广东省珠海市金鼎中学2018年高三数学文期末试卷含解析

广东省珠海市金鼎中学2018年高三数学文期末试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（）
A．474种 B．77种C．462
种 D．79种
参考答案：
A
某教师一天上3个班级的课，每班一节，共有种不同的排法，其中三节连上的有种。

那么这位教师一天的课的所有排法有
种，故选择A。

2. ( )
A. B. C. D.
参考答案：
【知识点】交集及其运算．A1
【答案解析】A 解析：由N中的不等式变形得：log2x＜1=log22，即0＜x＜2，
∴N={x|0＜x＜2}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}．故选：A．
【思路点拨】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．
3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
B
略
4. 已知函数的图像与直线的两个相邻公共点之间的距离等
于，则的单调减区间是（）
A． B．
C．
D．
参考答案：
A
试题分析：，最大值为，故与直线的交点距离为一个周期，所以，，令
，解得函数的减区间为.
考点：三角函数图象与性质.
5. 已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|1＜x≤3}C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|x＞2}
参考答案：
B
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合B，再求A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤3}，
B={x|2x＞2}={x|x＞1}，
∴A∩B={x|1＜x≤3}．
故选：B．
6. 已知，则a、b、c的大小关系为（）A．B．C．D．
参考答案：
A
7. 如图所示几何体中，∥∥，，，平面
平面，点为侧面内的一个动点，若点到直线的距离与到平面的距离相等，则点在侧面内的轨迹是
A．一条线段 B．圆的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
参考答案：
C
8. 若（x6+）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
C
【分析】二项式的通项公式T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．
【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）
r=C n r=C n r
令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5
故选：C．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
9. 某人向东方向走了x千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是．
参考答案：
4
根据题意画出相应的图形，如图所示：在△ABC中，AB=x千米，BC=3千米，AC= 千
米，∠ABC=180°-120°=60°，由余弦定理得：，即（x-4）（x+1）=0，解得：x=4或x=-1（舍去），因此x的值为4千米．
10. 对于平面α和直线m、n，下列命题是真命题的是
A．若m、n与α所成的角相等，则m//n
B．若m//α，n//α，则m//n
C．若m⊥α，m⊥n，则n//α
D．若m⊥α，n⊥α，则m//n
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，若在区间上有且只有1个零点，则实数的取值范围是
参考答案：
【知识点】函数零点的判定定理 B9
【答案解析】{m|m≤或m=1} 解析：解：﹣1≤x＜0时，f（x）=2x2+mx﹣1，
﹣2＜x＜﹣1时，f（x）=mx+1，∴当x=﹣1时，f（﹣1）=1﹣m，
当1﹣m=0，即m=1时，符合题意，当1﹣m＞0时，f（x）在（﹣1，0）有零点，
∴f（﹣2）=﹣2m+1≥0，解得：m≤，当1﹣m＜0，在（﹣2，0）上，函数与x轴无交点，
故答案为：{m|m≤或m=1}．
【思路点拨】通过讨论x的范围，得出函数的解析式，由f（﹣1）=1﹣m，通过讨论1﹣m
的范围，结合函数的图象的性质，从而求出m的范围
12.
二项式展开式中的常数项是_________。

参考答案：
答案：7
13. 在三棱锥P-ABC中，平面ABC，AB=BC=2，PB=2，则点B 到平面PAC的距离是．
参考答案：
略
14.
有下列命题：①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于轴对称；
②若函数f（x）＝，则，都有；
③若函数f（x）＝loga| x |在（0，＋∞）上单调递增，
则f（－2）> f（a＋1）；
④若函数 (x∈)，则函数f(x)的最小值为.
其中真命题的序号是 .
参考答案：
②④
15. 已知，直线，，则直线的概率为．
参考答案：
由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的
，故直线的概率
16. 观察下列不等式:
，，，……由以上不等式推测到一个一般的结论：对于，；
参考答案：
略
17. 已知函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=，则f（x）的单调递增区间为．
参考答案：
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．
【分析】依题意，f（0）=f（），可求得m=1，利用辅助角公式可得f（x）=sin （2x+），从而可求得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线对称，
∴f（0）=f（），
∴m=1，
∴f（x）=sin（2x+），
由2kπ﹣≤2x+≤+2kπ，k∈Z得：
kπ﹣≤x≤+kπ，k∈Z．
故答案为：[kπ﹣，+kπ]（k∈Z）．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
（Ⅰ）若曲线在处的切线过，求的值；
（Ⅱ）求证：当时，不等式在上恒成立．
参考答案：
考点：导数的综合运用利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义
试题解析：（Ⅰ）定义域为
切线
将代入，得
（Ⅱ）
只需证：在上恒成立
时，恒成立，
只需证：在恒成立
设，恒成立
只需证：在恒成立
恒成立单调递增，
单调递增，在恒成立
即在上恒成立．
19. 已知函数f（x）=ax2﹣x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；综合题；综合法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出．
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），h（x）≤x恒成立，则f（x）﹣g（x）≤0恒成立，g （x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0，分类讨论后，综合讨论结果可得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（0）=0，所以切点为（0，0），
∵f′（x）=2ax﹣+，
∴f′（0）=﹣+2=，
∴所求切线方程为y=x，
（Ⅱ）由题设，当x∈[0，+∞）时，不等式ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，
设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，
由g′（x）=2ax+﹣1=，
（1）当a=0时，g′（x）=﹣，
当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）max=g（0）=0，满足条件，
（2）当a＞0时，令g′（x）==0，解得x=﹣1，
①若﹣1≤0，即a≥，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，
则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥0，当且仅当x=0时等号成立，此时不满足条件，
②若﹣1＞0，即0＜a＜时，函数g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，
g（）=lg（1+）＞0，此时不满足条件，
（3）当a＜0时，由g′（x）=，
∴2ax+（2a﹣1）＜1，
∴g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）max=g（0）=0，满足条件，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0]
【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数最值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导数符号与原函数单调性的关系，是解答的关键．
20. （12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin（A﹣B）
=cosC．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=3，b=，求c．
参考答案：
解：（Ⅰ）由sin（A﹣B）=cosC，得sin（A﹣B）=sin（﹣C），
∵△ABC是锐角三角形，
∴A﹣B=﹣C，即A﹣B+C=，①
又A+B+C=π，②
由②﹣①，得B=；
（Ⅱ）由余弦定理b2=c2+a2﹣2cacosB，得（）2=c2+（3）2﹣2c×3cos，
即c2﹣6c+8=0，
解得c=2，或c=4，
当c=2时，b2+c2﹣a2=（）2+22﹣（3）2=﹣4＜0，
∴b2+c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，
∴c≠2．
则c=4．
略
21. (本小题满分16分)
如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km， AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积
为S(单位: ).
(I)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;
(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 ?并说明理由.
参考答案：
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．B11
B12
(1)，定义域为； (2) 不存在点，使隔离出的△面积超过3。

解析：(1)如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为．………………………………………………………1分
设边缘线所在抛物线的方程为，
把代入，得，解得，
所以抛物线的方程为．…………………………3分
因为，……………………………4分
所以过的切线方程为．………………………5分
令，得；令，得，………………7分
所以，……………………………………8分
所以，定义域为．……………………9分(2)，……………………12分
由，得，
所以在上是增函数，在上是减函数，……………14分
所以在上有最大值．
又因为，
所以不存在点，使隔离出的△面积超过3．……………16分
【思路点拨】（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为，把（2，4）代入，可得抛物线的方程为．由于，可得过的切线EF方程为
．可得E，F点的坐标，，即可得出定义域；（2）
，利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出．
22. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间[0,1]上恰有2个零点，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：（1）……………1分
当时，，此时在单调递增；……………2分
当时，
①当时，，恒成立，，此时在单调递增；…4分
②当时，令
在和上单调递增；在上单调递
减；
综上：当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增；在
上单调递减；
……………6分
（2）当时，由（1）知，在单调递增，，此时在区间上有一个零点，不符；……………7分
当时，，在单调递增；，此时在区间上有一个零点，不符；……………8分
当时，要使在内恰有两个零点，必须满足
在区间上恰有两个零点时，…………………12分
另解：把函数变形为，根据函数图像讨论交点个数，请酌情给分。