【沪科版】九年级下册数学优质公开课课件24.4 第2课时 切线的性质和判定
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观察与思考 已知⊙O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点 A作⊙O的切线？ 作法：1. 连接OA.
B O
A
2. 过点 A 作直线 BC⊥OA.
则直线 BC 即为所作. 为什么直线BC 即为所作呢？
C
知识要点 切线的判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 应用格式
B O A
∵ OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A， ， ∴ BC为⊙O的切线.
例2 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O 交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1) 求证：△ACB≌△APO； 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， ∴∠OAP＝90°. 又∵∠P＝30°，OA，OB为半径， A ∴∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
A
C
B
例5 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点， ⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
提示：根据切线的判定定理 ，要证明AC是⊙O的切线， 只要证明由点O向AC所作的 垂线段OF是⊙O的半径就可 以了，而OE是⊙O的半径， B 因此只需要证明OF=OE.
A
(2) 无交点，作垂直，证半径 (如：例5). ◑有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直 (如：例1).
经典
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第24章
圆
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的性质和判定
学习目标
1. 会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点 作圆的切线. 2. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点 ） 3. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题. （难点）
r
l
d
l
O
A
l
例3 如图,∠ABC=45°，AB是☉O的 直径，AB=AC.
B
O
求证：AC是☉O的切线.
C A 提示：直线AC经过半径的一端，因此只要证AB垂直于 AC即可. ∴∠ACB =∠ABC =45°. ∴∠BAC =180°-∠ABC-ACB =90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
证明：∵AB =AC，∠ABC =45°，
例4 已知：直线 AB 经过 ☉O 上的点 C，并且OA=OB，
CA = CB. 求证：直线AB是☉O的切线.
提示：由于AB过☉O上的点C，所以连接 OC，只要证明OC⊥AB即可. 证明：连接OC，如图. ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴△OAB是等腰三角形，OC⊥AB. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. O
圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式：
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
O
A l
练一练 如图，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O 相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= 60° .
O
A B
N
M
典例精析 例1 如图，点 O 是 ∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与 边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是 ⊙O 上一点，且∠EPD ＝ 35°，则 ∠BAC 的度数为 A ( ) A．20° B．35° C．55° D．70° 解析：连接OD，如图. ∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝ 2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90° －∠EOD＝20°.故选A.
O
方法归纳
如图，已知直线AB经过 ⊙O上的点C，并且பைடு நூலகம்A＝ OB，CA＝CB. 求证：直线AB是⊙O的切 线. 连接 如图，OA＝OB=5，AB＝8 ， ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切 线. 作垂直 O B
O
A C
A
C
B
通过对比，你能得出什么结论？
要点归纳
◑证切线时辅助线的添加方法 (1) 有交点，连半径，证垂直 (如：例4)；
O A l
证明：当直线 l与⊙O相切时，切点为A，连接OA. 这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB ， 因为点B在⊙O外，所以OB >OA. 这就是说，OA是点O到直线 l上任一点连线中最短的， O 故OA⊥l.
l
A
B
于是我们可以得到： 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
知识要点 切线性质：
C
练一练 利用切线判定定理，判断下列各直线是不是圆的 切线？如果不是，请说明理由. O
l
l
O . (1)
O
l
(2)
(3)
(1) 不是，因为 没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半 “经过半径的外端点”和“垂 径的外端点. 直于这条半径”，两个条件缺 一不可，否则就不是圆的切线.
知识要点 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点 时，我们说这条直线是圆的切线. 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距 离等于半径 (即 d = r) 时，直线与 圆相切. 3. 判定定理：经过半径外端且垂直 于这条半径的直线是圆的切线.
又∵BC为⊙O的直径， O ∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝
C
B
P
∠AOB，
(2) 若AP ＝ 3 ，求⊙O的半径． 解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ 3 ， ∴ AO＝1， 即⊙O的半径为1.
A C O B P
二 切线的判定定理
E
F
O
C
证明：连接OE ，OA，过O 作OF ⊥AC，如图. ∵ ⊙O 与AB 相切于E，∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC. 又∵ OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴ OE ＝OF. ∵OE为⊙O 半径， ∴OF为⊙O 半径. ∴ AC 是⊙O 的切线． B A E F C
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是 否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花， 都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
讲授新课
一 切线的性质定理
观察与思考 如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，点 A 为切 点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？
B O
A
2. 过点 A 作直线 BC⊥OA.
则直线 BC 即为所作. 为什么直线BC 即为所作呢？
C
知识要点 切线的判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 应用格式
B O A
∵ OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A， ， ∴ BC为⊙O的切线.
例2 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O 交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1) 求证：△ACB≌△APO； 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， ∴∠OAP＝90°. 又∵∠P＝30°，OA，OB为半径， A ∴∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
A
C
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例5 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点， ⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
提示：根据切线的判定定理 ，要证明AC是⊙O的切线， 只要证明由点O向AC所作的 垂线段OF是⊙O的半径就可 以了，而OE是⊙O的半径， B 因此只需要证明OF=OE.
A
(2) 无交点，作垂直，证半径 (如：例5). ◑有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直 (如：例1).
经典
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第24章
圆
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的性质和判定
学习目标
1. 会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点 作圆的切线. 2. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点 ） 3. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题. （难点）
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例3 如图,∠ABC=45°，AB是☉O的 直径，AB=AC.
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求证：AC是☉O的切线.
C A 提示：直线AC经过半径的一端，因此只要证AB垂直于 AC即可. ∴∠ACB =∠ABC =45°. ∴∠BAC =180°-∠ABC-ACB =90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
证明：∵AB =AC，∠ABC =45°，
例4 已知：直线 AB 经过 ☉O 上的点 C，并且OA=OB，
CA = CB. 求证：直线AB是☉O的切线.
提示：由于AB过☉O上的点C，所以连接 OC，只要证明OC⊥AB即可. 证明：连接OC，如图. ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴△OAB是等腰三角形，OC⊥AB. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. O
圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式：
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
O
A l
练一练 如图，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O 相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= 60° .
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A B
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M
典例精析 例1 如图，点 O 是 ∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与 边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是 ⊙O 上一点，且∠EPD ＝ 35°，则 ∠BAC 的度数为 A ( ) A．20° B．35° C．55° D．70° 解析：连接OD，如图. ∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝ 2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90° －∠EOD＝20°.故选A.
O
方法归纳
如图，已知直线AB经过 ⊙O上的点C，并且பைடு நூலகம்A＝ OB，CA＝CB. 求证：直线AB是⊙O的切 线. 连接 如图，OA＝OB=5，AB＝8 ， ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切 线. 作垂直 O B
O
A C
A
C
B
通过对比，你能得出什么结论？
要点归纳
◑证切线时辅助线的添加方法 (1) 有交点，连半径，证垂直 (如：例4)；
O A l
证明：当直线 l与⊙O相切时，切点为A，连接OA. 这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB ， 因为点B在⊙O外，所以OB >OA. 这就是说，OA是点O到直线 l上任一点连线中最短的， O 故OA⊥l.
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于是我们可以得到： 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
知识要点 切线性质：
C
练一练 利用切线判定定理，判断下列各直线是不是圆的 切线？如果不是，请说明理由. O
l
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O . (1)
O
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(2)
(3)
(1) 不是，因为 没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半 “经过半径的外端点”和“垂 径的外端点. 直于这条半径”，两个条件缺 一不可，否则就不是圆的切线.
知识要点 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点 时，我们说这条直线是圆的切线. 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距 离等于半径 (即 d = r) 时，直线与 圆相切. 3. 判定定理：经过半径外端且垂直 于这条半径的直线是圆的切线.
又∵BC为⊙O的直径， O ∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝
C
B
P
∠AOB，
(2) 若AP ＝ 3 ，求⊙O的半径． 解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ 3 ， ∴ AO＝1， 即⊙O的半径为1.
A C O B P
二 切线的判定定理
E
F
O
C
证明：连接OE ，OA，过O 作OF ⊥AC，如图. ∵ ⊙O 与AB 相切于E，∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC. 又∵ OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴ OE ＝OF. ∵OE为⊙O 半径， ∴OF为⊙O 半径. ∴ AC 是⊙O 的切线． B A E F C
导入新课
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生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是 否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花， 都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
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一 切线的性质定理
观察与思考 如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，点 A 为切 点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？