2015高考大题之三角函数

2015高考大题之三角函数
1.已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.
(1)求()f x 的单调递增区间；
(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且()2
A
f =a ，求角A 、B 、C 的大小．
2．（本题满分12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点
A 11(,)x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转
23
π
后与单位圆O 交于点B 22(,)x y ，12()f x x α=-；
（Ⅰ）若角α为锐角，求()f α的取值范围；
（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若
3
(),32
f A c =
=，ABC ∆的面积为a 的值。

3.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，且3cos cos cos )a A b C c B =+。

(1) 求tan 2A 的值；
(2) 若1
sin(
)23
B π
+=，c =，求△ABC 的面积。

4、已知向量(3sin 22,cos )m x x =+，(1,2cos )n x =，
设函数n m x f ⋅=)(，x ∈R .
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期与最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中， c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为
2
3
，求a 的值. 5．在ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ，且(cos cos )cos2cos a B b A C c C +=⋅．
（1）求角C ；
（2）若2b a =，ABC ∆的面积sin S A B =⋅，求sin A 及边c 的值． 6．在△ABC 中，已知6
π
=
C ，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ．
（1）求A 的值；
（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD =△ABC 的面积． 7. （本小题满分12分）
在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 2A A =. (1)求A 的大小；
(2)现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③c =.
试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .
8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且
2228
23
ABC b c a S ∆+-=（其中ABC S ∆为△ABC 的面积）．
（Ⅰ）求2sin
cos 22
B C A ++； （Ⅱ）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．
9.某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
10．已知(cos sin )m x x x ωωω=+，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-，其中ω＞0．设
函数f (x )＝m n ⋅，且函数f (x )的周期为π．
(Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列，当f (B )＝1时，判断△ABC 的形状．
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=．
（1）求22a c +的值；
（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．
12．如图，△ABC 中．角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c 满足c=l ，221,a b ab +=+以AB 为边向△ABC 外作等边三角形△ABD ．
(1)求∠ACB 的大小；
(2)设∠ABC=2,||()CD f θθ=．试求函数()f θ的最大值及()f θ取得最大值时的θ的值．
13．（本小题满分12分）已知函数2
()(1cot )sin sin()sin()44
f x x x m x x π
π
=+++
-，
（1）当0m =时，求()f x 在区间3,84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围; （2）当tan a =2时，()f a =3
5
，求m 的值。

14．已知函数
()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．
（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；
(Ⅱ)已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()sin 4
4
f A f B A B ππ
-+-=，角,A B 所对
的边分别是,a b ，求
b
a 1
1+的值．
15. 已知函数2()2sin()sin cos 3f x x x x x π⎡⎤
=++⎢⎥⎣⎦
，x R ∈.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
16．已知向量
3
(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-． (Ⅰ)当//a b 时，求2
cos sin 2x x -的值；
(Ⅱ)设函数
()2()f x a b b =+⋅，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，
若
3
6
sin ,2,3=
==B b a ,求()⎪⎭⎫
⎝
⎛+
+62cos 4πA x f （0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的取值范围．
18.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示.
（I ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （II ）已知ABC ∆的内角分别是A ，B ，C ，若
()4
1,c o s
5
f
A B ==，求sinC 的值.
19.已知函数22()cos sin sin (0),()f x x x x x f x ωωωωω=-+>的两条相邻对称轴间的距离大于等于
π2
． （Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c =3,()1,b c f A +==当1ω=时，求ABC △的面积．
20．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且sin A B
a b
=
． （1）求角B 的大小；
（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值． 21．（本小题满分12分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444
x x x
m n =-=，
记()f x m n =⋅， （I ）求()f x 的值域和单调递增区间；
（II ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，
若1
()2
f A =-，2a =，求ABC ∆的面积．
22.已知函数.2
1
cos )6cos(sin )(2-+-
⋅=x x x x f π
（1）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合；
（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a ，若.3,2
1
)(=+=
c b A f 求a 的最小值.
23. 已知ABC ∆是半径为R 的圆内接三角形，且222(sin sin )R A C ⋅-)sin b B =-.
(1)求角C ；
(2)试求ABC ∆的面积S 的最大值． 24．已知向量2(2sin(),2),(2cos ,0)(0)3
a x
b x π
ωωω=+
=>，函数()f x a b =的图象与
直线2y =-π． （1）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移
12
π
个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．
25.如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=,OP =,点M 在线段PQ 上．
（Ⅰ）若OM =
,求PM 的长；
（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值．
26.
()()3
ABC ,,cos .
4
3
I cot cot ;II BA BC=,.
2
a b c B A C a c ∆=+⋅+ 在中，已知成等比数列，且求 设求的值
27. 如图，直角三角形ABC 中，90B ∠=
，1,AB BC ==,M N 分别在边AB 和
AC 上(M 点和B 点不重合)，将A M N ∆沿MN 翻折，AMN ∆变为A MN '∆，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设AMN θ∠=．
（Ⅰ）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （Ⅱ）求线段A N '长度的最小值．
28．在△ABC 中，已知AB=2，
AC=BC=8，延长BC 到D ，延长BA 到E ，连结DE 。

⑴求角B 的值；
⑵若四边形ACDE
，求AE·CD 的最大值。

答案
2015高考大题之三角函数
1.已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.
(1)求()f x 的单调递增区间；
(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且()2
A f =a ，求角A 、
B 、
C 的大小．
1. 【解析】(1)()3sin())f x x x ωω=)6
x π
ω=-
，2T π
πω
=
=，
故2ω=， ………………3分
())6f x x π=-，由222,262
k x k k Z πππ
ππ-≤-≤+∈，
得：,63
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈.
所以()f x 的单调递增区间为[,]()63k k k Z ππ
ππ-+∈． ………………6分
(2)因为()2
A
f =，所以21)6sin(=-πA ．
因为π<<A 0，所以πππ6
566<-<-A ．所以3π
=A ． ………………9分
因为B b A a sin sin =，b a 3=，所以2
1
sin =B . 因为a b >，所以3π=A ，6π=B ，2
π
=C . ………………12分
2．（本题满分12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点
A 11(,)x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转23
π
后与单位圆O
交于点B 22(,)x y ，12()f x x α=-； （Ⅰ）若角α为锐角，求()f α的取值范围；
（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若
3
(),32
f A c =
=，ABC ∆的面积为a 的值。

2. 解：由三角函数定义知，122cos ,cos()3
x x παα==+
1223()cos cos()cos )3223
f x x ππαααααα=-=-+
=+=+ 由角α为锐角知，
53
3
6π
π
πα<+
<
∴ 1s i n ()123
π
α
<+≤
∴)23π
α<+≤ ∴()f α的取值范围是⎝
（Ⅱ）由3()2f A = 得sin()32
A π+=∵4333A π
ππ<+< ∴3A π=
由1
sin 2
ABC S bc A ∆=
= 3c =得4b = 由余弦定理得a =
3.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，且3cos cos cos )a A b C c B =+。

(1) 求tan 2A 的值；
(2) 若1
sin(
)23
B π
+=，c =，求△ABC 的面积。

3.解： (1)由正弦定理得3sin cos )A A B C =+,得cos sin A A =
=
，
tan tan 2A A =
=
（2）1cos ,sin 3B B =
=
,
sinC sin()sinAcosB cosAsinB 9
A B =+=+=
又
sinA sin sin a b c B C == 得5a b ==1sin 2S ab C ∆== 4、已知向量(3sin 22,cos )m x x =+，(1,2cos )n x =，
设函数x f ⋅=)(，x ∈R .
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期与最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中， c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为
2
3
，求a 的值. 4、解：（1）2()3sin 22cos 22sin(2)36
f x m n x x x π
==
++=+
+，
∴()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=，()f x 的最大值为5 …………6分
（2）由()4f x =得1sin(2)6
2A π
+
=
，0A π<< ，3
A π
∴=，
又1sin 2S bc A ==，2c ∴=
由余弦定理得：a =
………………12分
5．在ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ，且(cos cos )cos2cos a B b A C c C +=⋅．
（1）求角C ；
（2）若2b a =，ABC ∆的面积sin S A B =
⋅，求sin A 及边c 的值． 5.解：（1）∵cos 2C =cosC ，∴2cos 2
C -cosC -1=0
即(2cosC +1)(cosC -1)=0，又0<C <π，∴1cos 2C =-，∴C =23
π
.………6分
（2）由余弦定理得：c 2=a 2+(2a )2
-2a ·(2a )cos 23π=7a 2，∴c a
又由正弦定理得：sinC sinA ，∴sinA .………9分
∵S =12absinC ，∴1
2
absinC sinA ·sinB ，
∴2
2sin sin sin c a b C A B ⎛⎫
=⋅== ⎪
⎝⎭
，得：c sin 23π………12分 6．在△ABC 中，已知6
π
=C ，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ．
（1）求A 的值；
（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD =△ABC 的面积．
6（1）由题意知sin cos 0A B ⋅=+=m n ， ………………………………2分
又π6C =
，πA B C ++=，所以5π
sin cos()06
A A +-=， ………………………4分
即1sin sin 02A A A -+=，即π
sin()06A -=， ……………………………6分 又5π06A <<，所以ππ2π()()663A -∈-,，所以π06A -=，即π
6
A =． …………7分
（2）设BD x =，由3BD BC =，得3BC x =， 由（1）知π6A C ==
，所以3BA x =，2π
3
B =，
在△ABD 中，由余弦定理，得2222π
=(3)23cos
3
x x x x +-⨯⨯， ……10分 解得1x =，所以3AB BC ==， ………………………12分
所以112πsin 33sin 223ABC S BA BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=Δ7. （本小题满分12分）
在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 2A A =. (1)求A 的大小；
(2)现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③c =.
试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) . 7. 解:(Ⅰ)依题意得2sin()23
A π
+=,即sin()13
A π
+
= ∵0A π<<,
∴
4333A ππ
π<+
<
, ∴32A ππ+=, ∴6
A π
= ． ----6分
(Ⅱ)方案一：选择①② 由正弦定理sin sin a b A B
=，得sin sin a
b B A =
=
,sin sin()sin cos cos sin A B C C A B A B A B π++=∴=+=+=
．
11
sin 2122S ab C ∴=
=⨯⨯=. ---------12分 方案二：选择①③ 由余弦定理2222cos b c bc A a +-=,有222
334b b b +-=,则
2b =,c =所以111
sin 2222
S bc A ==⨯⨯=．
说明:若选择②③,由c =得，sin 12
C B ==>不成立,这样的三角形不存．
8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且
2228
23
ABC b c a S ∆+-=（其中ABC S ∆为△ABC 的面积）．
（Ⅰ）求2sin
cos 22
B C A ++； （Ⅱ）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．
8、解析：（Ⅰ）由已知得
A bc A bc sin 2
1
382cos 2⨯=即0sin 4cos 3>=A A 53
sin =∴A
54
cos =A
2
12cos cos 22cos 2cos 12cos 2sin 22-+=++=++A A A A A C B
50
592152425162=-⨯+⨯=………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知53
sin =A 2,3s i n
2
1===∆b A bc S ABC , A b c a c cos 265222++==∴ 又
135
4
5222542=⨯⨯⨯-+=∴a
13=∴a ……………………………………12分
9.某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
9.[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的
正切及不等式的应用。

（1）
tan tan H H AD AD ββ
=⇒=
，同理：tan H
AB α=，tan h BD β=。

AD —AB=DB ，故得
tan tan tan H H h
βαβ
-=
， 解得tan 4 1.24
124.tan tan 1.24 1.20
h H ααβ⨯=
==--
因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h
d AD DB d αβ-=
===
， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d
αβαβαβ--
--====
--+⋅+-+⋅+
()
H H h d d
-+≥，
（当且仅当d ===取等号）
故当d =tan()αβ-最大。

因为02
π
βα<<<
，则02
π
αβ<-<
，所以当d =α-β最大。

故所求的d
是m 。

10．
已知(cos sin )m x x x ωωω=+，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-，其中ω＞0．设
函数f (x )＝m n ⋅，且函数f (x )的周期为π．
(Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列，当f (B )＝1时，判断△ABC 的形状．
10．【解析】：(Ⅰ)∵m ＝)cos 3,sin (cos x x x ωωω+，n ＝()x x x ωωωsin 2,sin cos -（ω＞0）， ∴f (x )＝m ·n ＝x x x x ωωωωsin cos 32sin cos 22+-…………………………………………2分
∴x x x x f ωωπω2sin 32cos 62sin 2)(+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=．
∵函数f (x )的周期为π，∴122=∴==ωπω
π
T ．…………………………………………5分 (Ⅱ)在△ABC 中.1)62sin(2,1)(=+∴=π
B B f ∴2
1)62sin(=+πB ．………………………6分
又∵0＜B ＜π，∴6π＜2B ＋6π＜π6
13．∴2B ＋6π＝65π．∴B ＝3π
．………………8分
∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ．…………………………………………………9分
∴cos B ＝cos 3π＝212222=-+ac b c a , ∴()4
2
2
2c a c a ac +-
+=． 化简得a ＝c ，……………………………………………………………………………11分
又∵B ＝3
π
，∴△ABC 为正三角形．…………………………………………………12分
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=．
（1）求22a c +的值；
（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．
11.解（1）因为8BA BC ⋅=,所以cos 8ac B =.………………………3分 由余弦定理得222222cos 16b a c ac B a c =+-=+-
因为4b =，所以2232a c +=.…………………………………………6分 （2）因为222,a c ac +≥所以16ac ≤。

所以81cos .2B ac =
≥因为()0,,B π∈所以03
B π<≤
因为211
()cos cos 2(1cos 2)sin(2)2262
f B B B B B B B π=+=++=++ 由于
ππ5π
2666
B <+≤，所以π1sin(2),162B ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
所以()f B 的值域为31,
2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． ............... (12)
分
12．如图，△ABC 中．角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c 满足c=l ，221,a b ab +=+以AB 为边向△ABC 外作等边三角形△ABD ．
(1)求∠ACB 的大小；
(2)设∠ABC=2,||()CD f θθ=．试求函数()f θ的最大值及()f θ取得最大值时的θ的值．
12.解⑴在ABC ∆中，2222211
cos 222
a b c a b C ab ab +-+-===
∴
∠3
ACB π
= 4分
⑵由正弦定理知2sin 233sin
3c a πθπθπ⎛⎫⋅- ⎪
⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭ 6分
∴()2
12cos 3f a a πθθ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭
24sin 12cos 3333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2221cos 221333ππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
52222cos 23333ππθθ⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦545sin 2336πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
10分 由于20,3πθ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，故仅当3πθ=时，()f θ取得最大值3. 12分 13．（本小题满分12分）已知函数2
()(1cot )sin sin()sin()44
f x x x m x x ππ=+++-，
（1）当0m =时，求()f x 在区间3,84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围; （2）当tan a =2时，()f a =3
5
，求m 的值。

13解：（1）当0m =时,
2111()sin sin cos (sin 2cos 2))22242
f x x x x x x x π=+=-+=-+
又由35,20,,sin(2).844442x x x πππππ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤∈-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
得所以
从而11())0,.2422f x x π⎡=-+∈⎢⎣⎦
——6分 （2）
[]21cos 21()sin sin cos cos 2sin 2cos 22222
11sin 2(1)cos 222m x m
f x x x x x x x x m x -=+-
=+-=-++
由tan 2a =得22
2cos 2tan 4
cos 1tan 5
a a a a a a +==++2sin2a=
sin ，
22222cos sin 1tan 3cos 1tan 5a a a a a a --==-++2cos2a=sin ,所以31431
(1)52552
m ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦， 得2m =- ——12分
14
．已知函数
()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．
（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域； (Ⅱ)已知ABC ∆外接圆半径3=R
，()()sin 4
4
f A f B A B ππ
-+-=，角,A B 所对
的边分别是,a b ，求
b
a 1
1+的值． 14.解（1
）由题意，
()2f x = 而0m >
，于是m =π
()2sin()4
f x x =+．…………………………………4分
()f x 在]4,
0[π
上递增．在
ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，递减， 所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分
（2
）化简ππ
()()sin 44
f A f B A B -+-=得
s i n
s i n 6s i n s i n A B A B +=．
……7分 由正弦定理，得(
)2R a b +=，……………………………………………9分 因为△ABC 的外接圆半径为3=R
．a b +．…………………………11分
所以
21
1=+b
a …………………………………………………………………12分 15.
已知函数2()2sin()sin cos 3f x x x x x π⎡⎤
=++⎢⎥⎣⎦
，x R ∈.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
15. 解析：
222()2(cos cos sin )sin cos 332sin cos sin 222sin(2)
3
f x sinx x x x x
x x x x x x πππ
⎡⎤
=++⎢⎥⎣⎦
=+=+=+（4分）
于是（1）函数()f x 的最小正周期2(6)2
T ππ=
=分
（2）50,24
3
3
6
x π
π
π
ππ≤≤
∴
≤+
≤
1s i n (2)1,12
23x y π∴≤+≤≤≤则
max min ()2,()1f x f x ∴==
（12分）
16．已知向量
3
(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-． (Ⅰ)当//a b 时，求2
cos sin 2x x -的值；
(Ⅱ)设函数
()2()f x a b b =+⋅，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，
若
3
6
sin ,2,3=
==B b a ,求()⎪⎭⎫
⎝
⎛+
+62cos 4πA x f （0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的取值范围． 16，解：（1）
33
//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-
22
222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5
x x x x x x x x x ---===++
（2）()2()2sin(2)4
f x a b b x π
=+⋅=
+
+
3
2
由正弦定理得
sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以或4
3π=A
因为a b
>，所以4
π
=
A
()
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++62cos 4πA x f =)4x π+12-,
0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以
()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++≤-πA x f
18.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图
象如图所示.
（I ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （II ）已知ABC ∆的内角分别是A ，B ，C ，若
()4
1,c o s
5
f
A B ==，求sinC 的值.
18.解：（Ⅰ）由图象最高点得1=A ，
由周期12πππ,2362T =
-=得2,T πωπ
==所以.2=ω
当6x π=时，1)(=x f ，可得s i n
(2)1.6ϕπ⋅+= 因为,2ϕπ<所以6=ϕπ故()s i n (2).6
f x x π
=+
由图像可得)(x f 的单调递减区间为2π,,.63k k k Z ⎡π⎤
π+π+∈⎢⎥⎦⎣
………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，s in (2)16
π
A += ,又0π
A <<， 132,666πππA ∴<+<2,.626
πππA A ∴+==
30,s i n .5
πB B <<∴=
s i n s i n ()
πC A B =--)sin(B A += B A B A sin cos cos sin +=10
3
3453235421+=
⨯+⨯=. ……12分
19.已知函数22()cos sin sin (0),()f x x x x x f x ωωωωω=-+>的两条相邻对称轴间的距离大于等于
π
2
． （Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c =3,()1,b c f A +==当1ω=时，求ABC △的面积． 19.解：（Ⅰ）
22π()cos sin sin cos 222sin(2),6
f x x x x x x x x ωωωωωωω=-+=+=+
0ω>，∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ωω
=
=， 由题意得：π22T …，即π
π,T ω
=…
解得：01ω<….……………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）1ω=，
π
()2sin(2)6f x x ∴=+，
()1f A =， π1
sin(2)62A ∴+=，
ππ13π2(,),666
A +∈
526
6
A π
π
∴+
=
,即=3A π.
3,3,a b c =+=
∴由余弦定理得：2222cos ,a b c bc A =+-即2
2
3b c bc +-= ①，
22()229b c b c bc +=++= ②，
联立①②，解得：2bc =，
则1sin 2ABC S bc A =
=△……………………………………………………………（12分）
20．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且sin A a =
． （1）求角B 的大小；
（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值．
20.解（1）
sin A a =，由正弦定理得sin sin A A =
， …………4分
tan 3
B B π
==
. …………………………6分
（2）2241
cos 22
a b B ac +-=
=，224a c ac ∴+=+ ……………………………8分 又2
2
2a c ac ∴+≥，所以4ac ≤，当且仅当a c =取等号.………………………10分
1
sin 2
S ac B =
≤
ABC 为正三角形时，max S = ……………………………12分
21．（本小题满分12分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444
x x x
m n =-=，
记()f x m n =⋅， （I ）求()f x 的值域和单调递增区间；
（II ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，
若1
()2
f A =-
，2a =，求ABC ∆的面积． 解。

（1）1
()sin()262
x f x π=-
- ()f x 的值域为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为()244,433k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦……6分
（2）由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=
12sin cos sin ,cos ,23A B A B B π
=∴=∴=
11()sin(
),2622A f A π=--=-解得sin()0,263
A A ππ
-=∴=
因此，△ABC 是正三角形（边长为2）122sin 23
ABC S π
∆∴=⋅⋅=……12分
22.已知函数.2
1
cos )6cos(sin )(2-+-
⋅=x x x x f π
（1）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合； （2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a ，若.3,2
1
)(=+=c b A f 求a 的最小值.
22.解：(Ⅰ)22111
()sin sin cos cos cos 222f x x x x x x x x ⎫=++-=+⎪⎝⎭
11111
2cos2sin 2224264x x x π⎫⎛⎫=
++=++⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. ∴函数)(x f 的最大值为
34.当)(x f 取最大值时sin(2)1,6x π
+=
22()62x k k Z πππ∴+=+∈,解得,6
x k k Z π
π=+∈.
故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
.……………………………………(6分)
(Ⅱ)由题意111
()sin 22642
f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,化简得 1sin(2).62A π+=
()π,0∈A ,132(,)666
A πππ
∴+∈, ∴5266A ππ+=, ∴.3π=A
在ABC ∆中,根据余弦定理,得bc c b bc c b a 3)(3
cos 22
222-+=-+=π.
由3b c +=,知2
924b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
,即2
94a ≥. ∴当32b c ==时,a 取最小值32.…(12分) 23. （本小题满分12分）已知ABC ∆是半径为R 的圆内接三角形，且
222(sin sin )R A C ⋅-)sin b B =-.
(1)求角C ；
(2)试求ABC ∆的面积S 的最大值． 23.解 (1)由2R (sin 2A －sin 2C )
＝(2a －b )sin B ，得
a sin A －c sin C ＝2a sin B －
b sin B ， ∴a 2－
c 2＝2ab －b 2，
4分
由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2
2，
又0＜C ＜π，∴C ＝π
4.
6分 (2)∵c sin C ＝2R ，
∴c ＝2R sin C ＝2R . 由(1)知c 2＝a 2＋b 2－2ab ， ∴2R 2＝a 2＋b 2－2ab .
8分 又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)， ∴2R 2≥2ab －2ab ， ∴ab ≤2R 2
2－2
＝(2＋2)R 2.
10分
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝2
4ab ≤2＋12R 2.
即△ABC 面积的最大值为2＋12
R 2
. 12分
24．已知向量2(2sin(),2),(2cos ,0)(0)3
a x
b x π
ωωω=+
=>，函数()f x a b =的图象与
直线2y =-π． （1）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移
12
π
个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．
解：（1）21()4sin()cos 4sin ()cos cos 322f x a b x x x x x πωωωωω⎡=⋅=+
=⋅-+⋅⎢⎣
⎦
=)2
2sin cos 1cos 2sin 22cos(2)6
x x x x x x π
ωωωωωω-⋅=+-=+
由题意得。

T π=,所以1ω=，故()2cos(2)6
f x x π
=+
+
222,6k x k π
πππ-≤+≤令解得71212
k x k ππππ-≤≤-……………4分 故单调递增区间为7()1212k x k k Z ππππ⎡
⎤-≤≤-∈⎢⎥⎣⎦。

当1k =时，递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； 当2k =时递增区间为723,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，即()f x 的单调递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和723,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
……………………………………………………6分
（2）将函数()f x 的图像向右平移
12
π个单位，得到2cos2y x =
所以()2cos2g x x =()0g x =，得512x k ππ=+或712x k ππ=+………10分 所以在每个周期上恰好有2个零点，若()y g x =在[]0,b 上至少有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，则b 的最小值为5512
π……………………………12分
25.如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=,OP =,点M 在线段PQ 上．
（Ⅰ）若OM =,求PM 的长；
（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值．
25解.(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =,
由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒,
得2430MP MP -+=,
解得1MP =或3MP =． ……………5分
(2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒,
在OMP ∆中,由正弦定理,得
sin sin OM OP OPM OMP =∠∠, 所以()
sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+…………7分
故1sin 2
OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ………9分 ()()
221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()
1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒
=
=
=
==
因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值．即2
30POM ∠=︒时,OMN ∆的面积的最小值为8-．……12分
26.
()()3ABC ,,cos .4
3I cot cot ;II BA BC=,.2a b c B A C a c ∆=+⋅+ 在中，已知成等比数列，且求 设求的值
(
)2226.I sin ,,sin sin sin .....................................................4cos c cot cot sin B a b c b ac
B A
C A A C A ==∴=⇒=+=
+解：由已知得分成等比数列,分
()()()222222sin os sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin 33II BA BC=,cos 2, 2 (822)
2cos 3222 (4)
C A C C A C A B C A C A C B B ca B b ca b a c ac B a c ac ac ++=====⋅∴=⇒===+-∴
=+--⋅分分又，
............................................................................103...................................................................................................................a c ∴+=分...12分27. 如图，直角三角形ABC 中，90B ∠=，1,AB BC ==,M N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将A M N ∆沿MN 翻折，AMN ∆变为A MN '∆，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设AMN θ∠=．
（Ⅰ）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；
（Ⅱ）求线段A N '长度的最小值．
27. 解：（I ）设MA MA x '==，则1MB x =-．
在Rt MBA '∆中，()1cos 2x x πθ--=
， …………………………………2分 ∴2111cos22sin MA x θθ
===-． …………………………………4分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合， ∴42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，．…………………………………5分 （II ）在AMN ∆中，23
ANM πθ∠=- 2sin sin 3AN MA πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭
, 21sin sin 12sin 222sin sin 2sin sin 333MA AN θθθπ
ππ
θθθθ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．…………… 8分
令2212sin sin 2sin sin sin cos 32t πθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1112cos2sin 22226πθθθ⎛⎫=
+-=+- ⎪⎝
⎭………………… 11分 ∵42ππθ<<， ∴52366
πππθ<-<． 当且仅当262ππθ-=，即3πθ=时， t 有最大值32
. ∴3πθ=时，AN '有最小值23．………………… 12分 28．在△ABC 中，已知AB=2，
AC=BC=8，延长BC 到D ，延长BA 到E ，连结DE 。

⑴求角B 的值；
⑵若四边形ACDE
，求AE·CD 的最大值。

解：⑴由余弦定理得： 2221c o s 22
AB BC AC B AB BC +-==∙ 所以B=3
π。

………………………………………4分 ⑵设AE=x ,CD=y 则
∵128sin 23BDE ABC ACDE S S S π∆∆=+=
⨯⨯⨯+=四边形1(2)(8)sin 23
BDE S x y π∆=⨯+⨯+⨯ ∴(2)(8)49x y ++=
∴3382xy x y -=+≥
∴330xy +≤
3≤
∴9xy ≤当且仅当3,62
x y ==时，等号成立。

所以AE·CD 的最大值为9。

………………………………………12分。