Matlab中的概率统计简介

Matlab中的概率统计简介
几个有用的排列组合函数：
nchoosek(n,k) 求组合数C n k
factorial(n) 求n的阶乘
perms(v) 给出v中所有元素的排列。

例如：perms([1 3 5]) combnk(v,k) 从v中取k个元素的组合。

例如：combnk([2 3 6 7 8],3) randperm(n) 产生一个1到n的随机排列
概率分布
一、二项分布
设随机变量X~B(n,p)：
binornd(n,p,M,N) 产生M行N列服从B(n,p)分布的随机变量（M、N默认为1）binopdf(X,n,p) n次试验发生X次事件的概率
binocdf(X,n,p) n次试验发生小于等于X次事件的累积概率
例1：一批元件有400件，已知它的次品率为0.02，求其中至少有5件次品的概率。

>> 1-binocdf(4,400,0.02)
ans =
0.90267
binoinv(P,n,p) n次试验以累积概率P发生的最小次数
例2：某证券营业部开有1000个资金账户，每户资金10万元，设每日每个资金账户到营业部提取20% 现金的概率为0.006，问该营业部每日至少要准备多少现金，才能保证95% 以上的概率满足客户的提款需求？
>> 10*0.2*binoinv(0.95,1000,0.006)
ans =
20
二、泊松分布
设随机变量X~P(λ)：
poissrnd(lambda,M,N) 产生M行N列服从P(λ)分布的随机变量（M、N默认为1）poisspdf(X, lambda) n次试验发生X次事件的概率
poisscdf(X, lambda) n次试验发生小于等于X次事件的累积概率
poissinv(P, lambda) n次试验以累积概率P发生的最小次数
例3：某急救中心在间隔t的时间段中收到呼救的次数X~P(t/2)，且与时间间隔的起点无关（时间以小时记），试求：
（1）某天12：00 至15：00之间没有收到呼救的概率；
（2）某天12：00 至17：00之间至少收到1次呼救的概率；
>> poisspdf(0,1.5)
ans =
0.22313
>> 1-poisspdf(0,2.5)
ans =
0.91792
三、均匀分布
设随机变量X~U(a,b)：
unifrnd(a,b,M,N) 产生M行N列服从U(a,b)分布的随机变量（M、N默认为1）unifpdf(X, a,b) 计算随机变量X的概率
unifcdf(X, a,b) 计算随机变量X的累积概率
unifinv(P, lambda) 计算累积概率为P时的随机变量的值
四、正态分布
设随机变量X~N(μ,σ2)：
normrnd(mu,sigma,M,N) 产生M行N列服从N(μ,σ2)分布的随机变量（M、N
默认为1）
normpdf(X, mu,sigma) 计算随机变量X的概率
normcdf(X, mu,sigma) 计算随机变量X的累积概率
norminv(P, mu,sigma) 计算累积概率为P时的随机变量的值
normspec([a,b],mu,sigma) 绘出区间[a,b]在概率密度图上的分布
例4：把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度为d度。

已知液体的温度T是随机变量，且T~N(d,0.52)
（1）若d=90度，求T≤89的概率；
（2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不小于0.99，问d至少为多少度？>> normcdf(89,90,0.5)
ans =
0.02275
>> norminv(0.99,80,0.5)
ans =
81.163
五、指数分布
设随机变量X~e(λ)：
exprnd(lamda,M,N) 产生M行N列服从e(λ)分布的随机变量（M、N默认为1）exppdf(X, lamda) 计算随机变量X的概率
expcdf(X, lamda) 计算随机变量X的累积概率
expinv(P, lamda) 计算累积概率为P时的随机变量的值
假设检验
单正态总体均值检验
1．方差已知
[H,P] = ztest(X,M,sigma,alpha,tail)
X：样本数据；M：假设均值；sigma：已知的方差；alpha：显著水平，默认为0.05；
tail: 备择假设。

取值如下：
’both’：均值不等于M，默认值；
‘right’：均值大于M；
‘left’：均值小于M
返回值：H=0可以接受原假设；H=1不接受原假设；P为观测值的概率。

例5：某面粉厂每袋面粉的重量服从正态分布，机器运转正常时每袋面粉重量的均值为50kg，标准差为1。

某日随机的抽取了刚包装9袋，称其重量分别为：
49.7 50.6 51.8 52.4 49.8 51.1 52 51.5 51.2
问该机器是否运转正常？
解：假设机器运转正常，则备择假设为不正常，即tail值为’both’（默认值）
>> [h,p] = ztest([49.7 50.6 51.8 52.4 49.8 51.1 52 51.5 51.2],50,1)
h =
1
p =
0.00076083
H=1说明在显著水平α=0.05的情况下不能接受原假设，级该机器运转不正常。

2．方差未知
[H,P] = ttest(X,M,alpha)
例6：用某仪器间接测量温度，重复5次，测得结果分别为（℃）
1250 1265 1245 1260 1275
设测量值X服从正态分布，水平α=0.05. 试问能否认为该仪器测量值大于1277℃？
解：假设测量值大于1277℃，则备择假设为测量值小于等于1277℃，tail值应为’left’>> [h,p] = ttest([1250 1265 1245 1260 1275],1277,0.05,'left')
h =
1
p =
0.014
H=1说明不能接受原假设，即认为测量值不大于1277℃
单正态总体的方差检验
[H,P] = vartest(X,v,alpha,tail)
其中v为假设的需检验的方差，其它参数同上。

例：某厂生产的铜丝，质量一向比较稳定，今从中随机抽取10根检查其折断力，数据（千克）如下：
575 576 570 569 572 582 577 580 571 585
设铜丝的折断力服从正态分布，检验水平α=0.05，试问：可否认为该厂生产的铜丝折断力的方差为64？
>> vartest([575 576 570 569 572 582 577 580 571 585],64)
ans =
H=0认为接受原假设，即该批铜丝的折断力的方差为64.
两正态总体方差相等的检验
[H,P] = vartest2(X,Y,alpha,tail)
X和Y为两个随机变量的样本数据，可以是不同长度；tail为备择假设，取值为’right’表示X方差大于Y方差，’left’表示X方差小于Y方差。

例：某一橡胶配方中，原用氧化锌5克，现减为1克。

今分别对两种配方作一批试验，分别测得橡胶伸长率如下：
1克565 577 580 575 556 542 560 532 570 561
5克540 533 525 520 545 531 541 529 534
假设橡胶伸长率服从正态分布，问这两种配方对橡胶伸长率的总体方差有无显著差异（α=0.1）？
>> [h,p]=vartest2([565 577 580 575 556 542 560 532 570 561],[540 533 525 520 545 531 541 529 534],0.1)
h =
1
p =
0.078507
H=1表示拒绝原假设，即认为两总体的方差有显著差异。

两总体均值相等的检验
1．两总体服从独立正态分布且方差相等
[H,P] = ttest2(X,Y,alpha,tail)
X和Y为两个随机变量的样本数据，可以是不同长度；tail为备择假设，取值为’right’
表示X均值大于Y均值，’left’表示X均值小于Y均值。

例7：用自动车床采用新旧两种工艺加工同种零件，测量的加工偏差（微米）分别为：旧工艺 2.7 2.4 2.5 3.1 2.7 3.5 2.9 2.7 3.5 3.3
新工艺 2.6 2.1 2.7 2.8 2.3 3.1 2.4 2.4 2.7 2.3
设测量的加工偏差服从正态分布，所得的两个样本相互独立且总体方差相等，试问自动
车床在新旧两种工艺下的加工精度有无显著差异（α=0.01）？
>> ttest2([2.7 2.4 2.5 3.1 2.7 3.5 2.9 2.7 3.5 3.3],[2.6 2.1 2.7 2.8 2.3 3.1 2.4 2.4 2.7 2.3],0.01)
ans =
H=0表示接受原假设，认为新旧工艺加工精度无显著差异。

2．两总体分布未知
[P,H] = ranksum(X,Y,alpha)
如果X的均值不显著的不同于Y的均值，则H=0，否则H=1；P为观察结果的概率。

例8：两台机床加工同一种轴，抽样测量产品的直径（mm）：
甲：33.592 33.862 33.751 33.673 33.847 33.778 33.631 33.911 33.785 33.928
乙：34.221 33.947 33.856 34.039 34.000 33.924 34.125 34.273 33.968 33.923
在显著性水平α=0.05下，能否认为两台机床加工的轴的直径无显著不同。

>> [p,h]=ranksum([33.592 33.862 33.751 33.673 33.847 33.778 33.631 33.911 33.785 33.928],[34.221 33.947 33.856 34.039 34.000 33.924 34.125 34.273 33.968 33.923])
p =
0.00076854
h =
1
H=1认为X的均值显著不同于Y的均值，因此不能认为两者的直径无显著不同。

是否服从正态分布的检验
1．大样本
[H,P] = jbtest(X,alpha)
H=0接受正态分布的假设，H=1则拒绝假设；P为接受假设的概率。

2．小样本
[H,P] = lillietest(X,alpha)
H=0接受正态分布的假设，H=1则拒绝假设；P为接受假设的概率。

hist作图
hist为绘制直方图函数，直方图能直观的显示数据的分布情况。

简单语法如下：
n = hist(Y) 将向量Y中的元素分到10个等间隔的范围内，并返回每个范围内元素的个数作为一行向量
n = hist(Y,X) X是一个向量，返回X的长度个以X为中心的，Y的分布情况若调用方式前无返回值，即hist(Y) 或hist(Y,X) 的调用方式则不返回数据而是直接返回数据的直方图。

例如：
>> x = -2.9:0.1:2.9;
>> y = randn(10000,1);
>> hist(y,x)
读者可以看一下hist(y) 的图形效果，从而比较两种用法的区别。