(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习高考解答题专项练4立体几何

高考解答题专项练——立体几何
1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1=2,∠ABC=120°,点P在线段AC1上,且AP=2PC1,M为线段AC的中点.
(1)证明:BM∥平面B1CP;
(2)求直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值.
BC1交B1C于点F,连接MC1交CP于点N,连接FN,∵四边形BCC1B1是矩形,∴F为BC1的中点.
取AP的中点Q,连接MQ,
∴MQ是△APC的中位线.∴MQ∥PC.
又AP=2PC1,∴C1C
C1C =1
2
.∴C1C
C1C
=C1C
C1C
=1
2
,
即N为C1M的中点.∴FN为△C1BM的中位线,
∴FN∥BM.又FN⊂平面B1CP,BM⊄平面B1CP,
∴BM∥平面B1CP.
MF,过点M作MG⊥CP于点G,连接FG,
∵BM⊥AC,BM⊥CC1,
∴BM⊥平面ACC1.
∵BM∥FN,∴FN⊥平面ACC1.
∴FN⊥MG.
又MG⊥PC,FN∩PC=N,
∴MG⊥平面B1PC.
又AB1∥MF,∴∠MFG为直线AB1与平面B1CP所成的角.∵AB=BC=AA1=2,∠ABC=120°,
∴AB1=2√2,CM=1
2
AC=√3.
∴MF=√2,MG=2√21
7.∴FG=√14
7
.∴cos∠MFG=CC
CC
=√7
7
.∴直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值为√7
7
.
2.在三棱锥A -BCD 中,E 是BC 的中点,AB=AD ,BD ⊥DC. (1)求证:AE ⊥BD.
(2)若DB=2DC=√2AB=2,且二面角A -BD -C 为60°,求AD 与面BCD 所成角的正弦值.
,取BD 的中点F ,连EF ,AF ,
∵E 为BC 中点,F 为BD 中点, ∴FE ∥DC.
又BD ⊥DC ,∴BD ⊥FE.∵AB=AD ,
∴BD ⊥AF.
又AF ∩FE=F ,AF ,FE ⊂平面AFE ,
∴BD ⊥平面AFE.
∵AE ⊂平面AFE ,∴AE ⊥BD.
(1)知BD ⊥AF ,
∴∠AFE 即为二面角A-BD-C 的平面角, ∴∠AFE=60°.∵AB=AD=√2,DB=2, ∴△ABD 为等腰直角三角形.∴AF=1
2BD=1,
又FE=1
2
DC=1
2,
∴AE 2=AF 2+FE 2-2AF ·FE ·cos ∠AFE=1+14-2×1×12×cos60°=34,即AE=√3
2, ∴AE 2+FE 2=1=AF 2.∴AE ⊥FE.
又由(1)知BD ⊥AE ,且BD ∩FE=F ,
BD ⊂平面BDC ,FE ⊂平面BDC ,∴AE ⊥平面BDC , ∴∠ADE 就是AD 与平面BCD 所成的角,
在Rt △AED 中,AE=√3
2,AD=√2,
∴AD 与平面BCD 所成角的正弦值sin ∠ADE=CC
CC =
√64
.
3.如图,已知ABCD 是矩形,M ,N 分别为边AD ,BC 的中点,MN 与AC 交于点O ,沿MN 将矩形MNCD 折起,设AB=2,BC=4,二面角B -MN -C 的大小为θ.
(1)当θ=90° 时,求cos ∠AOC 的值;
(2)当θ=60° 时,点P 是线段MD 上一点,直线AP 与平面AOC 所成角为α.若sin α=√14
7
求线段MP
的长.
E 为AB 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)如图,当θ=90°时,A (2,-1,0),C (0,1,2), ∴CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴cos ∠AOC=
CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-1
5
.
(2)如图,当θ=60°时,C (1,1,√3),D (1,-1,√3),M (0,-1,0), ∴CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3), 设CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CCC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),
则CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,-1,√3C ),
∴CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ-2,0,√3C ).设平面AOC 的法向量为n =(x ,y ,z ),
∵n ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,
∴{2C -C =0,
C +C +√3C =0,取n =(1,2,-√3), 由题意,得|CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C
|CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C |
|=
√14
7
,即3λ2
-10λ+3=0,
∴λ=1
3或λ=3(舍去).
∴在线段MD 上存在点P ,且MP=1
3MD=2
3.
4.已知四棱锥P-ABCD 的三视图如下图所示,E 是最短侧棱PC 上的动点.
(1)是否不论点E 在何位置,都有BD ⊥AE ?证明你的结论; (2)若点E 为PC 的中点,求二面角D-AE-B 的大小.
不论点E 在何位置,都有BD ⊥AE.
证明如下:由三视图可知,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形,侧棱PC ⊥底面ABCD ,且
PC=2.
连接AC ,∵四边形有ABCD 是正方形,
∴BD ⊥AC.
∵PC ⊥底面ABCD ,且BD ⊂平面ABCD , ∴BD ⊥PC.
又AC ∩PC=C ,∴BD ⊥平面PAC.
∵不论点E 在何位置,都有AE ⊂平面PAC , ∴不论点E 在何位置,都有BD ⊥AE.
(2)如图,以点C 为原点,CD ,CB ,CP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则
D (1,0,0),A (1,1,0),B (0,1,0),
E (0,0,1),
从而CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2), 由{
C 1·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 1·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⇒{C 1=0,
-C 1+C 1=0,取n 1=(1,0,1).
由{
C 2·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 2·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⇒{C 2=0,
-C 2+C 2=0,取n 2=(0,-1,-1).
设二面角D-AE-B 的平面角为θ,则 cos θ=C 1·C
2|C 1
||C 2
|=
2×√2=-1
2
, ∴θ=
2π3
,即二面角D-AE-B 的大小为2π3
.
5.
(2018湖南模拟)如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE 为矩形,平面ACFE ⊥平面ABCD ,CF=1. (1)求证:BC ⊥平面ACFE ;
(2)点M 在线段EF 上运动,设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cos θ的取值范围.
ABCD 中,∵AB ∥CD ,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2.∴AC 2
=AB 2
+BC 2
-2AB ·BC ·cos60°=3.∴AB 2
=AC 2
+BC 2
.∴BC ⊥AC.∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面
ABCD=AC ,BC ⊂平面ABCD ,
∴BC ⊥平面ACFE.
CA ,CB ,CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,令FM=λ(0≤C ≤√3),则C (0,0,0),A (√3,0,0),B (0,1,0),M (λ,0,1),
∴CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,-1,1). 设n 1=(x ,y ,z )为平面MAB 的一个法向量,由{C 1·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,
C 1·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-√3C +C =0,CC -C +C =0,
取x=1,则
n 1=(1,√3,√3-λ),
∵n 2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量, ∴cos θ=|C 1·C 2||C 1
||C 2
|=
√1+3+(√3-C )2×1
=
√(C -√3)2+4
.∵0≤C ≤√3,∴当λ=0时,cos θ有最小值√7
7,当λ=√3时,cos θ有最大值1
2.∴cos C ∈[√7
7,1
2].
6.(2018浙江嘉兴)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为4的正方形,侧面PCD 为正三角形且二面角P-CD-A 为60°.
(1)设侧面PAD 与PBC 的交线为m ,求证:m ∥BC ;
(2)设底边AB 与侧面PBC 所成的角为θ,求sin θ的值.
BC ∥AD ,所以BC ∥侧面PAD.
又因为侧面PAD 与PBC 的交线为m ,所以m ∥BC.
向量方法)
取CD 的中点M ,AB 的中点N ,连接PM ,MN , 则PM ⊥CD ,MN ⊥CD.
所以∠PMN 是侧面PCD 与底面所成二面角的平面角. 从而∠PMN=60°.
作PO ⊥MN 于点O ,则PO ⊥底面ABCD. 因为CM=2,PM=2√3, 所以OM=√3,OP=3.
以O 为原点,ON 为x 轴,OP 为z 轴,如图建立空间直角坐标系. 则CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-√3,2,-3),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,-3). 设n =(x ,y ,z )是平面PBC 的法向量,
则{(4-√3)C +2C -3C =0-√3C +2C -3C =0⇒x=0,2y=3z.取n =(0,3,2).
则sin θ=|cos <n ,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√
13×4
=3√1313
.
几何方法)
取CD 的中点M ,AB 的中点N ,连接PM ,MN ,则PM ⊥CD ,MN ⊥CD. 所以∠PMN 是侧面PCD 与底面所成二面角的平面角.
从而∠PMN=60°.
作PO⊥MN于点O,则PO⊥底面ABCD.
因为CM=2,PM=2√3,所以OP=3.
作OE∥AB交BC于点E,连接PE.
因为BC⊥PO,BC⊥OE,
所以BC⊥平面POE.从而平面POE⊥平面PBC.
所以∠PEO就是OE与平面PBC所成的角,∠POE=θ.
因为在△POE中,tanθ=CC
CC =3
2
,
所以sinθ=3√13
13
.。