(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)

二项式定理

1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n n

n n n ∈++⋅⋅⋅++=+---. 2.二项式定理的说明：

（1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、

b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。 （3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。 （4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ，

）（1,...,3,2,11

11+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。

（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是

012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

如：n

n r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---的 第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1

n C -.

（7）常见二项式：

令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x n

n n n n n n

n n ∈++⋅⋅⋅++=+--； 令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n n

n n ∈-+⋅⋅⋅++-=-. 3.二项式系数的性质：

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：

即k

n n k n n n n n n n C C C C C C --=⋅⋅⋅==,,,110 .

（2）二项式系数和：令1a b ==，则二项式系数的和为：

n n n n n n n C C C C 2110=++⋅⋅⋅++-，变形有：12321-=+⋅⋅⋅+++n n n n n n C C C C . （3）15

314202-=⋅+⋅⋅+++=⋅+⋅⋅+++n n n n

n n n C C C C C C ； （4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和： 已知n n n x a x a x a x a a x a 22332102...)(2

++++=+，则

奇数项的系数和：n a a a a 2420...+++=_______________________________； 偶数项的系数和：12531...-+++n a a a a =_______________________________； （5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n 是偶数时，则中间项为

第）（12+n

项的二项式系数2n

n C 取得最大值；如果二项式的指数n 是奇数时，则中间项有两项，分别为第21+n 项和第2

3

+n 项，对应的二项式系数1

2n n C -，

1

2n n

C

+同时取得最大值。

2

2

21

2n n n n

n b a C T =+，1-2

121-22

1n n n n

n b

a

C T ++=，12

1-2122

3+++=n n n

n

n b a C T .

（6）系数的最大、最小项的求法：求()n a bx +展开式中最大、最小项，一般采用待定系数

法。设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应

有：

r r A A ≥+1且21++≥r r A A ；如果设第1r +项系数最小，应有211+++≤≤r r r r A A A A 且，

从而解出r 的范围。

4.怎么求展开式中含的系数，其中且？

解：把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含

n c b a )(++r q p c b a ,,,N r q p ∈n r q p =++n n c b a c b a ])[()(++=++r C r r n r

n

C b a C -+)(r n b a -+)(q b q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=n c b a )(++

的项为：

，其系数为. r q p c b a r q p q r n r n c b a C C -r

r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=

!

!!!)!(!)!()!(!!

5.近似计算的处理方法：

当a 的绝对值很小（趋近于0）且n 不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分n n n n n n n n a C a C a C a C ++⋅⋅⋅++--113322很小，可以忽略不计。类似地，有.但使用这两个公式时应注意a 的条件，以及对计算精确度的要求。若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：

. 二项式定理常考题型

题型一：二项式定理的逆用 题型二：求二项展开式的特定项 （1）求单个二项式指定幂的系数

（2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数 （3）利用通项公式求常数项 （4）求有理项 （5）求中间项

题型三：求二项式系数或展开式系数最大或最小项 （1）一般的系数最大或最小问题 （2）特殊的系数最大或最小问题 （3）系数绝对值最大的项 （4）二项式系数最大的项 题型四：赋值法求值 题型五：整除性

na a n +≈+1)1(na a n -≈-1)1(2

2

)1(1)1(x n n nx x n -+

+≈+