全国通用版2019版高考数学一轮总复习冲刺第十八单元统计与统计案例精品学案理

(4) 相关系数：
当 r ＞ 0 时，表明两个变量正相关；
当 r ＜ 0 时，表明两个变量负相关．
r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强． r 的绝对值越接近于 0 时，表
明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常
| r | 大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线
性相关性．
3．独立性检验
个个体被抽中的概率都是相等的，所以
p1＝ p2＝p3.
2．某班共有 52 人，现根据学生的学号， 用系统抽样的方法， 抽取一个容量为 4 的样本，
已知 3 号、 29 号、 42 号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是
()
A． 10
B． 11
C． 12
D． 16
解析：选 D 从被抽中的 3 名学生的学号中可以看出学号间距为 13，所以样本中还有一
解析： 由茎叶图可知甲的数据为 27,30 ＋m,39，乙的数据为 20＋ n, 32,34,38. 由此可知乙
的中位数是 33，所以甲的中位数也是 33，所以 m＝3. 由此可以得出甲的平均数为 33，所以乙
20＋ n＋ 32＋ 34＋ 38
的平均数也是 33，所以
4
＝ 33，
m3
解得
n＝ 8，所以
n
xi yi － n－x －y
i ＝1
(2) 回归方程为 y^＝b^ x＋ a^，其中 b^＝
n
x2i － n－x 2
， a^＝ －y －b^－x .
i ＝1
n
(3) 通过求 Q＝
i ＝1
yi － bxi －a
2
的最小值而得到回归直线的方法，
即使得样本数据的点
到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
A． 0.006 C． 0.004 5
1－ 解析：选 B 由题意知， a＝
B． 0.005
D． 0.002 5
＋ 0.03 ＋ 2×10
＝ 0.005 ，故选 B.
2.(2018 ·郑州检测 ) 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数 m
也相同，则图中的 m， n 的比值 n＝ ________.
C. 2
D． 2
解析：选 D
依题意得 m＝5×1－ (0 ＋ 1＋ 2＋3) ＝－ 1，样本方差
s2
＝
1 (1
2＋
02＋
12＋
22
＋
5
22) ＝ 2，即所求的样本方差为 2.
3．10 名工人某天生产同一零件， 生产的零件数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12
，
设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则 a， b， c 的大小关系为 ( )
样，抽样过程 中，每个个体 被抽到的机 会 ( 概率 ) 相
等
将 总 体 均 分 成 几 部 在起始部分抽
分，按事先确定的规
样时，采用简单
则，在各部分抽取
随机抽样
将总体分成几层，分 层进行抽取
各层抽样时， 采 用简单随机抽 样或系统抽样
总体中的个数 比较多
总体由差异明 显的几部分组
成
[ 小题速通 ]
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为 { x1，x2} 和 { y1，y2} ，其样本频数列联表 ( 称
6
……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
为 2×２列联表 ) 为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
K2＝ a＋ b
总计 a＋ c b＋ d a＋ b＋c＋ d
n＝
. 8
3 答案： 8
1．众数、中位数、平均数
样本的数字特征 [ 过双基 ]
数字特征 众数
定义与求法
一组数据中重复出现次数 最多的数
优点与缺点 众数通常用于描述变量的值出现次数最多 的数．但显然它对其他数据信息的忽视使
得无法客观地反映总体特征
中位数
把一组数据按从小到大的 顺序排列， 处在中间位置的 一个数据 ( 或两个数据的平
投中的次数如下表：
5
……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
若以上两组数据的方差中较小的一个为
7
6
7
9
s2，则 s2＝ ________.
解析：由数据表可得乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，
n ad－ bc 2 a＋ c b＋ d
c＋ d ( 其中 n＝ a＋ b＋ c＋ d 为样本容量 ) ．
……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
第十八单元 统计与统计案例
教材复习课
“统计与统计案例”相关基础知识一课过
三种抽样方法
[ 过双基 ]
三种抽样方法
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽 样
是不放回抽
从总体中逐个抽取
总体中的个数 较少
系统抽样 分层抽样
C． 18
D． 24
90 解析： 选 A 根据分层抽样的特征， 从 C学校中应抽取的人数为 180＋ 270＋ 90×60＝ 10.
[ 清易错 ]
1．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当
N n不是整数时，注意剔除，
剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列． 2．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即
3 所以应该抽取男生人数为 50× 3＋ 2＝30.
频率分布直方图和茎叶图 [ 过双基 ] 1．作频率分布直方图的步骤 (1) 求极差 ( 即一组数据中最大值与最小值的差 ) ；
(2) 决定组距与组数； (3) 将数据分组； (4) 列频率分布表； (5) 画频率分布直方图．
2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1) 频率分布折线图： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点， 线图．
个学生的学号是 16.
3．为了调查老师对微课堂的了解程度， 某市拟采用分层抽样的方法从 A，B，C三所中学
中抽取 60 名教师进行调查，已知 A， B， C三所学校中分别有 180,270,90 名教师，则从 C学 校中应抽取的人数为 ( )
A． 10
B． 12
1
……………………………………………………………最新教学推荐………一个容量为 N的总体中抽取一个容量为 n 的样本， 当选取简单随机抽样、 系统抽样
和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为
p1， p2，p3 ，则
()
A． p1＝ p2<p3
B． p2＝p3<p1
C． p1＝ p3<p2
D． p1＝p2＝p3
解析：选 D 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每
1 D．都相等，且为 40
M
解析：选 C 从 N个个体中抽取 M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于
N.
2．从 300 名学生 ( 其中男生 180 人，女生 120 人 ) 中按性别用分层抽样的方法抽取
参加比赛，则应该抽取男生人数为 (
)
A． 27
B． 30
C． 33
D． 36
50 人
解析：选 B 因为男生与女生的比例为 180∶ 120＝ 3∶ 2，
1 n
x1－ x
2＋ x2－ x
2＋…＋
xn－ x
2].
(2) 方差：标准差的平方 s2
s2＝ 1[( n
x 1－
x ) 2＋ ( x2－
x
) 2＋…＋ ( xn－
x ) 2] ，其中
xi ( i ＝1,2,3
，…， n) 是样本数据，
n 是样本容量， x 是样本平均数．
[ 小题速通 ]
1．对于一组数据 xi ( i ＝ 1,2,3 ，…， n) ，如果将它们改变为 xi ＋ C( i ＝ 1,2,3 ，…， n) ，
1－ 80
，解得
x＝ 16.
2. 某学生在 8 次测试中，数学成绩的茎叶图如图，则这
8 次成绩的中位数是 (
)
A． 86 C． 87.5
B． 87 D． 88.5
解析： 选 A 由茎叶图得到 8 个数的大小顺序依次是 78,79,83,85,87,88,89,96 ，中间的
85＋87
两个数为 85,87 ，所以中位数为
样本容量 n 总体个数 N.
1．从 2 018 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简
单随机抽样法从 2 018 名学生中剔除 18 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽
取，则每名学生入选的概率 (
)
A．不全相等
B．均不相等
50 C．都相等，且为 2 018
其方差较小，其平均值为
7，方差
s
2＝
1 (1
5
＋0＋
0＋
1＋0)
＝
2 .
5
2 答案： 5
变量间的相关关系、统计案例 [ 过双基 ] 1．变量间的相关关系 (1) 常见的两变量之间的关系有两类： 一类是函数关系， 另一类是相关关系； 与函数关系 不同，相关关系是一种非确定性关系． (2) 从散点图上看， 点散布在从左下角到右上角的区域内， 两个变量的这种相关关系称为 正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 2．两个变量的线性相关 (1) 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
淆茎叶图中茎与叶的含义．
1．某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示， 其中成绩分组区间是：
[50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100] ，则图中 a 的值为 ( )
3
……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
其中 C≠0，则下列结论正确的是 (
)
A．平均数与方差均不变
B．平均数变，方差保持不变
C．平均数不变，方差变
D．平均数与方差均发生变化
解析：选 B 依题意，记原数据的平均数为 －x ，方差为 s2，
则新数据的平均数为
x1＋ C ＋
x2＋ C ＋…＋ n
xn＋ C ＝－x ＋ C，即新数据的平均数
改变；新数据的方差为
均数 )
中位数等分样本数据所占频率，它不受少 数几个极端值的影响，这在某些情况下是 优点，但它对极端值的不敏感有时也会成
为缺点
平均数
如果有 n 个数据 x1，x2，…， 平均数与每一个样本数据有关，可以反映
xn，那么这 n 个数的平均数 出更多的关于样本数据全体的信息，但平
x1 ＋x2＋…＋ xn x＝
A． a>b>c
B． b>c>a
C． c>a>b
D． c>b>a
解析： 选 D 依题意， 这些数据由小到大依次是 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17
，因此
a<15，b＝ 15， c＝ 17， c>b>a.
4．某校甲、 乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习， 每人投 10 次，
就得到频率分布折
(2) 总体密度曲线： 随着样本容量的增加， 作图时所分的组数增加， 组距减小， 相应的频
2
……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3．茎叶图的优点
茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带
n
均数受数据中的极端值的影响较大，使平 均数在估计总体时可靠性降低
4
……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
2．标准差、方差
(1) 标 准 差 ： 样 本 数 据 到 平 均 数 的 一 种 平 均 距 离 ， 一 般 用 s 表 示 ， s ＝
来方便． [ 小题速通 ]
1．在样本的频率分布直方图中， 共有 7 个小长方形， 若中间一个小长方形的面积等于其
1
他 6 个小长方形的面积的和的 4，且样本容量为 80，则中间一组的频数为 (
)
A． 0.25
B． 0.5
C． 20
D． 16
解析：选 D 设中间一组的频数为 x，
x1 x
依题意有
＝ 80 4
2 ＝ 86.
[ 清易错 ]
1．易把直方图与条形图混淆
两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机
变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．
2．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为
频率 组距 .
3．在绘制茎叶图时， 易遗漏重复出现的数据， 重复出现的数据要重复记录， 同时不要混
1 n[(
x1＋ C) － ( －x ＋ C)]
2＋ [(
x2＋ C) － ( －x ＋ C)]
2＋…＋
[(
xn＋ C) － ( －x ＋
C)] 2＝s2，即新数据的方差不变．
2．样本中共有五个个体，其值分别为 0,1,2,3 ， m. 若该样本的平均值为 1，则其方差为
()
10 A. 5
30 B. 5