体之间的吸引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成反比。

公式：F=
，其中G=6．67×10-11N ·m 2／kg 2，称为万有引力恒量，而m 1、m 2
分别为两个质点的质量，r 为两质点间的距离。

使用条件：
① 严格地说，严格的说万有引力只是用于质点之间的作用。

② 两个质量分布均匀的球体，吸引力的计算也可以用上式。

③ 一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。

④ 两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r 为两物体质心间的距离。

对万有引力定律的理解
① 万有引力的普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物质之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物质之间都存在着这种相互作用。

② 万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力。

它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。

③ 万有引力的客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才有宏观物理意义。

④ 万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关。

发现万有引力定律的重大意义
它把地面上的运动和天体运动的规律统一起来，第一次揭示了自然界中一种基本的相互作用力，使人们树立了认识并支配宇宙自然规律的信心，解放了思想。

3. 引力常量
英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出了引力常量G ；用实验证明了万有引力定律，
2
24T r 2
1
r 2T r 23T r 21r 2
601
2r mM
G
使万有引力定律具有更广泛的实用价值。

4. 物体在赤道上失重的四个重要规律
地球在不停地自转，除两极之外，地球上的物体由于绕地轴做匀速圆周运动，都处于失重状态，且赤道上的物体失重最多，设地球为匀质球体，半径为R ，表面的引力加速度为g 0≈g ，并不随地球自转变化。

（1）物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随同地球自转所需的向心力之差。

F N =mg —mω2R<mg 。

（2）物体在赤道上的失重等于物体绕地轴转动所需的向心力。

F=F N0一F N =mg —F N = mω2R 。

（3）物体在赤道上完全失重的条件
设想地球自转角速度加快，使赤道上的物体刚好处于完全失重状态，即F N =0，有
F N =mg —mR
，
则mg=ma 0= mR ==m 所以，完全失重的临界条件为
a 0=g=9.8m ／s 2，ω0
=≈rad ／s ，
v 0
=
=7.9km ／s ， T 0=
≈5024s=84min
上述结果恰好是近地面人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。

（4）地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T=24h 的周期自转，不发生瓦解的条件是，赤道上的物体受到的万有引力大于或者等于该物体做圆周运动所需要的向心力。

即
ρ≥=18.9kg/m 3
即最小密度为ρmin =18.9kg/m 3。

地球平均密度的公认值为ρ0=5523 kg/m 3＞＞ρmin ，足以 [例1] 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上．假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（ ）
A. 地球与月球间的万有引力将变大
B. 地球与月球间的万有引力将变小
C. 月球绕地球运动的周期将变长
D. 月球绕地球运动的周期将变短
解析：设开始时地球的质量为m 1，月球的质量为m 2，两星球之间的万有引力为F 0，开矿后地球的质量增加Δm ，月球质量相应减少Δm ，它们之间的万有引力变为F ，根据万有
引力公式，则F 0=
， F==—
2
0ω20ωR v m
2
R T 2
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛πR g 8001
Rg g R
π
22
3GT π22
1r m m G
2
21))((r m m m m G ∆-∆+221r m m G 2221)(r m m m m G ∆+∆-
上式中因m 1>m 2，后一项必大于零，由此可知F 0>F ，故B 选项正确。

不论是开矿前还是开矿后，月球绕地球做圆周运动的向心力都由万有引力提供，故在开
矿前
=。

又T 0=，∴月球绕地球运动的周期T 0=2πr
同理得出开矿后月球绕地球运动的周期为T=2πr ，因△m>0'故T 0>T 。

所以D 选项正确。

答案：B 、D
[例2] 宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为怕￡。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ，求该星球的质量M 。

解析：设抛出点的高度为h ，第一次水平位移为x ，则 x 2+h 2=L 2 ①
同理对于第二次平抛过程有
（2x ）2+h 2=（L ）2 ②
由①②解得 h=
设该行星上重力加速度为g ，由平抛运动规律得：
h=③
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
mg=
④
由以上各式可解得： M=
[例3]开普勒1609年一1619年发表了著名的开普勒行星运行三定律，其中第三定律的内容是：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。

万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它于1687年发表在牛顿的《自然哲学的数学原理中》。

(1)请从开普勒行星运动定律等推导万有引力定律(设行星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动)；
(2)万有引力定律的正确性可以通过“月—地检验”来证明：
如果重力与星体间的引力是同种性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那么，由于月心到地心的距离是地球半径的60倍；月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是重力加速度的1/3600。

试根据上述思路并通过计算证明：重力和星体间的引力是同一性质的力(已知地球半径为6.4×106m ，月球绕地球运动的周期为28天，地球表面的重力加速度为9.8m/s 2)。

解析： (1)设行星的质量为m ，太阳质量为M ，行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R ，
2
21r m m G r v m 2
0202v r
π1Gm r )
(1m m G r
∆+33L
221gt 2R mM
G
2
2
332Gt LR
公转周期为T ，太阳对行星的引力为F 。

太阳对行星的引力提供行星运动的向心力
222
24()Rm F m R T T ππ==
根据开普勒第三定律32R K T =得32
R T K =
故22
4Km
F R π=
根据牛顿第三定律，行星和太阳间的引力是相互的，太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，反过来，行星对太阳的引力大小与也与太阳的质量成正比。

所以太阳对行星的引力 2
Mm
F R ∝
写成等式有 2Mm
F G
R
= (G 为常量) (2)月球绕地球作圆周运动的向心加速度为2
24n a r T
π=
2
6
322
4 3.1460 6.410 2.5910/(28243600)
n a m s -⨯∴=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 月球做圆周运动的向心加速度与地球表面重力加速度的比为
342.591012.6109.83600
n a g --⨯==⨯≈ 所以，两种力是同一种性质的力
[例4] 我国“神舟六号”宇宙飞船的成功发射和回收，标志着我国的航天技术已达到世界先进水平．如图所示，质量为m 的飞船绕地球在圆轨道I 上运行时，半径为r 1，要进入半径为r 2的更高圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ。

已知飞船在圆轨道Ⅱ上运动的速度大小为v ，在A 点通过发动机向后喷出一定质量气体，使飞船速度增加到v ′进入椭圆轨道Ⅲ。

求飞船在轨道I 上的速度和加速度大小．
解析：在轨道I 上，有1112121
,r GM v r v m r Mm G ==解得
同理在轨道II 上，2
r GM v =
联立得1
2
1r r v
v =
设在轨道I 上向心加速度为a 1，则1
2
11r v a =
将1
2
1r r v
v =代入上式，解得22121v r r a =.。