2017-2018学年浙江省丽水市八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选
项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）化简的结果是（）
A．2B．﹣2C．±2D．4
2．（3分）下列手机手势解锁图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）用反证法证明“a＞0”，应假设（）
A．a＜0B．a＝0C．a≠0D．a≤0
4．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7
5．（3分）下列各点中，不在反比例函数y＝图象上的点是（）
A．P（3，﹣4）B．P（3，4）C．P（2，6）D．P（﹣2，﹣6）6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a应满足（）A．a＜1B．a≤1C．a＞1D．a≥1
7．（3分）从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且S甲2＝100，S乙2＝110，S丙2＝120，S丁2＝90．根据统计结果，最适合参加竞赛的两位同学是（）
A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丁D．乙、丙
8．（3分）下列条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，BC＝AD
C．∠A＝∠C，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠B
9．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结DE，则∠BED 的度数为（）
A．120°B．125°C．135°D．150°
10．（3分）如图，EF是Rt△ABC的中位线，∠BAC＝90°，AD是斜边BC边上的中线，EF和AD相交于点O，则下列结论不正确的是（）
A．AO＝OD B．EF＝AD
C．S△AEO＝S△AOF D．S△ABC＝2S△AEF
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+3a＝0的一个根是2，则a＝．14．（3分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x＝．
15．（3分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有四个点A，B，它们的横坐标依次为a，2a，3a，4a，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和为．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，
现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x．
（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，x＝；
（2）如图2，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是
三、解答题（本题有8小题，共52分）
17．（6分）计算：
（1）﹣
（2）（1﹣）（+1）．
18．（6分）解方程
（1）x2﹣9＝0；
（2）x（2x﹣3）＝5x．
19．（6分）为了解某校八年级150名女生的身高情况，从中随机抽取10名女生，测得身高并绘制如下条形统计图．
（1）求出这10名女生的身高的中位数和众数；
（2）依据样本估计该校八年级全体女生的平均身高；
（3）请你依据这个样本，在该校八年级中，设计一个挑选50名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，5）和点B（n，1）．
（1）求m，n的值；
（2）根据图象判断，当不等式kx+b≤成立时，x的取值范围是什么？
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是AO，DO的中点，连结BE，CF．
（1）求证：BE＝CF；
（2）连结EF，若EF＝3，∠EOF＝120°，求矩形ABCD的周长．
22．（6分）某种商品的标价为500元/件，经过两次降价后的价格为320元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该商品进价为280元/件，两次降价共售此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于8000元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
23．（8分）在一次数学实践活动中，观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录，当观察到第t分钟时，水温为y℃，记录的相关数据如下表所示：
（饮水机功能说明：水温加热到100℃时饮水机停止加热，水温开始下降，当降到40℃时饮水机又自动开始加热）
请根据上述信息解决下列问题：
（1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点；
（2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程y关于t的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
（3）已知沏茶的最佳水温是80℃≤y≤90℃，若18：00开启饮水机（初始水温20℃）到当晚20：10，沏茶的最佳水温时间共有多少分钟？
24．（8分）如图1，点O是菱形ABCD对角线的交点，已知菱形的边长为12，∠ABC＝
60°．
（1）求BD的长；
（2）如图2，点E是菱形边上的动点，连结EO并延长交对边于点G，将射线OE绕点O 顺时针旋转30°交菱形于点H，延长HO交对边于点F．
①求证：四边形EFGH是平行四边形；
②若动点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→A→D的方向在BA和AD上运动，设
点E运动的时间为t，当t为何值时，四边形EFGH为矩形．
2017-2018学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选
项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）化简的结果是（）
A．2B．﹣2C．±2D．4
【解答】解：＝2．
故选：A．
2．（3分）下列手机手势解锁图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（3分）用反证法证明“a＞0”，应假设（）
A．a＜0B．a＝0C．a≠0D．a≤0
【解答】解：由于命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，
故用反证法证明：“a＞0”，应假设“a≤0”，
故选：D．
4．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7
【解答】解：边数n＝360°÷72°＝5．
故选：B．
5．（3分）下列各点中，不在反比例函数y＝图象上的点是（）
A．P（3，﹣4）B．P（3，4）C．P（2，6）D．P（﹣2，﹣6）【解答】解：∵y＝，∴xy＝12
A．（3，﹣4），此时xy＝3×（﹣4）＝﹣12，符合题意；
B、（3，4），此时xy＝3×4＝12，不合题意；
C、（2，6），此时xy＝2×6＝12，不合题意；
D、（﹣2，﹣6），此时xy＝﹣2×（﹣6）＝12，不合题意；
故选：A．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a应满足（）A．a＜1B．a≤1C．a＞1D．a≥1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，
∴△＝4﹣4a≥0，
解得：a≤1；
故选：B．
7．（3分）从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且S甲2＝100，S乙2＝110，S丙2＝120，S丁2＝90．根据统计结果，最适合参加竞赛的两位同学是（）
A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丁D．乙、丙
【解答】解：从四个方差看，甲，丁的方差在四个同学中是较小的，方差小成绩发挥稳定，所以应选他们两人去参加比赛．
故选：C．
8．（3分）下列条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，BC＝AD
C．∠A＝∠C，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠B
【解答】解：A、由AB∥CD，AB＝CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；
B、由AB＝CD，BC＝AD可以判断四边形ABCD是平行四边形；
C、由∠A＝∠C，AD∥BC，可以推出∠B＝∠D，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD，∠A＝∠B不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故选：D．
9．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结DE，则∠BED
的度数为（）
A．120°B．125°C．135°D．150°
【解答】解：如图，在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝∠BAE＝60°，AE＝AB，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝60°+75°＝135°．
故选：C．
10．（3分）如图，EF是Rt△ABC的中位线，∠BAC＝90°，AD是斜边BC边上的中线，EF和AD相交于点O，则下列结论不正确的是（）
A．AO＝OD B．EF＝AD
C．S△AEO＝S△AOF D．S△ABC＝2S△AEF
【解答】解：
∵EF是Rt△ABC的中位线，
∴EF BC，
∵AD是斜边BC边上的中线，
∴AD＝BC，
∴EF＝AD，故选项B正确；
∵AE＝BE，EO∥BD，
∴AO＝OD，故选项A正确；
∵E，O，F，分别是AB，AD，AC中点，
∴EO＝BD，OF＝DC，
∵BD＝CD，
∴OE＝OF，
又∵EF∥BC，
∴S△AEO＝S△AOF，故选项C正确；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∵EF是Rt△ABC的中位线，
∴S△ABC：S△AEF＝4：1，
即S△ABC＝4S△AEF≠2S△AEF，故选D错误，
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是AB＝BC（答案不唯一）．
【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+3a＝0的一个根是2，则a＝4．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+3a＝0有一个根为2，
∴22﹣2a×2+3a＝0，
解得，a＝4，
故答案为4．
14．（3分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x＝12或8．
【解答】解：∵这组数据的中位数和平均数相等，
∴＝10或9，
解得：x＝12或8，
故答案为：12或8．
15．（3分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有四个点A，B，它们的横坐标依次为a，2a，3a，4a，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和为2．
【解答】解：如图，∵反比例函数的解析式为y＝，
∴矩形AEOF的面积为4．
由题意，图中阴影部分的面积之和＝×矩形AEOF的面积＝2，
故答案为2．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x．
（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，x＝2；
（2）如图2，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是2≤x≤2﹣2【解答】解：（1）点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，
∴EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2．
（2）作AH⊥DE于H．
在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝60°，AB′＝4，
∴HB′＝AB′＝2，AH＝HB′＝2，
在Rt△ADH中，DH＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠AEB＝∠AED，
∴DA＝DE＝6，
∴EB′＝BE＝6﹣（2﹣2）＝8﹣2，
∴EC＝BC﹣BE＝6﹣（8﹣2）＝2﹣2．
∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是2≤x﹣2．
故答案为：2，2﹣2．
三、解答题（本题有8小题，共52分）
17．（6分）计算：
（1）﹣
（2）（1﹣）（+1）．
【解答】解：（1）原式＝2﹣
＝；
（2）原式＝1﹣5
＝﹣4．
18．（6分）解方程
（1）x2﹣9＝0；
（2）x（2x﹣3）＝5x．
【解答】解：（1）∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x＝±3；
（2）方程整理可得2x2﹣8x＝0，
因式分解得2x（x﹣4）＝0，
解得：x＝0或x＝4．
19．（6分）为了解某校八年级150名女生的身高情况，从中随机抽取10名女生，测得身高并绘制如下条形统计图．
（1）求出这10名女生的身高的中位数和众数；
（2）依据样本估计该校八年级全体女生的平均身高；
（3）请你依据这个样本，在该校八年级中，设计一个挑选50名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）．
【解答】解：（1）这10名女生的身高为：154、158、158、161、161、162、162、162、165、167，
∴这10名女生的身高的中位数是：＝161.5cm，众数是162cm，
即这10名女生的身高的中位数和众数分别是161.5cm、162cm；
（2）平均身高是：＝161cm，
即该校八年级全体女生的平均身高是161cm；
（3）可以先将八年级身高是162cm的所有女生挑选出来，若不够，再挑选身高与162cm最接近的，直到挑选到50人为止．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，
5）和点B（n，1）．
（1）求m，n的值；
（2）根据图象判断，当不等式kx+b≤成立时，x的取值范围是什么？
【解答】解：（1）把A（1，5）代入y＝中，得到m＝5，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（n，1）代入y＝中，得到n＝5．
（2）∵A（1，5），B（5，1），
观察图象可知：不等式kx+b≤成立时，x的取值范围是0＜x≤1或x≥5．
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是AO，DO的中点，连结BE，CF．
（1）求证：BE＝CF；
（2）连结EF，若EF＝3，∠EOF＝120°，求矩形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OC＝OA，
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
∴OE＝OA，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF，
∴BE＝CF．
（2）∵点E，F分别是AO，DO的中点，
∴AD＝2EF＝6，
∵∠AOD＝120°，AO＝OD，
∴∠ODA＝30°，
在Rt△ADB中，AB＝AD•tan30°＝2，
∴矩形的周长为2（6+2）＝12+4．
22．（6分）某种商品的标价为500元/件，经过两次降价后的价格为320元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该商品进价为280元/件，两次降价共售此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于8000元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，
根据题意得：500（1﹣x）2＝320，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为20%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据题意得：[500×（1﹣20%）﹣280]m+（320﹣280）（100﹣m）≥8000，
解得：m≥50．
答：第一次降价后至少要售出该种商品50件．
23．（8分）在一次数学实践活动中，观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录，当观察到第t分钟时，水温为y℃，记录的相关数据如下表所示：
（饮水机功能说明：水温加热到100℃时饮水机停止加热，水温开始下降，当降到40℃时饮水机又自动开始加热）
请根据上述信息解决下列问题：
（1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点；
（2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程y关于t的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
（3）已知沏茶的最佳水温是80℃≤y≤90℃，若18：00开启饮水机（初始水温20℃）到当晚20：10，沏茶的最佳水温时间共有多少分钟？
【解答】解：（1）如图所示．
（2）观察图象可知第一次加热过程的函数关系是一次函数，设解析式为y＝kt+b，则有，
解得，
∴第一次加热过程的函数关系是y＝2x+20．（0≤t≤40）
由图象可知第一次降温过程的函数关系是反比例函数，设y＝，把（50，80）代入得到m
＝4000，
∴第一次降温过程的函数关系是y＝．（40≤t≤100）．
（3）由题意可知，第二次加热观察时间为30分钟，结束加热是第130分钟，而18：00至20：10共130分钟，
∴饮水机加热一次，降温一次，再加热了一次的过程，
把y＝80代入y＝2t+20，得到t＝30，把y＝90代入y＝2x+20，得到t＝35，
∴一次加热过程出现的最佳水温时间为：35﹣30＝5分钟，
把y＝80代入y＝，得到t＝50，把y＝90代入y＝得到t＝，
∴一次降温出现的最佳水温时间为：50﹣＝（分钟），
∴18：00开启饮水机（初始水温20℃）到当晚20：10，沏茶的最佳水温时间共+5×2＝（分钟）．
24．（8分）如图1，点O是菱形ABCD对角线的交点，已知菱形的边长为12，∠ABC＝
60°．
（1）求BD的长；
（2）如图2，点E是菱形边上的动点，连结EO并延长交对边于点G，将射线OE绕点O 顺时针旋转30°交菱形于点H，延长HO交对边于点F．
①求证：四边形EFGH是平行四边形；
②若动点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→A→D的方向在BA和AD上运动，设
点E运动的时间为t，当t为何值时，四边形EFGH为矩形．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∥ABO＝∠OBC＝30°，
∴AO＝AB＝6，
∴OB＝AB•cos30°＝6，
∴BD＝2BO＝12．
（2）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BO＝OD，
∴∠EBO＝∠GDO
∵∠BOE＝∠DOG，
∴△EOB≌△GOD，
∴EO＝GO，同理可得HO＝FO，
∴四边形EFGH是平行四边形．
②a、当点E、H都在AB上时，四边形EFGH是矩形，作∠EOH的平分线OM，
∵OE＝OH，
∴OM⊥EH．
∴∠MOB＝90°﹣∠ABO＝60°，
∵∠MOE＝∠EOH＝15°，
∴∠EOB＝∠MOB﹣∠MOE＝45°，作EN⊥OB于N．设ON＝EN＝x，则NB＝x，∵OB＝6，
∴x+x＝6，
∴x＝9﹣3，
∴BE＝2EN＝18﹣6，
∴t＝18﹣6时，四边形EFGH是矩形．
b、当点E在AB上，点H在AD上，四边形EFGH是矩形．
由菱形和矩形都是轴对称图形可知，∠AOE＝∠AOH＝15°，∴∠EOB＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ABO＝30°，
∴∠BEO＝180°﹣∠EOB﹣∠ABO＝75°，
∴∠BEO＝∠BOE，
∴BE＝BO＝6，
∴t＝6时，四边形EFGH是矩形．
c、当点E、H都在AD上时，四边形EFGH是矩形．
由b同理可证：DE＝DO＝6，
∴AB+AE＝AB+AD﹣DE＝24﹣6
∴t＝24﹣6时，四边形EFGH是矩形．
d、当点E在AD上，点H在DC上，四边形EFGH是矩形．
由菱形、矩形都是轴对称图形可知，∠DOE＝∠HOE＝15°，
∴∠EOA＝90°﹣15°＝75°，
∵∠OAD＝60°，过点O作OK⊥AD，
∴∠AOK＝90°﹣∠OAD＝30°，
∴∠KOE＝75°﹣30°＝45°，
∴KE＝OK，
∴AE＝AK+KE＝3+3，
∴BA+AE＝15+3，
∴t＝15+3，
∴t＝15+3时，四边形EFGH是矩形．
综上所述，t为18﹣6，6，24﹣6，15+3时，四边形EFGH是矩形．。