上海市浦东新区2013届高三4月高考预测数学理试题(WORD版)

浦东新区2013年高考预测
数学试卷（理科）
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应
编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．已知复数z 满足i z i -=⋅1（其中i
2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝
}
1,a ，且B A ⊆，则实数a 的值是 .
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3，现用分层抽样的方法从该校高
中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生. 4．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .
5．把三阶行列式1
31
04
3
02--x x
x
中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于x
的不等式0)(<x f 的解集为 .
6．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的标准方程
是 .
7．若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:2
2=++-y x C 有公共点，则实数m 的取值范围
是 .
8．记直线n l ：01)1(=-++y n nx （*
N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S ，
则=++++∞
→)(lim 321n n S S S S .
9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、，若4
1
cos ,7,2-==+=B c b a ，
则=b .
10．若等式5
54
43
322105)1()1()1()1()1(x a x a x a x a x a a x ++++++++++=对一切
R x ∈都成立，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实常数，则4a ＝ .
11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .
12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两
个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 .
13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之
间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.
按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 .
14．数列}{n a 满足1
241+-=
+n n n a a a （*
∈N n ）．
①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项65
49
=
k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,( --∞；
④只要k k k k a 2
32311--≠+，其中*
∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在； 其中正确命题的序号为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个
选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 （ ）
)(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件
)(C 充分必要条件
)(D 既不充分也不必要条件
16,4,33)3()(=+⋅+则a 与b 的夹角为 （ ）
)
(A 6
π
)
(B 3
π
)
(C 32π )(D 6
5π
17．已知以4为周期的函数(]
(]⎪⎩
⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x x
x x m x f π，其中0>m 。

若方程3
)(x
x f =
恰有5个实数解，则m 的取值范围为
（ ）
)(
A 8)3 )(
B )
(C 48,33⎛⎫
⎪⎝⎭
)(D 4(3．
18．从集合{
}2013,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个 集合A ，记A 中所有元素之和被3
除余数为的概率为)20(≤≤i P i ，则210,,P P P 的大小关系为 （ ）
210)(P P P A == 210)(P P P B => 210)(P P P C =< 210)(P P P D >>
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.
如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长是2，体积是16，,M N 分别是棱1BB 、11C B 的中点．
（1）求直线MN 与平面11ACC A 所成的角（结果用
反三角函数表示）；
（2）求过11,,C B A 的平面与该正四棱柱所截得的多
面体111AC D ABCD -的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分.
已知向量()1,1,m =向量n 与向量m 的夹角为34
π
，且1m n ⋅=-。

（1）求向量n ；
（2）若向量n 与(1,0)q =共线，向量2
2cos ,cos 2C p A ⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
，其中A 、C 为ABC ∆的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，求n p +的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
设函数()()||f x x a x b =-+
（1）当2,3a b ==，画出函数()f x 的图像，并求出函数()y f x =的零点； （2）设2b =-，且对任意[1,1]x ∈-，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.
A
B
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，
第（3）小题满分6分.
已知直角ABC ∆的三边长,,a b c ，满足a b c ≤< （1）在,a b 之间插入2011个数，使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ，且它们的和为2013，求c 的最小值；
（2）已知,,a b c 均为正整数，且,,a b c 成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到
大排成一列n S S S S ,,,,321 ，且n n n S S S S T )1(321-++-+-= ，求满足不等式
1226+⋅>n n T 的所有n 的值；
（3）已知,,a b c 成等比数列，若数列{}n X
()n
n
n c a n N a c *
⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，证明：
数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且n X 是正整数.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，
第（3）小题满分8分.
（1）设椭圆1C ：12222=+b
y a x 与双曲线2C ：189922
=-y x 有相同的焦点21F F 、，M
是椭圆1C 与双曲线2C 的公共点，且21F MF ∆的周长为6，求椭圆1C 的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
（2）如图，已知“盾圆D ”的方程为⎩
⎨⎧≤<--≤≤=)43()4(12)30(42
x x x x y .
设“盾圆D ”上的任意一点M 到()1,0F 的距离为1d ，M 到
直线3:=x l 的距离为2d ，求证：21d d +为定值；
（3）由抛物线弧1E ：x y 42
=（2
03
x ≤≤
）与第（1）小题椭圆弧2E ：12
2
22=+b
y a x （a x ≤≤32）所合成的封闭曲线为“盾圆E ”.设过点()1,0F 的直线与“盾圆E ”交于B A 、两点，1||r FA =，2||r FB =且α
=∠AFx （πα≤≤0），试用αcos 表示1r ；并求2
1r r
的取值范围.
浦东新区2013年高考预测
数学试卷答案
一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应
编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．2； 2．1； 3．20； 4．4； 5．)4,1(-； 6．19
2
2
=-y x ； 7．]10,0[；
8．
2
1； 9．4； 10．5- 11．4； 12．38
13．
12
7
- 14．①④。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个
选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15． A ； 16． C ； 17． B 18． B 。

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤． 19． 解：（1）连结1BC ，
1//BC MN ，
∴直线MN 与平面11ACC A 所成的角等于直线1BC 与平面11ACC A 所成的角.
连结,BD BD
AC O =,连结1C O ，
1BC O ∴∠是直线1BC 与平面11ACC A 所成的角.……………………………2分
1BC O ∆中，1BO C B ==4分
11sin BC O BC O ∠=
∴∠=.
∴直线MN 与平面11ACC A 所成的角等于.……………………6分 （2）
正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长是2，体积是16，
14AA ∴=.………………………………………………………………………8分
111118
224323
B A B
C V -=⨯⨯⨯⨯=；
1111111111840
1633
A C D ABCD ABCD A
B
C
D B A B C V V V ---∴=-=-=，……………………11分
∴多面体111AC D ABCD -的体积为
40
3
.……………………………………12分 （文）（1）连结1BC ,
1//BC MN ，
11BC A ∴∠就是异面直线MN 与11A C 所成角.…………………………………2分
在111111,BC A AC BC A B ∆===中，………………………………4分
11cos BC A ∴∠=
，11BC A ∴∠=.
所以异面直线MN 与11A C 所成角为. …………………………6分 20． 解：（1）设(,)n x y =.由1m n ⋅=-，得1x y +=- ①………………………2分
又向量n 与向量m 的夹角为
34
π，得22
1x y += ②……………………………4分 由①、②解得10x y =-⎧⎨
=⎩或0
1x y =⎧⎨=-⎩，(1,0)n ∴=-或(0,1)n =-.………………5分
（2）向量n 与(1,0)q =共线知(1,0)n =-；……………………………………………6分
由2B A C =+知22,,03
33
B A
C A π
ππ=
+=
<<.………………………7分 ()212cos ,cos cos ,cos 2C n p A C A ⎛⎫
+=-+= ⎪⎝⎭
， ……………………………8分
2
221cos 21cos 2cos cos 22
A C
n p C A --∴+=+=
+…………………………9分 1411cos 2cos 21cos 22323A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦.………11分
2510,2,1cos 2333332A A A πππππ⎛⎫<<
<+<∴-≤+< ⎪⎝
⎭，…………12分 得151cos 2234A π⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭，即215,24n p ⎡⎫
+∈⎪⎢⎣⎭
，…………………………13分
2n p ⎡∴+∈⎢.…………………………………………………………14分 21．解：（1）22
23
0()23
x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，………………………………………2分
画图正确.…………………………………………………………………………4分 当0x ≥时，由()0f x =，得2
230x x -+=，此时无实根； 当0x <时，由()0f x =，得2230x x --=，得1,3(x x =-=舍）. 所以函数的零点为1x =-.………………………………………………………6分 （2）由()x f ＜0得，()||2x a x -<.
当0x =时，a 取任意实数，不等式恒成立.…………………………………8分 当01x <≤时，2a x x >-
.令2
()g x x x
=-，则()g x 在01x <≤上单调递增， ∴max ()(1)1a g x g >==-；……………………………………………………10分 当10x -≤<时，2a x x >+
，令2
()h x x x
=+， 则()h x 在上单调递减，所以()h x 在10x -≤<上单调递减.
∴ max ()(1)3a h x h >=-=-.…………………………………………………12分
综合 1a >-.……………………………………………………………………14分
（文）（2）当0x =时，a 取任意实数，不等式恒成立；………………………8分
当01x <≤时，2a x x >-
，令2
()g x x x
=-，则()g x 在01x <≤上单调递增， ∴max ()(1)1a g x g >==-；……………………………………………………10分 当0x <时，2a x x >+
，令2
()h x x x
=+
， 则()h x 在
上单调递减，(,-∞单调递增；
∴max ()(a h x h >==-……………………………………………12分 综合 1a >-.……………………………………………………………………14分 22．解：（1）{}n a 是等差数列，∴
20132
)
(2013=+⋅b a ，即2=+b a .………2分
所以22
22≥=+= b a c ，的最小值为2；……………………………4分 （2）设,,a b c 的公差为()d d Z ∈，则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴=……5分 设三角形的三边长为3,4,5d d d ，面积21
346()2
d S d d d d Z =
⨯⨯=∈，26n S n =，])2(4321[62222223212n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=
n n n 612)24321(62+=++++++= .………………………………7分
由1226+⋅>n n T 得n n n 22
1
2
>+
， 当5≥n 时，n n n n n n n n n
2
1
)(222)1(1222+>-++≥+-+
+= ， 经检验当4,3,2=n 时，n n n 2212
>+
，当1=n 时，n n n 22
1
2<+.………9分 综上所述，满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值为2、3、4.……………10分
（3）证明：因为,,a b c 成等比数列，ac b =2
.
由于,,a b c 为直角三角形的三边长，知2
2c ac a =+，
2
5
1+=
a c ，………11分
()n
n
n c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得n
n
n X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515， 于是1
1
125125125125155+++⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n
n
n n X X
22
25251251+++=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=n n n X .…………12分
12+n n n X X X ++∴=
，则有
)22
2
+
∴
=.
故数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………14分
因为
111=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭
，22
2=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭
*∈=+=⇒N X X X 2213，……………………………………………………15分
由21++=+n n n X X X ，同理可得*
+*+*∈⇒∈∈N X N X N X n n n 21,，
故对于任意的n N *
∈都有n X 是正整数.………………………………………16分 （文）（2）设,,a b c 的公差为()d d Z ∈，则222()(2)a a d a d ++=+， 3a d ∴=.…5分
设三角形的三边长为3,4,5d d d ， 面积21
346()2
d S d d d d Z =
⨯⨯=∈，26n S n =，………………………………7分 当n 为偶数时，)4321(622222321n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=
n n n 33)4321(62+=++++++= ;
当n 为奇数时，n n n n n S T T n n n 336)1(3)1(32221--=--+-=-=-;……9分 综上，)33()1(2n n T n n +-=.……………………………………………………10分 （3）证明：因为,,a b c 成等比数列，ac b =2
.………………………………………11分
由于,,a b c 为直角三角形的三边长，知2
2c ac a =+，
2
5
1+=
a c ，………12分
()n
n
n c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得n
n
n X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515.……13分 于是1
1
125125125125155+++⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n
n
n n X X
22
25251251+++=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=n n n X .……………14分
12+n n n X X X ++∴=,
则有
)2
2
2
+
=
.……………………15分
故数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………16分
23． 解：（1）由21F MF ∆的周长为6得3=+c a ，
椭圆1C 与双曲线2C ：18
992
2
=-y x 有相同的焦点，所以1=c ，
即2=a ，32
2
2
=-=c a b ，13
42
2=+y x 椭圆1C 的方程；…………………4分
（2）证明：设“盾圆D ”上的任意一点M 的坐标为(,)x y ，|3|2-=x d .………5分
当∈M 1C 时，x y 42
=(03)x ≤≤，|1|)1(221+=+-=
x y x d ，
即4)3()1(|3||1|21=-++=-++=+x x x x d d ；…………………………7分 当∈M 2C 时，)4(122--=x y (34)x <≤，|7|)1(221x y x d -=+-=
，
即4)3()7(|3||7|21=-+-=-+-=+x x x x d d ；…………………………9分
所以421=+d d 为定值；…………………………………………………………10分 （3）显然“盾圆E ”由两部分合成，所以按A 在抛物线弧1E 或椭圆弧2E 上加以分类，
由“盾圆E ”的对称性，不妨设A 在x 轴上方（或x 轴上）： 当32=
x 时，3
62±=y ，此时35=r ，51
cos -=α；……………………11分
当1cos 5
1
≤≤-α时，A 在椭圆弧2E 上，
由题设知)sin ,cos 1(11ααr r A +代入13
42
2=+y x 得，
012)sin (4)cos 1(32121=-++ααr r ，
整理得09cos 6)cos 4(12
12=-+-ααr r ，
解得αcos 231+=
r 或2
cos 3
1-=αr （舍去）. …12分
当5
1
cos 1-≤≤-α时A 在抛物线弧1E 上，
由方程或定义均可得到αcos 211r r +=，于是α
cos 12
1-=r ，
综上，αcos 121-=r （51cos 1-≤≤-α）或αcos 231+=r （1cos 5
1
≤≤-α）；
相应地，)sin ,cos 1(22ααr r B --，…………………………………………14分
当5
1
cos 1-≤≤-α时A 在抛物线弧1E 上，B 在椭圆弧2E 上，
]911,1[)cos 111(323cos 2cos 1221∈-+=-⋅-=αααr r ；……………………15分 当1cos 51
≤≤α时A 在椭圆弧2E 上，B 在抛物线弧1E 上， ]1,11
9[)cos 211(232cos 1cos 2321∈+-=+⋅+=αααr r ；……………………16分 当51
cos 51<<-α时A 、B 在椭圆弧2E 上，
)9
11,119(cos 2cos 23cos 2cos 2321∈+-=-⋅+=ααααr r ；…………………………17分 综上2
1r r
的取值范围是]911,119[.…………………………………………………18分
（文）（3）因为“盾圆E ”关于x 轴对称，设),(11y x A 于是),(11y x B -，
所以OAB ∆面积11y x S =，………………………………………………………11分 按A 点位置分2种情况：
①当),(11y x A 在抛物线弧x y 42
=（203
x ≤≤）上时，
设OA
所在的直线方程kx y =（0>k ），
精品文档 联立⎪⎩
⎪⎨⎧≤<=≥=)320(4)6(2x x y k kx y ，得)4,4(2k k A ，同理)4,4(2k k B -， OAB ∆面积)6(16311≥==k k y x S ，所以9
640≤<S ；………………14分 ②当),(11y x A 在椭圆弧)23
2(13422≤<=+x y x 上时， 于是联立⎪⎩⎪⎨⎧≤<=+<<=)232(134
)60(22x y x k kx y ，得3432,34322121+=+=k k y k x ； 即)60(3412211<<+==k k k y x S ，由3434≥+k
k ， 当且仅当2
3=k 等号成立，所以3≤S ，…………………………………17分 综上等腰OAB ∆面积的最大值为3.…………………………………………18分。