精编新版2019年高一数学单元测试试题《指数函数和对数函数》完整题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数
（含答案）
学校：
__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．设函数f （x ）=⎩
⎨⎧≤，＞，，
，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）
（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）（2011辽宁理9）
2．已知f （x 6
）＝log 2x ，那么f （8）等于（ ） A ．
3
4
B ．8
C ．18
D ．
2
1
（2001北京春季7）
3．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假．命题的个数是( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3(2006)
4．设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，
这时a 的取值的集合为（ ）
A ．{}
12a a <≤ B ．{}
2a a ≥
C ．{}
23a a ≤≤
D ．{}23，（2008天津文10）
5．设a=3log 2，b=ln2，c=12
5-
，则（ ）
A ．a<b<c
B ．b<c<a
C ．c<a<b
D ．c<b<a
（2003）
6．若函数()log (4)x
a f x a =-在区间[1,2]-上单调递减,则实数a 的取值范围是----( )
A.2a >
B.12a <<
C.
1
14
a <<或12a << D.以上都不对 7．设函数f (x )＝1－x 2＋log 12(x －1)，则下列说法正确的是 ( )
（A ）f (x )是增函数，没有最大值，有最小值 （B ）f (x )是增函数，没有最大值、最小值 （C ）f (x )是减函数，有最大值，没有最小值 （D ）f (x )是减函数，没有最大值、最小值 8．设a ＞1,且)
2(log ),1(log )1(log 2a p a n a m a a a =-=+=,则p n m ,,的大小关系为
A ． n ＞m ＞p
B ． m ＞p ＞n
C ． m ＞n ＞p
D ． p ＞m ＞n （07安徽） B ．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
9．已知函数1(),(4)()2(1),(4)
x
x f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则3
2(2log )f +的值为 ▲ .
10．已知函数2
()(1)f x x k x k =+--的一个零点在（2，3）内，则实数k 的取值范围是 ．
11．若0＜a ＜1,0＜x ≤y ＜1,且(log )(log )1a b x y =,则xy 的范围
12．若10g a 2=m ，log a
3=n ，则2m n a -= ▲ ．
13．若函数f (x )=x 3
－3x ＋a 有3个不同的零点，则a 的取值范围是
14．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．
15．下列函数为幂函数的是________________
（1）3
21y x =-；（2）2y x =
；（3）21y x
=；（4）22y x = 16．设2()lg 2x f x x +=-，则2
()()2x f f x
+的定义域为
17．不等式2
log (23)1a x x -+≤-在x R ∈时恒成立,则实数a 的取值范围是__________
18．求函数3
22
--=x x a y 的单调减区间.
19．方程244x x -=实根的个数为 关键字：根的个数；数形结合；含绝对值
20．若集合{|3,},{|41,}x
x
M y y x R N y y x R ==∈==-∈,则M N 是( )
A.M
B.N
C.∅
D.有限集 21．方程2
2x
x =有 个实数根.
22．若函数)10(1≠>-+=a a b a y x
且的图象经过第二、三、四象限，则一定有 ．
23．已知2
2
2(3)lg 6
x f x x -=-，则()f x 的定义域为_______________
24．函数13x
y =的值域为 ． 关键字：指数函数；复合函数 25．函数x y cos 2
1
-=的定义域为____________.
26．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－1
8)，则满足f (x )＝27的x 的值是__________
27．某工厂去年的产值记为1，若计划在今后的五年内每年的产值比上年增长10﹪，则从今年起到第五年底，这个工厂的总产值约为 ▲ ．（)6.11.15
≈
28．函数2
2(0,1)x y a a a +=->≠的图象恒过定点A （其坐标与a 无关），则A 的坐标为
___ ．
29．已知函数⎩
⎨⎧≤>=)0(3)
0(log )(2x x x x f x
则⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡)41(f f 的值为_____
30．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的
零点*
0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .
31．计算：=÷--21
100)25lg 4
1
(lg _____________________．
32．已知函数4()log (41)x
f x kx =++()k R ∈是偶函数，则k 的值为 ▲ ．
33．下列命题是假命题的是_________（填写序号）
○
1. m R ∃∈，使得243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上递减
○
2. 0,a ∀>函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 ○
3. ,R αβ∃∈，使得cos()cos cos αβαβ+=+ ○
4. R φ∀∈，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数 34．设
5.1348.029
.01)2
1
(,8,4
-===y y y ，则321,,y y y 的大小关系为______________
35．有一座灯塔A ,观察到海上有两艘轮船,甲船位于灯塔A 的正东方向的D 处向北航行;
乙船位于灯塔A 的北偏西30方向的B 处向北偏东60方向航行,甲船行驶5海里,乙船行驶8海里后在点C 处相遇,则点C 处距灯塔A 为___________海里.
36．定义在R 上的函数)(x f y =的图象经过点（1,1），则函数)2(+=x f y 的图象必过定点 ．
37．如果(0,0,1,1)x
x
a b a b a b >>>≠≠对一切0x <都成立,则,a b 的大小关系是 . 三、解答题
38．(本小题满分16分)
如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？
39．(本小题满分16分)
国庆长假期间小明去参观画展，为了保护壁画，举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开，小明在一幅壁画正前方驻足观看。

如图是小明观看该壁画的纵
截面示意图，已知壁画高度AB 是2米，壁画底端与地面的距离BO 是1米，玻璃幕墙与壁画之间的距离OC 是1米。

若小明的身高为a 米（03a <<），他在壁画正前方x 米处观看，问
x 为多少时，小明观看这幅壁画上下两端所成的视角θ最大？
40．将51名学生分成,A B 两组参加城市绿化活动，其中A 组布置400盆盆景，B 组种植
300棵树苗.根据历年统计，每名学生每小时能够布置6盆盆景或者种植3棵树苗.设布置
盆景的学生有x 人，布置完盆景所需要的时间为()g x ，其余学生种植树苗所需要的时间为
()h x （单位：小时，可不为整数）.
⑴写出()g x 、()h x 的解析式；
⑵比较()g x 、()h x 的大小，并写出这51名学生完成总任务的时间()f x 的解析式； ⑶应怎样分配学生，才能使得完成总任务的时间最少？
41． (本小题满分16分)
如图,有一块四边形ABCD 绿化区域,其中90A C ∠=∠=,BA BC ==1AD CD ==,现准备经过BC 上一点P 和AD 上一点Q 铺设水管PQ ,且PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分,设CP x =,DQ y =.
⑴求x 、y 的关系式; ⑵求水管PQ 的长的最小值.
42．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；… …，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75℅销售。

现某茶社要购买这种茶壶x 个，如果全部在甲店购买，则所需金额为1y 元；如果全部在乙店购买，则所需金额为2y 元。

（1） 分别求出1y 、2y 与x 之间的函数关系式； （2） 该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
43．天目湖某地区共有100万户农民，原都从事粮食种植，平均每户的年收入为3万元。

为了彰显地区特色，促进经济发展，当地政府决定动员部分农民从事旅游服务业，若能动员x
户农民从事旅游业，则剩下的继续从事粮食种植的农民平均每户的年收入有望提高2%x ，而从事旅游业的农民平均每户的年收入将为()33050x a a ⎛⎫
-
> ⎪⎝⎭
万元。

（1）在动员x 户农民从事旅游业后，要使从事粮食种植的农民的总年收入不低于动员前的农民的总年收入，求x 的取值范围。

（2）在(1)的条件下，要使改革后从事旅游业的农民的总年收入始终不高于从事粮食种植的农民的总年收入，求a 的最大值。

44．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？
45．已知函数2
2()(2)(2)x
x
f x a a -=-++，x ∈[－1，1]．
⑴求()f x 的最小值；
⑵关于x 的方程()f x 22a =有解，求实数a 的取值范围．
46．求x 的值： （1）33log 4x =-； （2）25log 3
x =-；
（3）22
(21)log (321)1x x x -+-=； （4）234log [log (log )]0x =．
47．指数函数)(x f y =的图象经过点（4,2-），求)(x f 的解析式和)3(-f 的值.
48．某种出口产品的关税税率t 、市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：
2
))(1(2
b x kt p --=，其中k 、b 均为常数．当关税税率为75%时，若
市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
(1）试确定k 、b 的值；
(2）市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：x
q -=2．q p =时，市场
价格称为市
场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
49．已知奇函数)(x f 在(,0)
(0,)-∞+∞上有意义，且在（+∞,0）是减函数，0)1(=f 又
有函数]2
,0[,2cos sin )(2
π
θθθθ∈-+=m m g 若集合}0)(|{<=θg m M ，集合
}.0)]([|{>=θg f m N
(1)解不等式0)(>x f ；(2)求N M ⋂.
50．请先阅读：在等式2
cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：
2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，
由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =．
(1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x
+++
+
（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：1
[(1)1]n n x -+-＝1
1
C n
k k n k k x
-=∑． (2）对于正整数3n ≥，求证： (i ）
1(1)
C n
k
k n k k =-∑＝0；
(ii ）
21(1)
C n
k
k n k k =-∑＝0；
(iii ）11
121C 11n n
k
n k k n +=-=++∑．。