甘肃高二高中数学月考试卷带答案解析

甘肃高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）
A．任意一个无理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个有理数，它的平方不是有理数
2.若p是真命题，q是假命题。

以下四个命题① p且q ② p或q ③非p ④非q。

其中假命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4 3.若m∈R，则“m=1”是“∣m∣=1”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.已知AB是过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F
1的弦，则⊿ABF
2
的周长是（）
A．a B．2a C．3ªD．4a
5.抛物线（p＞0）上一点M到焦点的距离是a，则M到y轴的距离是（）
A．a-p B． a+p C．a- D．a+2p
6.双曲线左支上一点到左焦点的距离是7，则该点到双曲线右焦点的距离是
A．13或1B．9或4C．9D．13
7.椭圆的焦点为F
1和F
2
，点P在椭圆上，如果线段PF
1
的中点在y轴上，那么︱PF
1
︱是︱PF
2
︱
A．3倍B．4倍C．5倍D．7倍
8.若，则等于（）
A．B． 3C．D．2
9.已知函数，则它的单调减区间是
A．（-∞，0）B．（0，+ ∞）
C．（-1,1）D．（-∞，-1）和（1，+ ∞）
10.设F
1和F
2
为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F
1
PF
2
=900，则⊿F
1
PF
2
的面积
是（）
A．1B．2C．3D．4
11.曲线在P
0点处的切线平行直线，则P
点的坐标为（）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（1，0）或（―1，―4）
D．（2，8）或（―1，―4）
12.函数在上的最大值和最小值分别是
A．5，-15B．5， -4C．-4，-15D．5，-16
二、填空题
1.命题“若a＞b，则＞”的否命题是 .
2.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率是为 .
3.斜率为2的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交与A、B两点，则= .
4.若a＞0，b＞0，且函数处有极值，则ab的最大值是 .
三、解答题
1.（10分）求下列函数的导数
①②
2.（12分）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，
①求此双曲线的方程.
②若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距，求该抛物线方程.
3.（12分）已知函数
①求这个函数的导数；
②求这个函数的图象在点x=1处的切线方程.
4.（12分）已知命题P：命题Q：＜0.若命题P是真命题，命题Q是假命题，求实数x的取值范围.
5.（12分）已知函数，曲线过点P（－1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-
3y=0垂直。

①求a，b的值；
②求该函数的单调区间和极值。

③若函数在上是增函数，求m的取值范围.
6.（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭
圆C交于不同的两点M、N.
①求椭圆C的方程.
②当⊿AMN的面积为时，求k的值.
甘肃高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A ．任意一个无理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个有理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【解析】∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题
而特称命题的否定是全称命题将存在改为任意，结论是有理数改为无理数即可。

则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数 故选B
【考点】本试题主要考查的知识点是命题的否定。

点评：熟练掌握特称命题的否定方法“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，是解答本题的关键。

2.若p 是真命题，q 是假命题。

以下四个命题 ① p 且q ② p 或q ③ 非p ④非q 。

其中假命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B
【解析】根据简单命题组成的复合命题的真值表可知，由于p 是真命题，q 是假命题，那么可知① p 且q 只有都为真命题才是真命题，故为假命题， ② p 或q ，只要有一个真命题即为真，因此是真命题。

③ 因为p 是真命题，则非p 假命题， ④，因为q 是假命题，则非q 是真命题，故真命题的个数为2个，选B 【考点】本试题主要考查了复合命题的真值问题的运用。

点评：解决该试题的关键是根据且命题，一真即真，或命题，一假即假，而命题的否定和原命题中必有一个真的。

3.若m ∈R ，则“m=1”是“∣m ∣=1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为判定一个命题中条件是结论的什么条件，关键是弄清楚谁是条件，谁是结论。

然后结合充分条件的定义可知，由于“m=1”，则必然可以推出∣m ∣=1，但是，由∣m ∣=1，那么m=1,m=-1,不一定推出条件，故选A. 【考点】本试题主要考查了充分条件与必要条件的判断，要注意与集合的包含关系的相互转化关系的应用． 点评：解决该试题的关键是对于结论的准确翻译，那么根据绝对值为1，则说明m 可为1，或者-1.因此结合充分条件的概念得到结论。

4.已知AB 是过椭圆（a ＞b ＞0）的左焦点F 1的弦，则⊿ABF 2的周长是（ ） A ．a
B ．2a
C ．3ª
D ．4a
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义可知：|F 1A|+|AF 2|=2a=，|F 1B|+|BF 2|=2a ，
如图所示：
∴△ABF 2的周长为|F 1A|+|AF 2|+|F 1B|+|BF 2|=4a ， 故答案为D
【考点】本试题主要考查了椭圆的定义，属于基础题，当曲线上的点与曲线的焦点连线时首先考虑定义．
点评：解决该试题的关键是由椭圆的定义可知：|F 1A|+|AF 2|=2a=，|F 1B|+|BF 2|=2a ，再结合椭圆的图象将其转化为三角形的周长．
5.抛物线（p ＞0）上一点M 到焦点的距离是a ，则M 到y 轴的距离是（ ） A ．a-p
B ． a+p
C ．a-
D ．a+2p
【答案】A
【解析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|MF|=4，则M 到准线的距离也为2，即点M 的横坐标x+ =a ，将p 的值代入，进而求出x ．
∵抛物线y 2=4px ，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=4=x+p=a ，∴x=a-p ，故选A.
【考点】本试题主要考查了抛物线定义的灵活运用。

点评：解决该试题的关键是活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解。

6.双曲线左支上一点到左焦点的距离是7，则该点到双曲线右焦点的距离是
A ．13或1
B ．9或4
C ．9
D ．13
【答案】D
【解析】由于双曲线
中可知a=3,b=4，那么对于左支上一点到左焦点的距离是7，设到右焦点的距离为
x ，且x>7,那么根据定义，则有|7-x|=2a=6,x=1,(舍去)x=13，故选D.
【考点】本试题主要考查了查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
点评：解决该试题的关键是根据双曲线的定义得到||PF 1|-|PF 2||=2a,可知结论。

注意点的位置，那么可知得到|PF 1|，|PF 2|的大小，进而得到结论。

7.椭圆的焦点为F 1和F 2 ，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么︱PF 1︱是︱PF 2︱
A ．3倍
B ．4倍
C ．5倍
D ．7倍
【答案】D
【解析】由题设知F 1（-3，0），F 2（3，0），由线段PF 1的中点在y 轴上，设P （3， y ），把P （3，b ）代入椭圆
，得y 2=
．再由两点间距离公式分别求出|P F 1|=
和|P F 2|=
，由此得
到|P F 1|是|P F 2|的倍数为7,故选D ．
【考点】本试题主要考查了椭圆的基本性质和应用，解题时要注意两点间距离公式的合理运用． 点评：解决该试题的关键是能结合椭圆的定义以及相似三角形中位线的性质得到线段的比值来解决。

8.若
，则
等于 （ ）
A ．
B ． 3
C ．
D ．2
【答案】C 【解析】因为
，那么对于
，故选C.
【考点】本试题主要考查了导数概念的运用。

点评：解决该试题的关键是根据导数的定义，准确表示出在x=x 0处的导数值。

进而分析得到其结论。

注意分母是自变量的增量，分子上式相应的函数值的增量。

9.已知函数，则它的单调减区间是 A ．（-∞，0） B ．（0，+ ∞） C ．（-1,1） D ．（-∞，-1）和（1，+ ∞）
【答案】C
【解析】依题意，y′=3x 2-3=3（x+1）（x-1） 由y′<0，得1>x>-1
∴函数y=x 3-3x 的单调递减区间是（-1，1） 故答案为C.
【考点】本试题主要考查了导数在研究函数单调性中的运用。

点评：解决该试题的关键是求解导数，得到导数为零的点，然后求解导数小于零时的对应的x 的取值范围即可。

10.设F 1和F 2为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=900，则⊿F 1PF 2的面积是 （ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】设|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，（x ＞y ） 根据双曲线性质可知x-y=4，∵∠F 1PF 2=90°，∴x 2+y 2=20∴2xy=x 2+y 2-（x-y ）2=4 ∴xy=2∴△F 1PF 2的面积
xy=1
故答案为A
【考点】本试题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系． 点评：解决该试题的关键是灵活运用双曲线的定义和勾股定理来得到|PF 1||PF 2|的值，进而结合正弦面积公式得到求解面积的值。

11.曲线在P 0点处的切线平行直线，则P 0点的坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（2，8）
C ．（1，0）或（―1，―4）
D ．（2，8）或（―1，―4）
【答案】C
【解析】利用导数的几何意义可知，设切点为P 0（a ，b ），f'（x ）=3x 2+1，k=f'（a ）=3a 2+1=4，a=±1，把a=-1，
代入到f （x ）=x 3
+x-2得b=-4；
把a=1，代入到f （x ）=x 3+x-2得b=0， 所以P 0（1，0）和（-1，-4）． 故选C ．
【考点】本试题主要考查了导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率。

点评：解决该试题的关键是理解导数几何意义的运用，求解切线方程时要关注，切点坐标，以及切点出的斜率，即为导数值，那么点斜式求解切线方程。

是常考知识点。

12.函数在上的最大值和最小值分别是 A ．5，-15 B ．5， -4 C ．-4，-15 D ．5，-16
【答案】A
【解析】由题设知y'=6x 2-6x-12，令y'＞0，解得x ＞2，或x ＜-1， 故函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0，2]上减，在[2，3]上增， 当x=0，y=5；当x=3，y=-4；当x=2，y=-15．
由此得函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，-15； 故答案为 A
【考点】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的最值。

点评：解决该试题的关键是对函数求导，利用导数求研究函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0，3]上的单调性，判断出最大值与最小值位置。

二、填空题
1.命题“若a ＞b ，则＞”的否命题是 . 【答案】若a≤b ，则≤
【解析】根据否命题的定义：若原命题为：若p ，则q ，否命题为：若┐p ，则┐q ． ∵原命题为“若a ＞b ，则5a ＞5b ” ∴否命题为：若a≤b ，则5a ≤5b 故答案为：若a≤b ，则5a ≤5b ．
【考点】本试题主要考查的知识点是四种命题。

点评：解题的关键是掌握四种命题之间的关系．若原命题为：若p ，则q ，逆命题为：若q ，则p ；否命题为：若┐
p ，则┐q ；逆否命题为：若┐q ，则┐p ．
2.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率是为 .
【答案】
【解析】通过双曲线的渐近线方程，说明双曲线标准方程的形式，利用a ，b ，c 关系求出双曲线的离心率，得到选项．因为双曲线的渐近线方程为， 那么当焦点在x 轴上时，则有，故得到
当焦点在y 轴时，则
故双曲线的离心率为
，故填写。

【考点】本题是基础题，考查双曲线的离心率的求法，注意双曲线方程的两种形式，不能只做两个类型，易错题。

点评：解决该试题的关键是确定焦点的位置，根据不同焦点位置，对应的渐近线方程得到a,b 的比值，进而求解双曲线的方程。

也是一个易丢解的试题。

3.斜率为2的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交与A 、B 两点，则= . 【答案】5
【解析】根据已知抛物线的方程可知其焦点坐标为（1,0），则直线方程为y=2(x-1),代入抛物线中，，得
到[2(x-1)]2=4x,x 2
-3x+1=0，∴x 1+x 2=3
根据抛物线的定义可知|AB| =x 1+x 2+p=3+2=5 故答案为5.
【考点】本试题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．
点评：解决该试题的关键是运用设而不求的思想，设直线方程，并与抛物线联立方程组，结合韦达定理得到弦长的求解，|AB|=x 1+
+x 2+
表示的为过焦点的弦长公式要熟练掌握。

．
4.若a ＞0，b ＞0，且函数处有极值，则ab 的最大值是 . 【答案】9
【解析】∵f′（x ）=12x 2-2ax-2b ，又因为在x=1处有极值，故有f’(1)=0,∴a+b=6，∵a ＞0，b ＞0，∴ab≤(
)2=9，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab 的最大值等于9，故答案为9.
【考点】本试题主要考查了一元三次函数的极值问题和均值不等式求解最值的思想运用。

点评：解决该试题的关键是函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．
三、解答题
1.（10分）求下列函数的导数
①②
【答案】解：①=
②
【解析】（1）根据多项式的导数，等于各个项的导数的和。

积的导数等于前导后不导，加上前不导乘以后导，得到。

（2）利用商的导数，等于分母平方分之上导下不导，减去上不导下导来得到。

解：①=
②
【考点】本试题主要考查了基本初等函数的导数的求解。

点评：解决该试题的关键是能准确利用导数的四则运算法则，求解和差积商的导数的问题，熟练记忆基本初等函
数的导数是很重要的。

2.（12分）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，
①求此双曲线的方程.
②若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距，求该抛物线方程.
【答案】解：①；②
【解析】（1）因为双曲线的离心率可知a,c的关系式，然后利用其与椭圆有个公共的焦点，确定出c的值，进而
求解得到其解析式。

（2）根据抛物线焦点到准线的距离为p，那么p=2c，得到求解，进而得到抛物线的方程。

解：①∵，c=，∴a=2，b=1
所以双曲线方程为
②抛物线方程为
【考点】本试题主要考查了双曲线方程的求解，以及抛物线方程的求解。

点评：解决该试题的关键是利用椭圆和双曲线以及抛物线的性质，找到对应的关系式，进而求解得到结论。

3.（12分）已知函数
①求这个函数的导数；
②求这个函数的图象在点x=1处的切线方程.
【答案】解：①
②
【解析】（1）由于表达式含有对数的导数，以及n次幂的导数，结合导数的运算法则得到。

（2）要求解曲线在某点处的切线方程，先求解该点的导数值，得到斜率，然后得到点的坐标，由点斜式得到结论。

【考点】本试题主要考查了导数的计算，以及运用导数求解曲线的切线方程的运用。

点评：解决该试题的关键是准确求解乘积的导数，然后根据导数的几何意义，在该点的导数值，继而该点的切线的斜率。

4.（12分）已知命题P：命题Q：＜0.若命题P是真命题，命题Q是假命题，求实数
x的取值范围.
【答案】x≤0，或x≥4
【解析】根据对数不等式得到命题P，表示的x的集合，结合一元二次不等式得到命题Q表示的x的集合，根据p 真，q假，分别得到结合，然后取其交集得到结论。

解：由≥0，得≥0，解得x≤-1，或x≥3.
由＜0，解得 0＜x＜4.
因为命题P为真命题，命题Q为假命题，
所以x≤-1，或x≥3，解得x≤-1，或x≥4.
x≤0，或x≥4
【考点】本试题主要考查了命题的真假的运用，同时综合了对数不等式和一元二次不等式的求解。

点评：解决该试题的关键是理解命题的真值，就是求解原不等式的解集，得到x的范围，然后命题为假，就是原不等式解集的补集。

5.（12分）已知函数，曲线过点P（－1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-
3y=0垂直。

①求a，b的值；
②求该函数的单调区间和极值。

③若函数在上是增函数，求m的取值范围.
【答案】解：① a=1，b=3②函数的递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），递减区间是（-2,0），
极大值是f（-2）=4，极小值是f（0）=0.③ m≤-3，或m≥0.
【解析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间
（3）在上一问的基础上，据题意知[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．
解：①因为，所以，
根据题意得 -a+b=2 ，得 a=1，b=3
3a-2b=-3
②，
当＞0时，解得 x＜-2，或x＞0；
当＜0时，解得 -2＜x＜0.
因此，该函数的递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），递减区间是（-2,0），
极大值是f（-2）=4，极小值是f（0）=0.
③根据题意m+1≤-2，或m≥0，解得m≤-3，或m≥0.
【考点】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

点评：解决该试题注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为-1。

6.（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭
圆C交于不同的两点M、N.
①求椭圆C的方程.
②当⊿AMN的面积为时，求k的值.
【答案】①.②k=±1.
【解析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立 y=k(x-1)与，消元可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，从而可求
|MN|，A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离，利用△AMN的面积，可求k的值．
解：①由题意得 a=2
=，
，
解得b=.所以椭圆C的方程为.
由② y=k（x-1），得
设点M、N的坐标分别为则
所以
又因为点A（2,0）到直线y=k（x-1）的距离d=
所以⊿AMN的面积为s=∣MN∣.d==，
解得k=±1.
【考点】本试题主要考查了椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算。

点评：解决该试题的关键是正确求出|MN|，通过设直线与圆锥曲线联立方程组得到韦达定理表示得到线段的长度。