11.3 二项式定理
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
二项式定理公式
二项式定理公式1. 什么是二项式定理公式二项式定理公式是数学中一项非常重要的公式，它描述了如何展开二项式表达式的幂。
二项式定理公式可以用于求解组合问题，展开式等。
在代数和组合数学中广泛应用。
二项式定理公式表达如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) *a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... +C(n, n) * a^0 * b^n其中，a和b是任意实数，n是非负整数，C()表示组合数。
2. 二项式定理公式的证明二项式定理公式可以通过数学归纳法进行证明。
当 n = 0 时：C(0, 0) * a^0 * b^0 = 1左边等式为1，右边等式也为1，所以当 n = 0 时，公式成立。
假设当 n = k 时，公式成立：(a + b)^k = C(k, 0) * a^k * b^0 + C(k, 1) *a^(k-1) * b^1 + ... + C(k, k) * a^0 * b^k当 n = k + 1 时，首先，我们可以展开(a + b)^(k+1)，然后利用二项式定理公式中的假设，展开(a + b)^k。
(a + b)^(k+1) = (a + b) * (a + b)^k展开右边式子：(a + b) * (a + b)^k = a * (a^k + C(k, 1) *a^(k-1) * b^1 + ... + C(k, k) * b^k) + b * (a^k + C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... + C(k, k) * b^k)利用分配律进行展开：a * (a^k + C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... + C(k, k) * b^k) +b * (a^k + C(k, 1) * a^(k-1) * b^1+ ... + C(k, k) * b^k) = a * a^k + a * C(k, 1) *a^(k-1) * b^1 + ... + a * C(k, k) * b^k + b * a^k + b * C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... + b * C(k, k) * b^k根据组合数的性质：a * a^k = a^(k+1)C(k, r) * a^r * b^(k-r) =C(k+1, r) * a^r * b^(k+1-r)可以得到：a * a^k + a * C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... +a * C(k, k) * b^k +b * a^k + b * C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... + b * C(k, k) * b^k = a^(k+1) +C(k+1, 1) * a^k * b^1 + ... + C(k+1, k) * a^0 * b^(k+1)因此，(a + b)^(k+1) = a^(k+1) + C(k+1, 1) * a^k * b^1 + ... + C(k+1, k) * a^0 * b^(k+1)。
二项式定理ppt课件
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
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课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
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4
4
课堂探究·素养培育
6
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二项式定理知识点
二项式定理知识点二项式定理是高中数学中重要的基础概念之一，通常在代数学中广泛应用。
它的形式是 (a + b)^n，其中 a 和 b 是任意实数，n 是一个非负整数。
在这篇文章中，我将介绍二项式定理的基本概念、应用和一些有趣的性质。
首先，让我们来回顾一下二项式定理的基本表达式：(a + b)^n。
这个表达式展开后，会产生一系列项，每一项都可以表示为 a 和 b 的不同指数的乘积。
例如，当 n = 2 时，(a + b)^2 展开为 a^2 + 2ab + b^2。
当 n = 3 时，(a + b)^3 展开为 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，以此类推。
二项式定理的一个重要应用是计算组合数。
在组合数学中，把 n 个不同元素分成k(0 ≤ k ≤ n)个不同组合，可以用 C(n, k) 表示。
根据二项式定理，可以知道：C(n, 0) = 1C(n, 1) = nC(n, 2) = n(n-1)/2C(n, 3) = n(n-1)(n-2)/6...C(n, n-1) = nC(n, n) = 1通过二项式定理，我们可以推导出组合数的计算公式，从而在概率论、统计学和离散数学中进行各种计算和推理。
除了计算组合数，二项式定理还可以用于证明其他数学中的定理。
例如，它可以用于证明数学归纳法的原理。
当 n = k+1 时，我们可以利用二项式定理展开 (a + b)^(k+1)，得到：(a + b)^(k+1) = (a + b) * (a + b)^k将 (a + b)^k 展开为 a^k + C(k, 1)a^(k-1)b + C(k, 2)a^(k-2)b^2 + ... +C(k, k-2)ab^(k-2) + C(k, k-1)ab^(k-1) + b^k。
然后将每一项与 (a + b) 相乘，我们可以得到：(a + b)^(k+1) = a^(k+1) + C(k, 1)a^kb + C(k, 2)a^(k-1)b^2 + ... + C(k,k-2)a^2b^(k-2) + C(k, k-1)ab^(k-1) + b^(k+1)。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理是数学中的一个基本定理，它描述了一个二次方的展开式中的每一项的系数。
二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数，也可以记作为“n选择k”。
二项式定理的核心思想是展开一个二次方的多项式，并找到每一项的系数。
该定理在概率论、组合数学、统计学等领域具有广泛的应用。
二项式定理的重要性二项式定理在数学中具有重要的地位，而且在很多高级数学的分支中都起到了关键的作用。
以下是二项式定理的重要性：1. 展开多项式：二项式定理可以用来展开一个多项式，从而求得每一项的系数。
这对于解决复杂的数学问题非常有帮助。
2. 概率计算：二项式定理在概率论中应用广泛。
例如，在进行多次独立试验时，计算某些事件发生的概率可以通过二项式定理来实现。
3. 组合数学：组合数学是二项式定理的一个重要分支。
二项式系数被称为“组合数”，用于计算对象之间的排列组合情况。
4. 统计学应用：二项式分布是概率论中一种重要的离散概率分布，它在统计学中有广泛的应用。
二项式定理可以用来计算二项式分布的概率。
二项式定理的发展历程二项式定理最早是由17世纪的法国数学家Pascal在他的著作《论算术三角形》（Traité du triangle arithmétique）中首次提出的。
后来，德国数学家Newton将其进一步发展，并给出了二项式的系数计算公式。
随着数学研究的深入，二项式定理逐渐被推广到更一般的形式。
例如，当指数n为实数，而非整数时，也可以使用二项式定理展开。
这被称为泰勒展开，是微积分中的一种重要工具。
应用举例1. 计算多项式的展开式：利用二项式定理，我们可以展开一个二次方、三次方或更高次方的多项式，从而求得每一项的系数。
例如，利用二项式定理展开(x + y)^3：(x + y)^3 = C(3,0)x^3 + C(3,1)x^2y + C(3,2)xy^2 + C(3,3)y^3= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^32. 计算概率：二项式定理在概率论中有广泛的应用。
二项式定理
二项式定理二项式定理binomial theorem二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。
公式为：（a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1）b^1+……+Cnna^0b^n此定理指出：1、（a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。
等号右边的多项式叫做二项展开式。
2、二项展开式的通项公式（简称通项）为Cnr(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项（如下图），即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形二项式定理（Binomial Theorem）是指（a+b)n在n为正整数时的展开式。
（a+b)n的系数表为：1 n=01 1 n=11 2 1 n=21 3 3 1 n=31 4 6 4 1 n=41 5 10 10 5 1 n=51 6 15 20 15 6 1 n=6…………………………………………………………（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）发现历程在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。
它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。
在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。
但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。
无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。
杨辉三角1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明。
1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。
应用二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
二项式定理(PPT课件)
根据二项式定理的组合证明，我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型，具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识，常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称，从第$0$行开始， 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1，三角形中 的数有很多特殊性质，可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
二项式定理ppt课件
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
二项式定理三项
二项式定理三项一、二项式定理简介二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
二项式定理的完整形式如下：(a +b )n =C n 0a n b 0+C n 1a n−1b 1+C n 2a n−2b 2+⋯+C n n a 0b n其中，C n k 表示从n 个元素中选择k 个元素的组合数，也叫做二项式系数。
二项式系数可以通过杨辉三角形来计算。
二、二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
首先，我们假设对于任意的正整数n ，定理成立。
然后，我们通过证明当n 为n+1时，定理也成立，来完成数学归纳法的证明。
首先，我们展开(a +b )n+1：(a +b )n+1=(a +b )(a +b )n然后，根据展开式的定义，我们可以得到：(a +b )(a +b )n =(a +b )(C n 0a n b 0+C n 1a n−1b 1+C n 2a n−2b 2+⋯+C n n a 0b n )接下来，我们将展开式中的每一项进行展开，并进行合并和化简：=C n 0a n+1b 0+C n 1a n b 1+C n 2a n−1b 2+⋯+C n n a 1b n +C n 0a n b 1+C n 1a n−1b 2+C n 2a n−2b 3+⋯+C n n a 0b n+1 然后，我们可以对展开式中的项进行重新排序和合并：=C n 0a n+1b 0+(C n 0a n b 1+C n 1a n b 1)+(C n 1a n−1b 2+C n 2a n−1b 2)+⋯+(C n n−1a 2b n−1+C n n a 2b n−1)+(C n n a 1b n +C n 0a n b 1)+C n 0a n b 1+C n n a 0b n+1 再次进行合并和化简：=C n+10a n+1b 0+C n+11a n b 1+C n+12a n−1b 2+⋯+C n+1n a 1b n +C n+1n+1a 0b n+1最后，我们可以得到：(a +b )n+1=C n+10a n+1b 0+C n+11a n b 1+C n+12a n−1b 2+⋯+C n+1n a 1b n +C n+1n+1a 0b n+1由此，我们证明了当n 为n+1时，二项式定理仍然成立。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结一、概念：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中取出k个元素的组合方式数。
二、证明：可以用排列组合的方法证明二项式定理。
考虑对(a+b)^n展开式中每一项的系数，将(a+b)^n表示为n个相加的项，每一项由a和b组成。
可以把这n个项分成若干组，每组的项数k从0到n，且对于固定的k有k个a和n-k个b。
根据组合数的定义，对于每组项数k，其系数为C(n,k)，因此可以得到二项式定理。
三、应用：1.计算组合数：二项式定理可以用来计算组合数。
当a=b=1时，二项式展开后的每一项系数即为对应的组合数。
例如，(1+1)^n=2^n，系数为1,n,n(n-1)/2,n(n-1)(n-2)/6,...，依次为组合数C(n,0),C(n,1),C(n,2),...2. 多项式展开：利用二项式定理，可以方便地展开多项式。
例如，(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^33.计算幂数：二项式定理可以用于计算幂，即对于任意整数m，可以使用二项式定理计算(a+b)^m的展开式，将其中的每一项进行计算，得到每一项的幂数。
4.计算二项式系数：二项式定理可以用来计算二项式系数，即对于给定的a,b和n，可以通过二项式定理展开式中的各项系数得到相应的二项式系数。
五、推广：1.负指数：二项式定理不仅适用于非负整数n，也适用于负指数n，即(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n。
这样可以扩展二项式定理的应用范围。
2. 多变量二项式定理：二项式定理不仅限于两个变量a和b，可以推广到多变量的情况。
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。
+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。
C(n,2)。
…。
C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。
②b的指数由0到n（升幂）。
XXX和b的指数和为n。
3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。
m) + C(n。
m-1)C(n,0) + C(n,1) +。
+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。
= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。
+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。
2013届高考北师大版数学总复习课件：11.3二项式定理
6．(2010· 湖北理)在(x＋ 3 y)20 的展开式中，系数为有理 数的项共有______项．
4
[答案] 6
[解析] (x＋ 3y) 的通项
r r
4
20
r 20－r 4 Tr＋1＝C20x (
3y)
r
r r ＝C2034
x20
－
r y ，若系数为有理数，则 为整数，故共有 6 项． 4
• 7．若(1＋ 2x)6展开式中第2项大于它的相邻 1 1 0 0 两项，试求x的取值范围． C62x >C62x
r＝2 得 T3＝40x2，∴x2 的系数为 40，故选 B.
• 5 ． (2011· 重庆文， 11)(1 ＋ 2x)6 的展开式中 x4的系数是________． • [答案 240 [解析] ] 此题考查求二项式展开式中的特定项，用生成法，
考虑 x4 项怎样生成．
4 (1＋2x)6 展开式中 x4 项系数为 C4 · 2 6 ＝240.
2n 4 数的和为 22n，由题知 2n＝64，即 22n＝64，故 n＝3. 2
3．(2012· 潍坊一模)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x ＋2)2＋„＋a11(x＋2)11，则 a0＋a1＋a2＋„＋a11 的值为( A．－2 C． 1 B．－1 D． 2 )
[答案] A [解析] 赋值法：令x＝－1，a0＋a1＋a2＋„＋a11＝ 2·(－1)9＝－2.
n 1 [解析] ∵二项展开式的前三项的系数分别是 1， ， n(n 2 8 －1)， n 1 ∴2· ＝1＋ n(n－1) 2 8 解得 n＝8 或 n＝1(舍去)
8－r r ∴Tr＋1＝C8x 2
1 3 r r －r 4－ r 4 4 ＝ C 82 x 2 x
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)11.3二项式定理课件 理 新人教B版
二项式定理求解.
(3)设第r+1项系数的绝对值最大，则该项不小于其相邻的项，
据此可构造含有r的不等式组，求出r的范围后，再求项数.
r 【规范解答】(1)∵ Tr 1 C20 x 20r (3 ) yr Cr20 3 x 20r gyr , 1 4 r r 4
要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由 0≤r≤20且r∈N知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项 系数为有理数. 答案：6
(3)(
＝ Cr － x 1 6
r
3 6 r 2
y
3 r 3 2
，
令 6－ 3 r 3，
2
2 得r＝2，3 r－3＝0， 故x3的系数为 C6 － 2 ＝ 1 15.
2
答案：15
2.二项式系数的性质 对称性 与首尾等距的两个二项式 系数相等，即 Cm Cn m n n
当二项式的幂指数n是偶数时，展开式中 间一项 Tn 的二项式系数最大，最大值为
2 4 C0 C1 C4 C3 C4 24 16. 4 4 4
【反思·感悟】①在求解本例第(4)题时容易忽略a0的值导致
错解.
②运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些
特殊值代入构造相应的结构.
二项式定理的综合应用 【方法点睛】 二项式定理的综合应用
(1)利用二项式定理做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，
【即时应用】(1)二项式(1-x)4n+1的展开式中，系数最大的项 为第______项.(2)若 (x 3 12 ) n 展开式中第6项的系数最大，则
x
不含x的项等于________. 【解析】(1)因为4n+1为奇数，所以展开式有4n+2项，则
二项式定理知识点归纳总结
二项式定理知识点归纳总结一、二项式定理公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中n∈ N^*。
- 这里C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，叫做二项式系数。
例如(a + b)^2=a^2 +2ab+b^2，这里n = 2，当k = 0时，C_2^0a^2-0b^0=a^2；当k = 1时，C_2^1a^2 -1b^1=2ab；当k = 2时，C_2^2a^2-2b^2=b^2。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k(k = 0,1,·s,n)。
例如在(x+2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5-22^2=10× x^3×4 = 40x^3。
二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
例如在(a + b)^6中，C_6^2=(6!)/(2!(6 - 2)!)=(6×5)/(2×1)=15，C_6^4=(6!)/(4!(6 -4)!)=(6×5)/(2×1)=15，所以C_6^2 = C_6^4。
2. 增减性与最大值。
- 当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数C_n^(n)/(2)取得最大值；当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数C_n^(n - 1)/(2)=C_n^(n+1)/(2)相等且取得最大值。
- 二项式系数先增大后减小，其增减性由frac{C_n^k}{C_n^k - 1}=(n - k+1)/(k)来判断。
当(n - k + 1)/(k)>1，即k<(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐增大；当(n -k+1)/(k)<1，即k>(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐减小。
11.3二项式定理
1.016 (1 0.01)6 C6016 C61 0.01 C62 0.012 1.06
11.3.2二项式系数的性质
教材练习11.3.2
1.(1 2x)2n (n N*)的展开式中，系数最大的项是（ ）
A.第 n 1项 2
B.第n项
C.第n+1项
11.3.1二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b ... Cnk ankbk ... Cnnbn (n N *)
——二项式定理
（1）公式右边的多项式叫做 (a b)n 的二项式展开式，共n+1项；
(2)各项的系数 Cnk (k 0,1, 2,..., n)叫做二项式系数；
第11章 排列组合 与二项式定理
11.3 二项式定理
观察
11.3.1二项式定理
在初中，我们用多项式乘法法则得到了一下的展开式：
(1)(a b)2 a2 2ab b2 (2)(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
探究
(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
D.第n项与第n+1项
2.在（a b)11的展开式中，与第3项二项式系数相等的项是
第
项.
3.在（a b)9的展开式中，系数最小的项是第
项.
4. 若 (1 2x)9 =a0 a1x a2 x2 ... a9 x9 ，求 (1)a1 a2 ... a9; (2)a0 a2 ... a8;
（3）增减性与最大值：如果二项式 (a b)n 的幂指数n是偶数，那么
它的展开式中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么 二项展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
（4） (a b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n
二项式定理公式规律
二项式定理公式规律一、二项式定理公式。
(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^k a^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈ N^*。
二、公式规律。
（一）二项展开式的项数。
1. 规律。
- 对于(a + b)^n的展开式，共有n+1项。
例如(a + b)^3=a^3 + 3a^2b+3ab^2 +b^3，这里n = 3，展开式有3 + 1=4项。
2. 理解。
- 展开式的项数与指数n有关，从k = 0到k=n，一共n+1个取值，所以有n + 1项。
（二）二项展开式的通项公式。
1. 规律。
- 二项展开式的通项公式为T_k+1=C_n^k a^n - kb^k（k = 0,1,·s,n）。
例如在(x+2)^5中，a=x，b = 2，n = 5，其通项公式T_k + 1=C_5^k x^5 - k2^k。
2. 理解。
- 通项公式表示展开式中的任意一项。
通过确定k的值，可以得到展开式中特定的项。
它是研究二项式展开式性质的重要工具。
（三）二项式系数的规律。
1. 对称性。
- 规律。
- 二项式系数C_n^k具有对称性，即C_n^k=C_n^n - k。
例如在(a + b)^5的展开式中，C_5^1 = C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 理解。
- 从组合数的定义来看，从n个元素中选k个元素的组合数与从n个元素中选n - k个元素的组合数是相等的。
在二项展开式中，这意味着距离首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
2. 增减性与最大值。
- 规律。
- 当n为偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数相等且最大。
- 二项式系数先增大后减小。
对于(a + b)^n，二项式系数C_n^k随着k从0到n变化时，当k<(n)/(2)（n为偶数）或k<(n - 1)/(2)（n为奇数）时，C_n^k单调递增；当k>(n)/(2)（n为偶数）或k>(n+1)/(2)（n为奇数）时，C_n^k单调递减。
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二项式定理
第十一章
11.3 二项式定理
考纲要求 知识梳理 双击自测 核心考点
-2-
1.二项式定理
二项式定理 二项展开式 的通项公式 二项式系数
0 1 r (a+b)n=������n ������������ + ������n ������������ − 1������ + ⋯ + ������n ������������ − ������������������ + n n ⋯ + ������n b (n∈N+) ������ n-r r Tr+1=C������ a b
解析 答案
第十一章
考点1 考点2 考点3
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(2)(2015皖南八校联考)(x2-4x+4)5的展开式中x的系数 是 . 思考:如何求三项式中某一特定项的系数?
关闭
������ 10-r 由(x2-4x+4)5=(x-2)10,得二项展开式的通项为 Tr+1= C10 x (-2)r, 9 所以 x 的系数为(-2)9C10 =-5 120.
,
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1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
������ n-r r (1)C������ a b 是(a+b)n 的展开式中的第 r 项. ( × )
(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项. ( × ) (3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数与a,b无关.( √ ) (4)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128. (× ) (5)(a+b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同. ( × )
2 2 C8 C4 =168.
关闭
168
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答案
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自测点评 n-k k 1.二项式定理中,通项公式 ������������ +1 = C������ ������ a b 是展开式的第k+1项, 不是第k项. 2.(1)二项式系数与展开式项的系数是两个不同的概念,在 n-k k ������ Tk+ 1=C������ ������ a b 中, C������ 是该项的二项式系数,该项的系数还与a,b有关. (2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关.当n为偶数 时,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系 数相等,且同时取得最大值.
6
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答案
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5.(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是
.
关闭
k ������ t 4 ∵(1+x)8 的通项为C������ x ,(1 +y ) 的通项为 C 8 4y , ������ k t 2 2 ∴(1+x)8(1+y)4 的通项为C������ 8 C4 x y ,令 k=2,t=2,得 x y 的系数为
关闭
解析
答案
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3.(2015湖北,理3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式 系数相等,则奇数项的二项式系数和为 ( ) A.212 B.211 C.210 D.29
关闭
3 7 由条件知C������ = C������ , ∴n=10. ∴(1+x)10 中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 10- 1 D 2 =29.\
关闭
二项展开式的通项公式为
3 2
������ Tr+1=C6 (√������)6-r·
-
2 ������ ������
=
������ C6 (-2)r������ 3-2������ ,令
关闭
3
2 3- r=0,得 r=2,所以常数项为C6 (-2)2=60.
D
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答案
第十一章
考点1 考点2 考点3
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思考:如何求两个因式之积的特定项系数? 解题心得:1.求二项展开式中的项或项的系数的方法:求二项展开 n-k k 式的特定项问题,实质是考查通项 Tk+ 1=C������ ������ a b 的特点,一般需要 建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围 (k=0,1,2,…,n).特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据 上述方法求解. 2.求三项展开式中某些特殊项的系数的方法:(1)通过变形把三项 式转化为二项式,再用二项式定理去解;(2)两次利用二项式定理的 通项公式求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列组合的基 本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多 少方法从这几个因式中取因式中的量. 3.求两个因式之积的特定项系数也有两种方法:(1)利用通项公式 法;(2)用排列组合法.
· (x ) ·
3 5-r
1 2√������
������
关闭
������ = C5 · 2-r·
关闭
������ (r=0,1,2,…,5). 7 -2 5 5 15- r=8,得 r=2,于是展开式中 x8 项的系数是C 2 · 令 2 = . 5
2
2
2
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答案
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双击自测
核心考点
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对点训练1 是
(用数字作答).
(1)(2015重庆,理12) ������ 3 + 1 2√������
的展开式中x8的系数
展开式的通项公式
15- ������
7 2
������ Tr+1=C5
关闭
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答案
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4.(2015广东,理9)在( √������ -1)4的展开式中,x的系数为
.
关闭
������ 该二项展开式的通项为 Tr+1=C4 (√������)4-r(-1) r,当 x 的指数为 1 时 ,4-r=2, 解得 r=2. 2 关闭 故 T3=C4 (√������)2(-1)2=6x,即 x 的系数为 6.
关闭
由于 (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为 ������ 2 2 2 Tr+ 1=C5 (x +x)5-ryr(r= 0,1,2,… ,5),因此只有当 r=2,即 T3=C5 (x +x)3y2 中才能含有 x5y2 项 .设 (x2+x)3 的展开式的通项为 ������ 2 3-i i ������ 6-i Si+1= C3 (x ) · x =C3 x (i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,则 (x2+x)3 的展开式 2 5 5 2 中 x5 项的系数是C1 关闭 3 =3,故 (x +x+y) 的展开式中 ,x y 的系数是 2 C C 3=10×3=30. 5 ·
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2.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15, 则n=( ) A.7 B.6 C.5 D.4
关闭
������ n-r (x+1)n 的展开式通项为 Tr+1=C������ x . 令 n-r=2,即 r=n-2. 2 则 x2 的系数为C������ = C������ =15, B 解得 n=6,故选 B. ������ -2
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答案
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考点1 考点2 考点3
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(3)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
)
关闭
������ r (方法一)因为 (1+x)5 的二项展开式的通项为C5 x (0≤ r≤ 5,r∈ Z),则含 2 2 2 x2 的项为C5 x +ax·C1 5 x=(10+5a)x ,所以 10+5a=5,a=-1. (方法二)因 (1+ax)(1+x)5 是 6 个因式之积 ,所以展开式中 x2 的系数为关闭 2 1 D C 5 +aC5 =10+5a,所以 10+5a=5,a=-1.
,它表示第 r+1 项
0 1 ������ 二项展开式中各项的系数C������ , C������ ,…,C������