艺考3月冲刺专题十二直线与圆的方程

专题十二直线与圆的方程
1．(2013·广东，7，易)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()
A ．x ＋y －2＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋2＝0
2．(2013·辽宁，9，中)已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有
A ．b ＝a 3
B ．b ＝a 3＋
1
a
C ．(b －a 3－a 30
D ．|b －a 3|＋
|
b －a 3－
1a |
＝0
3．(2014·四川，9，难)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的取值范围是()
A ．[5，25]
B ．[10，25]
C ．[10，45]
D ．[25，45]
3．B
直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1，3)．
①当m ＝0时，过定点A 的直线方程为x ＝0，过定点B 的直线方程为y ＝3，两条直线互相垂直，此时P (0，3)，∴|PA |＋|PB |＝4.
②当m ≠0时，直线x ＋my ＝0的斜率为－1
m
，直线mx －y －m ＋3＝0的斜率为m .
∵－1
m
×m ＝－1，∴两条直线互相垂直，即点P 可视为以AB 为直径的圆上的点．当点P 与点
A 或点
B 重合时，|PA |＋|PB |有最小值10.当点P 不与点A ，点B 重合时，如图，△PAB 为直角三角形，且|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.因为|PA |2＋|PB |2≥2|PA ||PB |，所以2(|PA |2＋|PB |2)≥(|PA |＋|PB |)2，当且仅当|PA |＝|PB |时取等号，所以|PA |＋|PB |≤2|P A |2＋|PB |2
2
＝25，
∴|PA |＋|PB |∈[10，25]．综合①②得|PA |＋|PB |∈[10，25]．
4．(2011·浙江，12，易)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.5．(2013·四川，15，难)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.5．【解析】
由已知得k AC ＝
6－23－1＝2，k BD ＝5－（－1）
1－7
＝－1，∴AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，①
BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②
＝2，＝4.
∴直线AC 与直线BD 的交点为P (2，4)，此点即为所求点．∴|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |，取异于P 点的任一点P ′，∴|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D |＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |)>|AC |＋|BD |＝|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |.
故点P 就是到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点．【答案】
(2，4)
直线及其方程在高考中的地位相对较弱，通常与其他知识结合起来进行考查，有两种常见方式：一是与导数结合，求曲线的斜率、倾斜角和切线方程；二是与圆、圆锥曲线结合，考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等．求直线方程的一种重要方法是待定系数法，选择恰当的直线方程的形式对解题往往很重要．
1(1)(2014·福建，6)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂
直，则l的方程是()
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0
(2)(2015·山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()
A．－5
3或－3
5
B．－3
2或－
2
3
C．－5
4或－4
5
D．－4
3或－
3
4
1.(2016·湖南长沙一模，5)过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且a∈N*
，b∈N*，则可作出的直线l的条数为()
A．1B．2C．3D．4
2．(2016·江西上饶模拟，13)设光线从点A(－2，2)出发，经过x轴反射后过点B(0，1)，则光线与x轴的交点坐标为________．
3．(2015·山东烟台高三期中，17，12分)求适合下列条件的直线方程：
(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－1
4倍；
(2)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于点B且|AB|＝5.
(1)由于所求直线过定点(0，3)，且与已知直线垂直，故采用点斜式求直线方程．
(2)由于入射光线与反射光线关于y轴对称，则点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)在反射光线上，然后根据反射光线与圆的位置关系求解斜率．
求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，根据适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：其具体步骤为：①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程即为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．
求斜率的常用方法
(1)已知直线上两点时，由斜率公式k ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
(x 1≠x 2)来求斜率．(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k ＝tan α(α≠90°)来求斜率．此类问题经常与三角函数知识结合在一起，要注意三角函数公式的灵活运用．(3)方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的直线的斜率为k ＝－A B .
(4)①直线的方向向量a 与斜率的关系：a ＝λ(1，k )(λ≠0)．
②直线的法向量n 与一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的关系：n ＝λ(A ，B )(λ≠0)．
两条不同的直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式命题，难度较易．
2(1)(2012·浙江，4)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l
1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y
＋4＝0平行”的(
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b
x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，
且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．
1.(2016·广东广州一模，4)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是(
)
A ．x ＋2y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．2x ＋y －3＝0
D ．x ＋2y －3＝0
2．(2016·安徽阜阳模拟，5)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为()A ．32
B ．22
C ．33
D ．42
题(1)从正反两个方面来检验两直线平行；
题(2)先求导数，即得曲线在点P (2，－5)处的切线的斜率，再利用两条直线平行的条件，建立关于a ，b 的方程组求解．
两直线的位置关系问题的解题策略
(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断．
(2)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．
(3)求与直线有关的距离：利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式；利用平行线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x ，y 的系数对应相等的一般式．
1．(2016·河北秦皇岛一模，2)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是()
A.π6
B.π3
C.2π
3
D.5π6
2．(2016·湖南常德一模，5)已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()
A ．－10
B ．－2
C ．0
D ．8
3．(2015·河北衡水一模，5)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为()
A ．y ＝3x ＋2
B ．y ＝3x －2
C ．y ＝3x ＋
12
D ．y ＝－3x ＋2
4．(2016·山东济南二模)若P (2，1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为(
)
A ．x －y －1＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．2x ＋y －5＝0
5．(2016·湖南箴言中学模拟，5)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝1
16相切，
且θ为锐角，则该直线的斜率是()
A ．－
33
B ．－3
C.33
D.3
6．(2015·安徽合肥一模，8)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤1
8，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是
()A.
24，14
B.2，
22
C.2，
12 D.22，12
7．(2016·云南昆明一模，14)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0
上，且线段AB 的中点为AB 的长为________．
8．(2016·辽宁沈阳一模，14)若直线l ：x a ＋y
b
＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和
y 轴上的截距之和的最小值是________．
1．(2016·山东，7，易)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()
A．内切B．相交C．外切D．相离
2．(2016·课标Ⅱ，6，易)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()
A．－4
3B．－3
4
C.3D．2
3．(2016·北京，5，易)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()
A．1B．2 C.2D．22
4．(2015·安徽，8，易)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是() A．－2或12B．2或－12
C．－2或－12D．2或12
5．(2014·湖南，6，易)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝() A．21B．19C．9D．－11
6．(2013·安徽，6，易)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为() A．1B．2C．4D．46
7．(2013·重庆，4，易)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()
A．6B．4C．3D．2
8．(2012·陕西，6，易)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则()
A．l与C相交B．l与C相切
C．l与C相离D．以上三个选项均有可能
9．(2014·安徽，6，中)过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()
0，π
6 B.0，π
3 C.
0，π
6 D.
0，π
3
10．(2016·浙江，10，易)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．
11．(2016·天津，12，易)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心
到直线2x－y＝0的距离为45
5，则圆C的方程为____________．
12．(2016·课标Ⅰ，15，中)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．
13．(2016·课标Ⅲ，15，中)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
14．(2015·山东，13，中)过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA→·PB→＝________．
15．(2015·湖北，16，中)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．16．(2013·湖北，14，中)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cosθ＋y sinθ＝10＜θ＜π
2.设圆O上
到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
17．(2012·江西，14，中)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
18．(2013·江苏，17，14分，中)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x －4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
19．(2013·四川，20，13分，难)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；
(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且
2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2
.请将n 表示为m 的函数．
圆的方程在高考中涉及三个方面的应用，一是利用直接法或待定系数法或动点轨迹确定圆的方程；二是利用圆的方程求圆心和半径；三是圆的方程与其他知识结合起来进行综合考查，常涉及到点到直线的最大或最小距离问题．但不管是哪一方面，掌握圆的实质内涵“心定位，径定大”是至关重要的．
1(1)(2015·北京，2)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(
)
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
(2)(2014·北京，7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为()
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
(3)(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
1.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2
＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐
标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →
|的最大值为()
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．(2015·课标Ⅱ，7)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213
C.253
D.43
3．(2014·山东，14)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
(1)求出圆的半径，直接写出圆的标准方程；
(2)利用向量知识，转化为AP →·BP →
＝0，结合关系式的几何意义求解即可；
(3)求出圆心到直线的距离的最大值即可，考虑到直线过定点，转化为两点间的距离即为最大半径．
用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组；
(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．
确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
与圆上点(x ，y )有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t ＝
y －b
x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值；
(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
直线与圆的位置关系通常用两种方式表述，一是代数方式，即用直线与圆公共点的个数说明位置关系；二是几何方式，即用圆心到直线的距离说明位置关系，在高考中也主要以这两种方式进行考查．
直线与圆位置关系的应用涉及切线长和弦长，主要以圆心、半径、勾股定理、点到直线的距离、弦心距公式等为基础，所涉及的题目在高考中属于中等难度．
2(1)(2013·陕西，8)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O
的位置关系是()
A．相切B．相交C．相离D．不确定
(2)(2013·山东理，9)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为()
A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0
(3)(2015·湖南，13)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
1.(2014·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2
＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
2．(2014·大纲全国，15)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
3．(2014·重庆，13)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
(1)利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系．
(2)思路一：结合图形可知点A的坐标，再利用直线PC与直线AB垂直，求出直线AB的斜率，从而求出直线的方程；
思路二：将问题转化为两圆相交，即直线AB是以PC为直径的圆与已知圆的公共弦所在直线，将两圆方程相减即可得直线AB的方程；
思路三：设出A，B的坐标，由直线PA，PB均过P(3，1)，得出满足A，B的方程．
(3)结合图形分析，可知∠AOD等于60°，从而半径为点O到直线AB距离的二倍，由点到直线的距离公式求出OD的长，再求半径．
判断直线与圆位置关系的注意问题
若圆方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的
距离的表达较繁琐，则用代数法．
过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－1
k，由点斜式方程可求切线方程．若
切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．
直线与圆的综合问题在高考中出现的频率不高，主要考查一元二次方程根与系数的关系，运算量较大，对逻辑推理能力的要求较高．
3(2015·课标Ⅰ，20，12分)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y
－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
(2014·课标Ⅰ，20，12分)已知点P(2，2)，圆C：x2
＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
(1)直线与圆位置关系的判断有两种方法，即几何法和代数法，结合本例条件可选择用几何法求解．
(2)整体思路：欲求|MN|，需知道直线l的斜率，结合条件中OM→·ON→＝12，可借助向量数量积的坐标表示建立关于k的方程求解．
具体措施：设出点M，N的坐标，将直线方程代入圆的方程，消元，借助根与系数的关系，求出两根之和及两根之积后代入向量数量积运算式求出斜率k，从而得到直线方程，发现直线过圆心，因而求得线段MN的长度．
直线与圆综合问题的求解策略
(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑.
1．(2016·黑龙江鹤岗一模，4)经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．(2016·河北邯郸模拟，5)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()
A．1B．22 C.7D．3
3．(2016·河南鹤壁一模，5)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()
A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0
4．(2016·河北邯郸一模，7)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()
A．35B．65C．415D．215
5．(2016·湖南长沙二模，13)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，若点Q(x，y)是圆C上一点，则x＋y 的取值范围为________．
6．(2016·山东济宁一模，14)当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
7．(2016·辽宁阜新一模，15)过点(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对
的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
8．(2016·湖南箴言中学三模，18，12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
9．(2015·广东十校联考，19，12分)已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心C下方的切线，当a在(0，4]上变化时，求m的取值范围．
一、直线方程的相关概念
1．表示直线方向的两个量
(1)直线的倾斜角
①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角．
②范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
(2)直线的斜率
①定义：当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．
每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都能反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．
②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k
＝y2－y1 x2－x1
.
2．直线方程的形式及适用条件
名称几何条件方程局限性
点斜式过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线
斜截式斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式过两点(x1，y1)，(x2，
y2)(x1≠x2，y1≠y2)
y－y1
y2－y1＝
x－x1
x2－x1
不含垂直于坐标轴
的直线
截距式在x轴、y轴上的截距分
别为a，b(a，b≠0)
x
a＋
y
b＝1
不含垂直于坐标轴
和过原点的直线
一般式Ax＋By＋C＝0(A2
＋B2≠0)
平面直角坐标系内
的直线均适用
3.两条直线的位置关系
两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．
4．距离
距离类型公式
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
|C1－C2|
A2＋B2
使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x，y的系数化成分别相等的．
5．中点坐标公式
(1)若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段的中点M的坐标为(x，y)，x＝x1＋x2
2，
y＝y1＋y2
2，
此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
(2)若线段的中点M(x0，y0)，一个端点为(a，b)，则另一个端点为(2x0－a，2y0－b)．
二、圆的方程及相关概念
1．圆的方程
(1)圆的标准方程与一般方程
名称圆的标准方程圆的一般方程
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)
圆心(a，b)－
D
2，－
E
2
半径r
1
2
D2＋E2－4F
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别．
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点M在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点M在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点M在圆内．
3．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
x－a）2＋（y－b）2＝r2，
＋By＋C＝0消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法代数法
相交d<rΔ>0
相切d＝rΔ＝0
相离d>rΔ<0
4．圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含
几何特征d>R＋r d＝R＋r R－r<d<R＋r d＝R－r d<R－r
代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实
数解
无实数解
公切线条数43210
在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ＞0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ＜0是两圆外离(内含)的必要不充分条件．
三、直线与圆的相关结论
1．摆动直线的斜率范围
如图，设直线l1，l2，l的斜率分别为k1，k2，k，k1＜k2，当直线l在斜线阴影区域摆动时，k ＜k1或k＞k2；当直线l在非斜线阴影区域摆动时，k1＜k＜k2.这叫取边夹中法则，总结成口诀：界线斜率先计算，九十度线是关键；包含此线取两边，不含此线夹中间．
2．常见的直线方程的表示
(1)直线系方程
符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系方程有如下几种：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)；
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
③经过两相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
(2)过直线上一点直线方程的表示方法：设P(x0，y0)为直线Ax＋By＋C＝0上一点，则这条直线的方程可以写成A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.
(3)已知点M0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，则
①经过点M0，且平行于直线l的直线方程是A(x－x0)＋B(y－y0)＝0；
②经过点M0，且垂直于直线l的直线方程是x－x0
A＝
y－y0
B
.
3．重要方程的图象
如图，方程|x|＋|y|＝k(k＞0)的图象是顶点在坐标轴上且边长为2k的正方形．
4．弦心距公式
直线截圆所得的弦长为2a，圆的半径为r，弦心距为d，则弦心距公式为d＝r2－a2.
5．切线长公式
圆的方程为f(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，或f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0，其外有一点P(x0，y0)，由点P向圆引的切线的长l＝f（x0，y0）.
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2016·福建南平一模，2)若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝()
B．－1C．2D．－1或2
A.2
3
2．(2016·广东江门一模，3)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．(2016·河南郑州模拟，3)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为() A．(x－1)2＋y2＝1B．(x＋1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1 4．(2016·云南曲靖一模，4)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为() A．内切B．相交C．外切D．相离
5．(2016·甘肃张掖一模，5)已知直线y＝2x是△ABC的∠C的平分线所在的直线，若点A，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为()
A．(－2，4)B．(－2，－4)C．(2，4)D．(2，－4)
6．(2016·黑龙江哈尔滨一模，5)函数y＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝π
4，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为()
A．45°B．60°C．120°D．135°
7．(2016·河南南阳一模，6)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是()
A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝－2x
8．(2016·辽宁葫芦岛模拟，5)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()
A.3B．2 C.6D．23
9．(2016·山东青岛一模，9)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为() A．4B．3C．2 D.2
10．(2016·山西太原二模，7)已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使得∠OPQ＝30°，则x0的取值范围是()
A．[－1，1]B．[0，1]C．[－2，2]D．[0，2]
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．(2015·浙江温州十校联考，13)过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y －1＝0平行的直线方程为________．
12．(2016·江苏无锡一模，8)已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与直线y＝3x相交于P，Q两点，若∠PCQ＝90°，则实数a＝________.
13．(2016·浙江金华二模，14)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，当|AB|＝6时，以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是________．14．(2012·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y ＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
三、解答题(共4小题，共50分)
15．(12分)(2015·安徽阜阳模拟，20)已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；
(2)当直线与圆相交，且所得弦长为210
5时，求实数m的值．
16．(12分)(2015·河北唐山调研，18)已知定点M(0，2)，N(－2，0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．
(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；
(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．
17．(12分)(2016·吉林实验中学模拟，19)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3，5)．求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
18．(14分)(2013·湖南，20)已知F1，F2分别是椭圆E：x2
2＝1的左，右焦点，F1，F2关于
5＋y
直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
(1)求圆C的方程；
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．。