昌平区2017-2018学年第一学期初三数学期末试卷

昌平区2017-2018 学年第一学期初三年级期末质量抽测
数学试卷2018．1 学校：班级: 姓名:
考1．本试卷共 8 页，共五道大题，28 道小题，满分 100 分．考试时间 120 分钟．生2．在试卷和答题卡上认真填写班级、姓名和考试编号．
须3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
知4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共8 道小题，每小题2 分，共16 分）
下列各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的．
1．已知∠A 为锐角，且 sin A＝
2
2
，那么∠A 等于
A．15°B．30°C．45°D．60°
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是
A．圆锥B．圆柱C．长方体D．正方体
（第 2 题图）（第 3 题图）（第 4 题图）
k
y
x
3．如图，点B 是反比例函数
（k 0）在第一象限内图象上的一点，过点B 作BA⊥x 轴于点A，BC
⊥y 轴于点C，矩形AOCB 的面积为 6，则k 的值为
A．3 B．6 C．-3 D．-6
4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50，则∠BOC 的大小为
A．40°B．30°C．80°D．100°
5．将二次函数y x2 6x 5 用配方法化成y (x h)2 k 的形式，下列结果中正确的是
A．y (x 6)2 5 B．y (x 3)2 5
C．y (x 3)2 4 D．y (x 3)2 9
第1 页
6．如图，将ΔABC 绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E，点A 的对应点为点D，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是
D
A
E
C
B
（第 6 题图）（第 7 题图）
A．60°B．65°C．70°D．75°
7．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D 的度数是
A．25°B．40°C．50°D．65°
8．小苏和小林在如图所示的跑道上进行 4×50 米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点．
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度．
C. 小苏在跑最后 100m 的过程中，与小林相遇 2 次．
D．小苏前 15s 跑过的路程小于小林前 15s 跑过的路程．
二、填空题（共8 道小题，每小题2 分，共16 分）
9．请写出一个图象在第二，四象限的反比例函数的表达式．
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A，点B 的坐标分别为（0 ，2），
（1，0 ），将线段AB 沿x 轴的正方向平移，若点B 的对应点的坐标为
B （ 2 ，0 ），则点 A 的对应点A' 的坐标
'
为．(第 10 题图)
第2 页
11．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于 A 、B 两点，点 C 为劣弧 AB 上任
意一点，过点 C 的切线分别交 AP ，BP 于 D ，E 两点．若 AP=8，则 △PDE 的周长为 ．
12．抛物线 y
x 2 bx c 经过点 A （0，3），B （2，3），抛物线的对称
轴为
．
(第 11 题图)
13．如图，⊙O 的半径为 3，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧 AB 的长为
．
14．如图，在直角三角形 ABC 中,∠C =90°，BC =6，AC =8，点 D 是 AC 边上一点，将△BCD 沿 BD 折叠,
使点 C 落在 AB 边的 E 点,那么 AE 的长度是
．
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△CDE 可以看作是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、 旋转）得到的，写出一种由△AOB 得到△CDE 的过程：
．
A B
C
F
O
E D
(第 13 题图) (第 14 题图) (第 15 题图)
16.阅读以下作图过程：
第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点 B 表示数 5，以 AB 为直径作半圆（如图）； 第二步：以 B 点为圆心，1 为半径作弧交半圆于点 C （如图）； 第三步：以 A 点为圆心，AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点 M .
请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点 M 表示的数为________.
C
O A
B 0
1
5
(第 16 题图)
x
三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 17．计算： 2sin 30
t an 60cos 60 t an 45 ．
第 3 页
18．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：
x … 4 3 2 1 0 1 2 …
y … 5 0 3 4 3 0 5 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
19．如图，在△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 于点D．AC=10，cos A= 4
5
，求BC 的长．
A
D
B C
20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，连接AC，BC．（1）求证： A BCD；
（2）若AB=10，CD=8，求BE 的长．
第4 页
21．尺规作图：如图，AC 为⊙O 的直径．
（1）求作：⊙O 的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4 时，求这个正方形的边长．
22．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D 用高1.5米的测角仪DA 测得塔顶M 的仰角为30，然后沿DF 方向前行40 m 到达点E 处，在E 处测得塔顶M 的仰角为60．请根据他们的测量数据求此塔MF 的高．（结果精确到0.1m，参考数据： 2 1.41， 3 1.73， 6 2.45）
M
A B C
D E F
四、解答题（共4 道小题，每小题6 分，共24 分）
23．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为 10m 时，桥洞与水面的最大距离是 5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图），
你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B 点坐标是______，
5m 求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为 6m，求水面上涨的高度．
10m
y
y
y
A
O
x
x
x
A O
B A
O B
B
方案 1 方案 2 方案 3
第5 页
24．如图，AB 为⊙O 的直径，C、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB 的延长线于点D．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
A
（2）如果半径的长为 3，tan D= 3
4
，求AE 的长.
O
B F
D C
E
25．小明根据学习函数的经验，对函数y x 4
5x2 4 的图象与性质进行了探
究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应数值如下表：
3
11 5 9
1 1 11
3 1
9 5 1
x …-2 -1 0 1 2 …
2
4 4 2 4 4 2 4
5
2
4 5
y … 4.3 3.2 0 -2.2 -1.4 0 2.8 3.7 4 3.7 2.8 0 -1.4 -2.2 m 3.2 4.3 …其中m= ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程x 4
5x2 4 0 有个互不相等的实数
根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2 >x1>2 时，比较y1 和y2 的大小关系为：y1 y2 (填“>”、“<”或“=”) ；
③若关于x 的方程x4 5x2 4 a 有 4 个互不相等的实数根，则a 的取值范围
是.
第6 页
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx2－2mx－3 (m≠0)与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B 顶点为C 点．
（1）求点A 和点B 的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB 交
y l
于点N（x3，y3），若x3<x1<x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3 的取值范围为.
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
x
O
–1
–2
–3
–4
–5
五、解答题（共2 道小题，每小题7 分，共14 分）
27．已知，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点D 为BC 边上的一点.
（1）以点C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转 90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长AD 交BE 于点F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC= ，BF=1，连接CF，则CF 的长度为.
5
C C
D
D
A B A B
备用图
第7 页
28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为d ，到y 轴的距离为
1 d ，2
若 d 为点P 的最大距离；若
d d ，则称
1 2 1 d d ，则
称
1 2
d 为点P 的最大距离.
2
例如：点P（3，4 ）到到x 轴的距离为 4，到y 轴的距离为 3，因为 3 < 4，所以点P 的最大距离为4 . （1）①点A（2，5）的最大距离为；
②若点B（a ，2 ）的最大距离为5，则a 的值为；
（2）若点C 在直线
y x 2上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；
（3）若⊙O 上存．在．点M，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
O
–1
–2
–3
–4
–5
x
第8 页
昌平区 2017-2018 学年度第一学期初三年级期末质量抽测
数学参考答案及评分标准
2018. 1
一、选择题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
A
B
D
C
D
B
D
二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） 题号 9
10 11 12 13
14
答案
y
2 (答案不唯一)
(3,2)
16
直线 x =1
4
x
题号 15
16
答案
将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°，再沿 x 轴向右平移一个单位(答案不唯一)
15 1（作图正确 1 分.答案正确 1 分）
三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 17．解： 2sin 30
t an 60
cos 60tan 45
1
1
2 3 1 ………………………………………………………… 4 分
2
2
1
3 ． ………………………………………………………………… 5 分 2
18．解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（ 1， 4 ）．………………………………… 1 分
设二次函数的解析式为： y a (x 1)2
4………………2 分
y
3
把点（0，3）代入 y a (x 1)2 4 得 a
1
2
1
∴ y
(x 1)2 4…………………………………3 分
–4 –3 –2 –1 O
1
2
3
x
（2）如图所示 ……………………………………………………… 5 分
–1
19．解：∵AC=AB ，AB=10，
–2
∴AC=10．…………………………………………… 1 分
–3
–4
在 Rt △ABD 中
∵cos A = A D AB =
4 5
， ∴AD=8，…………………………………………………………………… 2 分 ∴DC=2.…………………………………………………………………………… 3 分
∴BD AB 2
AD2 6.…………………………………………………………4 分
∴BC BD 2
DC2 2 10 .……………………………………………………5 分
第9 页
20．（1）证明：∵ 直径 AB ⊥弦 CD ，
A
∴弧 BC =弧 BD . …………………… 1 分 ∴
A BCD .…………………… 2分
（2）解：连接 OC
O
∵ 直径 AB ⊥弦 CD ，CD =8，
∴CE =ED =4. …………………… 3 分 C
E
D
∵ 直径 AB =10，
B
∴CO =OB =5. 在 Rt △COE 中
OE
CO
2
CE
2
3…………………… 4 分
∴ BE
2 .…………………… 5 分
B
21．（1）如图所示…………………… 2分
（2）解：
A
C
∵ 直径 AC =4，
O
∴OA =OB =2.……………………… 3 分
D
∵正方形 ABCD 为⊙O 的内接正方形， ∴∠AOB=90°，……………………… 4 分 ∴ AB
OA
2
OB
2
2 2 …………………… 5分.
22．解：由题意:AB =40，CF =1.5，∠MAC=30°，∠MBC =60°， ∵ ∠MAC=30°，∠MBC =60°， ∴∠AMB=30° M
∴∠AMB =∠MAB
∴ AB =MB =40．………………………… 1 分 在 Rt △ACD 中，
A
B C ∵ ∠MCB=90°，∠MBC =60°，
D
E
F
∴ ∠BMC =30°．
∴ BC = 1 2
BM =20．………………………… 2 分 ∴ MC
MB 2
BC
2
20 3 ………………………………… 3分.，
∴ MC 34.6． ……………………………………………… 4分 ∴ MF = MC+CF =36.1.………………………………………………………… 5 分 ∴ 塔 MF 的高约为 36.1 米． …………………………………… 5 分
第 10 页
y
y
23．
y
A
O
x
x
x
A O
B A
O B
B
方案1 方案2 方案3
解：方案1：（1）点B 的坐标为（5,0）……………1 分
设抛物线的解析式为：y a(x 5)(x 5) ……………2 分
1
由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），代入解析式可得：
a
5
∴抛物线的解析式为：
1
y (x 5)(x 5) ……………3 分5
（2）由题意：把x 3代入y 1 (x 5)(x 5) 解得：16
y =3.2……………5 分
5 5
∴水面上涨的高度为3.2m……………6 分
方案2：（1）点B 的坐标为（10,0）……………1 分
设抛物线的解析式为：y ax(x 10) ……………2 分
1
由题意可以得到抛物线的顶点为（5,5），代入解析式可得：
a
5
∴抛物线的解析式为：
1
y x(x 10)……………3 分5
（2）由题意：把x 2 代入y 1 x(x 10)解得：16
y =3.2……………5 分
5 5
∴水面上涨的高度为3.2m……………6 分
方案3：（1）点B 的坐标为（5, 5）……………1 分
由题意可以得到抛物线的顶点为（0,0）
设抛物线的解析式为：y ax2 ……………2 分
1
把点B 的坐标（5, 5），代入解析式可得：a
5
∴抛物线的解析式为： 1 2
y x ……………3 分
5
（2）由题意：把x 3代入y 1 x2 解得：9
y = 1.8……………5 分
5 5
∴水面上涨的高度为5 1.8 3.2m……………6 分
第11 页
24．（1）证明：连接OC ，
∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ． ∴
BAC FAC ．…………… 1 分
∵OA OC ，
∴
OCA OAC ．
A
∴OCA FAC ．……………………2 分
∵AE ⊥DE ，
O
∴CAE ACE 90 ． ∴
OCA ACE
90 ．
B
F
D
C
E
∴OC ⊥DE ．
∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分
（2）解：∵tan D= O C CD = 3 4
，OC =3，
∴CD =4．…………………………… 4分 ∴OD = OC
2
CD 2
=5．
∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分
OC AE 3
∵sin D=
=
= ，
OD AD 5
24
∴AE=
．……………………………6分
5
5
y
25． （1）m =0,…………… 1 分
4
（2）作图,……………2 分
3
（3）图像关于y 轴对称, (答案不唯一) ……………3 分
2
（4
）
1
9
（5）
a
4
4
–4
–3 –2 –1 O
1 2 3
4 –1
x
26．解：（1）∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，
–2 –3 ∴点A 的坐标为（0,
3）；…………………… 1 分
–4
∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)的对称轴为直线x 1，
∴点B 的坐标为（1,0）．…………………… 2 分 （2）∵∠ACB =45°，
∴点C 的坐标为（1,
4），…………………… 3 分
把点C 代入抛物线y=mx 2－2mx －3 得出m
1，
∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3．……………………4 分
（3）5
3
x x x 2 ……………………6 分
1 2 3
第12 页
27．（1）补全图形……………………2 分
E （2）证明：
C ∵ΔCBE 由ΔCA
D 旋转得到，
∴ΔCBE≌ΔCAD，……………… 3 分 F
D ∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，……………4 分
∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E， A
B ∴∠BCE=∠AFE=90°，
∴AF⊥BE．……………………………………5 分
（3） 2 ………………………………………………7 分
28．解：（1）①5………………………1 分
②5……………………… 3 分
（2）∵点C 的最大距离为 5，
∴当x 5 时，y 5，或者当y 5时，x 5 . ………………4 分
分别把x 5 ，y 5代入得：
当x 5时，y 7 ，
当x 5 时，y 3 ，
当y 5 时，x 7 ，
当y 5时，x 3，
∴点C（5，3 ）或（3 ，5）.………………………5 分
（3）5 r 5 2 .…………………………………7分
第13 页。