高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修2_2word格式

直接证明
学习目标要点难点
1．能知道直接证明的两种基本方
法——综合法和剖析法．要点：综合法和剖析法的思想方法
2．会剖析综合法和剖析法的思虑和步骤．
过程、特色，会用综合法和剖析法难点：综合应用两种方法解题.
证明数学识题.
1．直接证明
(1) 直接从原命题的条件逐渐推得命题建立，这类证明往常称为________．
此题条件
已知定义
(2) 直接证明的一般形式为：?? ________.
已知公义
已知定理
2．综合法
(1)从已知条件出发，以已知的定义、公义、定理为依照，逐渐下推，直到推出要证明的结论为止．这类证明方法常称为________．
(2)综合法的推证过程是： ________? ? ? ______.
预习交流 1
n
做一做：已知数列{ a n} 的通项公式为a n＝2，求证：数列{ a n}为等比数列．
(1)从问题的结论出发，追忆致使结论建立的条件，逐渐上溯，直到使结论建立的条件和已知条件或已知事实符合为止．这类证明方法常称为________．
(2) 剖析法的推证过程是：______________.
预习交流 2
做一做：求证：6＋7≥2 2＋ 5.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中
做个备忘吧！
我的学困点我的学疑点
答案：
预习导引
1． (1) 直接证明(2) 此题结论
2． (1) 综合法
(2) 已知条件
结论
n
an ＋ 1 2n ＋ 1 2·2n
预习交流 1：提示：∵ a ＝ 2 ，∴
an
＝
2n
＝ 2n
＝ 2( 常数 ) ．∴由等比数列的
n
定义可知，数列 { a n } 为公比是 2 的等比数列．
3． (1) 剖析法 (2) 结论 已知条件
预习交流 2：提示：要证原不等式建立， 只要证 (
6＋ 7) 2≥ (2 2＋ 5) 2，即证 2 42
＞ 2 40，因为上式明显建立，所以原不等式建立．
一、综合法的应用
设 a
， ， 为不全相等的正数，且
abc
＝1，求证： 1＋ 1＋1
＞
a ＋
b ＋ c.
b c
a b c
思路剖析： (1) 综合法证明不等式所依靠的主假如不等式的基天性质和已知的重要不等式．
(2) 综合法证明不等式时，要注意不等式的性质和已证过的不等式各自建立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．
如图，在四棱锥 P － ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AB =AD ，∠ BAD =60°， E ， F 分别是 AP ， AD 的中点．
求证： (1) 直线 EF ∥平面 PCD ； (2) 平面 BEF ⊥平面 PAD .
1．综合法的证明步骤： (1) 剖析条件，选择方向，确立已知条件和结
论间的联系，合理选择有关定义、定理等． (2) 转变条件，组织过程，将条件合理转变，书写出严实的证明过程．
2．综合法的合用范围是： (1) 定义明确的问题，如证明函数的单一性，奇偶性；立体
几何中的证明，不等式的证明等问题； (2) 已知条件明确，而且简单经过剖析和应用条件能逐渐迫近结论的题型．
二、剖析法的应用
如图， SA ⊥平面 ABC ，AB ⊥ BC ，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E ，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F .
求证： AF ⊥SC .
思路剖析：利用线线垂直、线面垂直的互相转变追求AF⊥ SC建立的条件．
当 a＋ b＞0时，求证：a2＋ b2≥
2
2 ( a＋b) ．
在剖析法证明中，从结论出发的每一个步骤所获得的判断都是结论建
立的充分条件，最后一步归纳到已被证了然的事实．所以，从最后一步能够倒推回去，获
得结论，但这个倒推过程能够省略．
三、综合法和剖析法的综合应用
求证：当x≥0时，sin x≤ x.
思路剖析：不等式的建立问题，能够转变为函数最值问题来解决．
π
已知α，β ≠ kπ＋ 2 ( k∈ Z) ，且sin θ＋ cos θ＝ 2sin α ，①
sinθ cosθ ＝sin2β，②
1－ tan2 α1－ tan2 β
求证： 1＋ tan2 α＝2(1 ＋ tan2 β ) .
实质解题时，用剖析法思虑问题，找寻解题门路，用综合法书写解题
过程，或许结合使用剖析法与综合法，即从“欲知”想“已知” ( 剖析 ) ，从“已知”推“可
知” ( 综合 ) ，左右开弓，两面夹攻，找到交流已知条件和结论的门路．
1．设a＝ lg 2 ＋ lg 5 ，b＝ e x( x＜ 0) ，则a与b的大小关系为 __________ ．
2．已知函数 f ( x)知足：当 x≥4时， f ( x)＝2x，当 x＜4时， f ( x)＝ f ( x＋1)，则 f (2 2
＋ log 3) ＝ __________.
3．命题“函数f ( x) ＝x－x ln x 在区间(0,1) 上是增函数”的证明过程“对函数f ( x)
＝ x－ x ln x 取导得 f ′( x)＝－ln x，当 x∈(0,1) 时， f ′( x)＝－ln x＞0，故函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上是增函数”应用了________的证明方法．
2 1
4．已知实数a≠ 0，且函数f ( x) ＝a( x＋ 1) －2x＋a有最小值－ 1，则a＝ __________.
a2＋ b2
5．增补下边用剖析法证明基本不等式 2 ≥ ab 的步骤：
要证明a2＋b2
≥ ab，2
2 2
只要证明 a ＋ b ≥2ab，
只要证 ________．
因为 ________明显建立，所以原不等式建立．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精髓部分和基本
技术的要领部分写下来并进行识记 .
知识精髓技术要领
答案：
活动与研究 1：证明：∵ a ＞0，＞0，＞ 0，且＝ 1，
b c abc
1 1 1
∴＋＋＝bc＋ ca＋ ab.
a b c
又 bc＋ ca≥2 bc·ca＝2 abc2＝ 2 c ，
同理 bc＋ ab≥2 b， ca＋ ab≥2 a.
∵a， b， c 不全相等，∴上述三个不等式中
的“＝”不可以同时建立．
∴ 2(
bc ＋＋ )＞2( c ＋ a＋ b) ，
ca ab
即 bc＋ ca＋ ab＞a＋b＋ c.
1 1 1
a＋b＋ c.
故＋＋＞
a b c
迁徙与应用：
证明： (1) 在△PAD中，因为E， F 分别为 AP， AD的中点，所以EF∥ PD.
又因为 EF?平面 PCD， PD?平面 PCD，
所以直线 EF∥平面 PCD.
(2)连接 BD.因为 AB＝ AD，∠ BAD＝60°，
所以△ ABD为正三角形．
因为 F 是 AD的中点，
所以 BF⊥ AD.
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，
BF?平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD，
所以 BF⊥平面 PAD.
又因为 BF?平面 BEF，
所以平面 BEF⊥平面 PAD.
活动与研究 2：证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只要证SC⊥平面
AEF，只要证 AE⊥ SC，而 AE⊥ SB，故只要证 AE⊥平面 SBC，只要证
AE⊥ BC，而 AB⊥ BC，故只要证 BC⊥平面 SAB.
只要证 BC ⊥ SA ，而由 SA ⊥平面 ABC 可知 SA ⊥ BC ，即上式建立，∴
AF ⊥ SC .
迁徙与应用：
2
证明：要证
a2＋b2≥ 2 ( a ＋ b ) ，
只要证 ( a2＋ b2) 2
≥
2
(a ＋ b) 2，
2
2
2
1
2
2
2
2
即证 a
＋b ≥ 2( a ＋ b ＋ 2ab ) ，即证 a ＋ b ≥ 2ab . 因为 a 2＋b 2≥ 2ab 对一确实数恒建立，
所以 a2＋ b2≥ 2 ( a ＋ )建立．
2 b
综上所述，不等式得证．
活动与研究 3：证明：要证 x ≥ 0 时， sin x ≤ x ，只要证 x ≥ 0 时， sin x － x ≤ 0 即可．
设 f ( x ) ＝ sin x － x ，
则即证 x ≥ 0 时， f ( x ) ≤0，即证 x ≥ 0 时，
f ( x ) 的最大值小于或等于 0 即可． ∵ f ( x ) ＝ sin x － x ，∴ f ′ ( x ) ＝ cos x － 1，
∴当 x ≥0 时 f ′( x ) ≤ 0，
∴ f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上递减．
∴当 x ≥ 0 时， f ( x )
＝ f (0) ＝ 0，
max
∴ f ( x ) max ≤0 建立，∴原不等式建立．
迁徙与应用：
1－ tan2 α 1－tan2 β
证明：要证 1＋ tan2 α＝ 2(1 ＋ tan2 β )
，
sin2 α sin2 β
1－
cos2 α
1－
cos2β
即证
1＋ sin2 α ＝
sin2 β
，
cos2α 2 1＋
β
cos2
2 2 1 2 2
即证 cos α － sin α＝ 2(cos β － sin β ) ，
2
1 2 2
2
即证 1－ 2sin α ＝ 2(1 － 2sin β) ，即证 4sin α － 2sin β ＝ 1. ③ 因为 (sin θ ＋ cos θ ) 2－2sin θ cos θ ＝ 1，
所以将①②代入上式，可得
4sin 2α － 2sin 2β ＝ 1.
因为上式与③同样，于是问题得证．
当堂检测
1． a ＞ b 分析： ∵ a ＝ lg 2 ＋lg 5 ＝ lg 10 ＝ 1，
而 b ＝e x ＜ e 0＝ 1，故 a ＞ b . 2．24 分析：∵ 1＝log 22＜ log 23＜ log 24＝2，∴3＜ log 23＋ 2＜ 4. 由已知得 f (2 ＋ log 23)
＝ f (3 ＋ log 23) ＝
＝8× 3＝24.
3．综合法 4．1 分析： (
) ＝
2
－2 ＋
1
1 (
) min ＝ 1 f x ax － 有最小值， 则 ＞ 0，对称轴
x ＝ ，则
f x f a
x a
a
a
a ＝－1，即
1
＝ ·
1 2 1 1
2
2
－ 2＝0. ∵ ＞0，
f a a －2· ＋ － ＝－1，即 － ＝－1，则
a ＋
a
a a a
a a
a
a
∴ a＝1.
1 1
2 1 1 2 2
即 f a＝a·a －2·a＋a－a＝－ 1，即a－a＝－ 1，则a＋a－ 2＝0. ∵ a＞0，∴ a＝
1.
2 2
即 a－a＝－1，则 a ＋a－2＝0.
∵ a＞0，∴ a＝1.
222 2
5．a＋b－2ab≥ 0 ( a－b) ≥0 ( a－b) ≥ 0。