江苏高考数学专题复习及答案

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苏教版数学高考试题与参考答案(2024年)

2024年苏教版数学高考复习试题(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、设函数(f(x)=x3−3x2+2)，则该函数的极值点是：A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)2、下列四个选项中，(a2−b2)的因式分解结果为：A.((a+b)(a−b))B.((a+b)2)C.((a−b)2)D.(a2+b2)3、在等差数列{an}中，若首项a1=3，公差d=-2，那么数列{an}的第10项an=（）A. -13B. -15C. -17D. -194、已知函数(f(x)=x2−4x+3)，若(f(x))的图像关于直线(x=a)对称，则(a)的值为：A. 2C. 3D. 05、在下列各数中，哪个数的平方根是整数？A、(√49)B、(√81)C、(√100)D、(√121)6、在等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=2，前n项和Sn=24n-9n²，则数列的项数n是：A. 1B. 3C. 4D. 57、已知函数(f(x)=√2x+1−√x−1)的定义域为([1,+∞))，则函数的值域为：A.([0,+∞))B.([−1,+∞))C.([0,2))D.([0,1])8、在函数y=√4x2+4中，若自变量x的取值范围为[−2,2]，则函数的值域为（）A.[4,8]B.[2,4]D.[0,2]二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、以下函数中，哪些函数的图像是奇函数？A、f(x) = x^3B、f(x) = x^2C、f(x) = |x|D、f(x) = x + 12、在下列各题中，正确表示集合M中元素的有：A. M = {x | x^2 - 4x + 4 = 0}B. M = {x | x ∈ N，x > 3}C. M = {x | x ∈ Q，x^2 < 2}D. M = {x | x ∈ R，x^2 + 1 = 0}3、下列各数中，属于有理数的是（）A、根号2（√2）B、πC、0.1010010001…D、1/3E、-0.5三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、在等差数列{an}中，若a1=3，d=2，那么第10项an的值是______ 。

〖苏科版〗高三数学复习试卷高考数学试卷参考答案与试题解析1

〖苏科版〗高三数学复习试卷高考数学试卷参考答案与试题解析创作人：百里航拍创作日期：2021.04.01审核人：北堂中国创作单位：北京市智语学校一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则 A∪B= {1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.]．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A﹣BB1D1D 的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f（x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f （﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．11．（5分）（•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.sin2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx ﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cbcosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f （x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得 f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF 1与直线BF 2平行.∴设AF 1与BF 2的方程分别为x+1=my.x ﹣1=my ．设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.y 1＞0.y 2＞0.∴由.可得（m 2+2）﹣2my 1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF 1|=×|0﹣y 1|=①同理|BF 2|=②（i ）由①②得|AF 1|﹣|BF 2|=.∴.解得m 2=2．∵注意到m ＞0.∴m=． ∴直线AF 1的斜率为．（ii ）证明：∵直线AF 1与直线BF 2平行.∴.即．由点B 在椭圆上知..∴．同理．∴PF 1+PF 2==由①②得...∴PF 1+PF 2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=.n∈N*. （1）设b n+1=1+.n∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n∈N*.且{a n}是等比数列.求a1和b1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a1.b1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n＞0.b n＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b 1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强23．（10分）（•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义22．（10分）（•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．创作人：百里航拍创作日期：2021.04.01审核人：北堂中国创作单位：北京市智语学校。

【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题二第4讲导数的热点问题(含答案解析)

第 4 讲导数的热门问题(2016 ·标全国乙课 )已知函数f(x)＝ (x － 2)e x ＋ a(x －1) 2 有两个零点．(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x 1， x 2 是 f(x)的两个零点，证明： x 1＋ x 2<2.(1) 解 f ′(x)＝ (x － 1)e x ＋ 2a(x － 1)＝ (x －1)(e x ＋ 2a)．①设 a ＝ 0，则 f(x)＝ (x － 2)e x ， f(x)只有一个零点．②设 a>0，则当 x ∈(－ ∞， 1) 时， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (－∞，1) 上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加．又 f(1) ＝－ e ， f(2)＝ a ，取 b 知足 b<0 且 b<ln a，2a223则 f(b)>2(b － 2)＋ a( b － 1) ＝a b － 2b >0，故 f(x)存在两个零点． ③设 a<0，由 f ′(x)＝ 0 得 x ＝1 或 x ＝ ln(－ 2a)．若 a ≥－e2，则 ln(－ 2a) ≤1，故当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．若 a<－ e2，则 ln( － 2a)>1，故当 x ∈ (1，ln(－ 2a))时，f ′(x)<0 ；当 x ∈ (ln(－ 2a)，＋ ∞)时，f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (1，ln( － 2a)) 上单一递减，在 (ln( － 2a)，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0，＋ ∞)．(2) 证明不如设 x 1<x 2，由 (1) 知， x 1∈ (－ ∞， 1)， x 2∈(1 ，＋ ∞)，2－ x 2∈ (－ ∞，1)，f(x)在 (－∞， 1)上单一递减，所以 x 1＋ x 2<2 等价于 f(x 1)>f(2－ x 2)，即 f(2 －x 2)<0.2x2因为 f(2－ x 2) ＝x 2 e 2 ＋ a(x 2－ 1) ，而 f(x 2)＝ (x 2－ 2) e x 2 ＋ a(x 2－ 1)2＝ 0，所以 f(2－ x 2) ＝ x 2e 2 x 2( x 2 2)e x 2 .设 g(x) ＝－ xe 2－ x － (x － 2)e x ，则 g ′(x)＝ (x － 1)(e 2－x － e x )，所以当 x>1 时， g ′(x)<0 ，而 g(1)＝ 0，故当 x>1 时， g(x)<0，进而 g(x 2)＝ f(2－ x 2)<0，故 x 1＋ x 2<2.利用导数探究函数的极值、最值是函数的基本问题，高考取常与函数零点、方程根及不等式相联合，难度较大．热门一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，能够间接考察用导数判断函数的单一性或求函数的最值，以及结构函数解题的能力．例 1 已知函数 f(x)＝ e x － x 2＋ a ， x ∈R ，曲线 y ＝ f(x) 的图象在点 (0，f(0)) 处的切线方程为 y＝ bx.(1) 求函数 y ＝ f(x) 的分析式；(2) 2＋ x ；当 x ∈R 时，求证： f(x) ≥－ x(3) 若 f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立，务实数 k 的取值范围．(1) 解依据题意，得 f ′(x)＝ e x －2x ，则 f ′(0)＝1＝ b.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入 y ＝ f(x)，得 a ＝－ 1，故 f(x)＝ e x － x 2－ 1.(2) 证明令 g(x)＝ f(x)＋ x 2－x ＝ e x － x － 1.由 g ′(x)＝ e x － 1＝ 0，得 x ＝ 0，当 x ∈ (－ ∞， 0)时， g ′(x)<0， g(x)单一递减；当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g ′(x)>0， g(x)单一递加． ∴ g(x)min ＝ g(0) ＝ 0，∴ f(x) ≥－ x 2 ＋x.f(x)(3) 解f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立等价于 x >k 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立．令 φ(x)＝ f(x)， x>0，得 φ′(x)＝ xf ′(x)－ f(x) x 2xx(e x － 2x) － (e x － x 2－1) (x － 1)(e x － x － 1) .＝x 2 ＝ x 2x由 (2) 可知，当 x ∈(0，＋ ∞)时， e － x － 1>0 恒成立，∴ y ＝ φ(x)的单一增区间为 (1，＋ ∞)，单一减区间为 (0,1)，φ(x)min ＝φ(1) ＝ e －2，∴ k<φ(x)min ＝ e － 2，∴实数 k 的取值范围为 (－ ∞， e － 2)．思想升华用导数证明不等式的方法(1) 利用单一性：若 f( x)在 [a ，b] 上是增函数，则① ? x ∈ [a ， b] ，则 f(a) ≤f(x) ≤f(b)，②对 ? x 1， x 2∈[ a ，b]，且 x 1<x 2，则 f(x 1)< f(x 2) ．对于减函数有近似结论．(2) 利用最值：若 f(x)在某个范围 D 内有最大值 M(或最小值 m)，则对 ? x ∈ D ，则 f(x) ≤M(或f(x) ≥m) ．(3) 证明 f(x)<g(x)，可结构函数 F(x)＝ f(x)－g(x)，证明 F(x)<0. 追踪操练 1 已知函数 f(x)＝ aln x ＋1(a>0) ．(1) 当 x>0 时，求证： f( x)－ 1≥a 1－ 1；x (2) 在区间 (1， e)上 f(x)> x 恒成立，务实数 a 的取值范围．(1) 证明设 φ(x)＝ f(x)－1－ a 1－1x1＝ aln x － a 1－ x (x>0) ，a ax x 2.令 φ′(x)＝ 0，则 x ＝ 1，当 0<x<1 时， φ′(x)<0 ，所以 φ(x)在 (0,1)上单一递减；当 x>1 时， φ′(x)>0，则φ′(x)＝－所以 φ(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加，故 φ(x)在 x ＝ 1 处取到极小值也是最小值，故 φ(x) ≥φ(1)＝ 0，即 f(x)－ 1≥a 1－1x .x － 1(2) 解由 f(x)>x 得 aln x ＋ 1>x ，即 a> ln x .x － 1 x － 1ln x － x 令 g(x) ＝ ln x (1< x<e)，则 g ′(x)＝ (ln x)2 .令 h(x) ＝ln x － x － 1 (1<x<e)，则 h ′(x)＝ 1 － 1>0，x x 2x 故 h(x) 在区间 (1， e)上单一递加，所以 h(x)>h(1)＝ 0.因为 h(x)>0 ，所以 g ′(x)>0 ，即 g(x)在区间 (1， e)上单一递加，x －1则 g(x)<g(e)＝ e － 1，即 ln x <e － 1，所以 a 的取值范围为 [e － 1，＋ ∞)．热门二利用导数议论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的观点，解决这种问题能够经过函数的单一性、极值与最值，画出函数图象的走势，经过数形联合思想直观求解．例 2 已知函数 f(x)＝ (ax 2＋x － 1)e x ，此中 e 是自然对数的底数， a ∈R.(1) 若 a ＝ 1，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 若 a＝－ 1，函数 y＝ f(x)的图象与函数g(x)＝1x 3＋1x2＋ m 的图象有3 个不一样的交点，务实32数 m 的取值范围．解 (1)当 a＝ 1 时， f(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x，所以 f′(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x＋ (2x＋1)e x＝ (x2＋ 3x)e x，所以曲线y＝ f( x)在点 (1，f(1)) 处的切线斜率为k＝ f′ (1)＝ 4e.又因为 f(1) ＝ e，所以所求切线的方程为y－ e＝4e(x－ 1)，即 4ex－ y－3e＝ 0.(2)当 a＝－ 1 时， f(x)＝ (－ x2＋ x－ 1)e x，f ′(x)＝( －x2－ x)e x，所以 y＝ f(x)在 ( －∞，－ 1)上单一递减，在 (－1,0)上单一递加，在 (0，＋∞)上单一递减，故 f(x)在x＝－ 1 处获得极小值－3，在ex＝0 处获得极大值－ 1.而 g′(x)＝ x2＋ x，所以 y＝g(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，在 (－ 1,0)上单一递减，在 (0，＋∞)上单一递加．故 g(x) 在 x＝－ 1 处获得极大值1＋ m，在 x＝ 0 处获得极小值 m. 6因为函数y＝ f( x)与 y＝g(x)的图象有 3 个不一样的交点，所以 f( －1)<g(－ 1)且 f(0)> g(0) ，所以－3－1<m<－ 1，即 m 的取值范围为 (－3－1，－ 1)．e 6e6思想升华(1) 函数 y＝ f(x)－k 的零点问题，可转变为函数y＝ f( x)和直线 y＝ k 的交点问题．(2) 研究函数y＝ f(x)的值域，不单要看最值，并且要察看随x 值的变化 y 值的变化趋向．追踪操练 2已知函数 f(x)＝ 2ln x－x2＋ ax(a∈ R)．(1)当 a＝ 2 时，求 f(x)的图象在 x＝ 1 处的切线方程；1， e上有两个零点，务实数m 的取值范围．(2) 若函数 g(x)＝ f(x)－ ax＋m 在e解 (1)当 a＝ 2 时， f(x)＝ 2ln x－x2＋ 2x，2f ′(x)＝x－ 2x＋ 2，切点坐标为 (1,1)，切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，则切线方程为y－ 1＝2(x－ 1)，即 2x－y－ 1＝ 0.(2) g(x)＝ 2ln x－ x2＋ m，2－ 2(x＋ 1)(x－ 1)则 g′(x)＝x－2x＝x.1因为 x ∈， e ，所以当 g ′(x)＝ 0 时， x ＝ 1.1当 e <x<1 时， g ′(x)>0；当 1<x<e 时， g ′(x)<0. 故 g(x) 在 x ＝ 1 处获得极大值 g(1) ＝ m － 1.又 g1e ＝ m － 2－e12 ，g(e) ＝m ＋2－ e2，g(e)－ g1 21e ＝ 4－ e ＋ 2<0，e则 g(e)<g 1e ，1所以 g(x)在 e ，e 上的最小值是g(e)．1g(x)在， e 上有两个零点的条件是g(1) ＝ m －1>0 ，1＝ m － 2－ 1g e e 2 ≤0，1解得 1<m ≤2＋ e 2，1所以实数 m 的取值范围是1， 2＋e 2 .热门三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实质问题受某些主要变量的限制，解决生活中的优化问题就是把限制问题的主要变量找出来，成立目标问题即对于这个变量的函数，而后经过研究这个函数的性质，进而找到变量在什么状况下能够达到目标最优．例 3某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 )．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假定建筑成本仅与表面积相关，侧面的建筑成本为100 元 / 平方米，底面的建筑成本为 160 元 /平方米，该蓄水池的总建筑成本为12 000 π元 ( π为圆周率 )．(1) 将 V 表示成 r 的函数 V(r )，并求该函数的定义域；(2) 议论函数 V( r)的单一性，并确立 r 和 h 为什么值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝ 200πrh(元 )，底面的总成本为 160πr 2 元．所以蓄水池的总成本为(200 πrh ＋ 160πr 2 )元．又依据题意得 200πrh ＋ 160πr 2＝ 12 000 π，12所以 h ＝ 5r (300－ 4r )，π进而 V(r)＝ πr 2h ＝(300r － 4r 3)．5因为 r>0 ，又由 h>0 可得 r<53，故函数 V(r )的定义域为 (0,5 3)．π(2) 因为 V(r )＝ 5(300r － 4r 3)，π 2)，故 V ′(r)＝ (300－ 12r 5令 V ′(r)＝ 0，解得 r 1＝ 5， r 2 ＝－ 5( 因为 r 2＝－ 5 不在定义域内，舍去 )．当 r ∈ (0,5)时， V ′(r)>0，故 V( r)在 (0,5)上为增函数；当 r ∈ (5,5 3)时， V ′(r)<0 ，故 V(r )在 (5,5 3)上为减函数．由此可知， V(r )在 r ＝ 5 处获得最大值，此时h ＝ 8.即当 r ＝ 5，h ＝ 8 时，该蓄水池的体积最大．思想升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 建模：剖析实质问题中各量之间的关系，列出实质问题的数学模型，写出实质问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f(x)．(2) 求导：求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝ 0.(3) 求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝ 0 的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小 )值．(4) 作答：回归实质问题作答．追踪操练3经市场检查，某商品每吨的价钱为x(1< x<14) 百元时，该商品的月供应量为y 1万吨，y 1＝ ax ＋7a 2－ a(a>0) ；月需求量为2y 2万吨， y 2＝－1 x 2－2241112x ＋ 1.当该商品的需求量大于供应量时，销售量等于供应量；当该商品的需求量不大于供应量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价钱的乘积．(1) 若 a ＝17，问商品的价钱为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供应量相等时的价钱为平衡价钱，若该商品的平衡价钱不低于每吨 6 百元，务实数 a 的取值范围．1解(1) 若 a ＝7，由 y 2>y 1，得－ 2241x 2－ 1121x ＋1>17x ＋ 72(17)2－ 17.解得－ 40<x<6.因为 1<x<14，所以 1<x<6.设该商品的月销售额为g(x)，y 1·x ， 1<x<6，则 g(x) ＝y 2·x ， 6≤x<14.1 133 当 1<x<6 时， g(x)＝(x － )x<g(6)＝ . 727当 6≤x<14 时， g(x)＝ (－ 1 x 2－ 1 x ＋1)x ，224 112则 g ′(x)＝－ 1(3x 2＋ 4x － 224)2241＝－ 224( x － 8)(3x ＋28)，由 g ′(x)>0 ，得 x<8，所以 g(x)在 [6,8) 上是增函数，在 (8,14)上是减函数，当 x ＝ 8 时， g(x)有最大值 g(8) ＝367.(2) 设 f(x)＝ y 1－ y 2＝1 217 2－1－ a ，224x ＋ (＋ a)x ＋ a1122因为 a>0，所以 f(x)在区间 (1,14) 上是增函数，若该商品的平衡价钱不低于 6 百元，即函数 f(x)在区间 [6,14) 上有零点，f(6) ≤0，所以f(14)>0 ，7a 2＋10a －11≤0，17解得即0<a ≤ .7a 2＋13a>0，721 2已知函数 f(x)＝ 2x － (2a ＋ 2)x ＋ (2a ＋1)ln x.(1) 当 a ＝ 0 时，求曲线 y ＝f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 求 f(x)的单一区间；(3) 对随意的 a ∈ 3， 5，x 1， x 2∈[1,2] ，恒有 |f(x 1)－ f(x 2)| ≤λ|1 － 1 |，求正实数 λ的取值范围．2 2x 1 x 2押题依照相关导数的综合应用试题多考察导数的几何意义、导数与函数的单一性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考察分类整合思想、转变与化归思想等数学思想方法．此题的命制正是依据这个要求进行的，全面考察了考生综合求解问题的能力．解 (1)当 a ＝ 0 时， f(x)＝12x 2－ 2x ＋ ln x ，f ′(x)＝x － 2＋ 1，且 f(1)＝－ 3， f ′(1)＝ 0，x 2故曲线 y ＝ f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程为3y ＝－ .2(2) f ′(x)＝ x － (2a ＋2)＋ 2a ＋ 1＝[x －(2a ＋1)]( x －1)，x>0.xx①当 2a ＋1≤0，即 a ≤－1时，函数 f(x)在 (0,1)上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加；21f(x)在 (2a ＋1,1)上单一递减，在 (0,2a ＋ 1)， (1，＋ ∞)②当 0<2a ＋ 1<1，即－ <a<0 时，函数2上单一递加；③当 2a ＋1＝ 1，即 a ＝ 0 时，函数 f(x)在 (0，＋ ∞) 上单一递加；④当 2a ＋ 1>1，即 a>0 时，函数 f(x)在 (1,2a ＋ 1)上单一递减，在 (0,1)， (2a ＋ 1，＋ ∞)上单一递加．3， 5(3) 依据 (2) 知，当 a ∈ 2 2 时，函数 f( x)在 [1,2] 上单一递减．若 x 1＝ x 2，则不等式 |f(x 1 2)| ≤λ|1－ 1)－ f(x x 1 x 2|对随意正实数 λ恒成立，此时 λ∈ (0，＋∞)．若 x 1≠x 2，不如设 1≤x 1<x 2≤2，则 f(x 1)>f(x 2)， 1> 1 ，x 1 x 2原不等式即 f(x 1)－ f(x 2) ≤λ 1－1，x 1 x 2即 f(x λλ a ∈3 5， x ， x ∈ [1,2] 恒成立，1)－对随意的， 2xxλ3 5设 g(x) ＝f(x)－ x ，则对随意的 a ∈ [ 2，2]， x 1， x 2∈ [1,2] ，不等式 g(x 1) ≤g(x 2)恒成立，即函数 g(x)在 [1,2] 上为增函数，故 g ′(x)≥0对随意的a ∈32，52 ， x ∈ [1,2] 恒成立．2a ＋ 1 λg ′(x)＝ x － (2a ＋ 2)＋ x ＋x 2≥0，即 x 3－ (2a ＋ 2)x 2＋ (2a ＋ 1)x ＋ λ≥0，即 (2x － 2x 2)a ＋ x 3－ 2x 2＋ x ＋ λ≥0对随意的 a ∈ 3， 5恒成立．2 2 因为 x ∈ [1,2] ， 2x －2x 2≤0，253 － 2x 2故只需 (2x － 2x) ×＋ x ＋x ＋ λ≥0，2即 x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ≥0对随意的 x ∈ [1,2] 恒成立．令 h(x) ＝x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ，x ∈ [1,2] ，则 h ′(x)＝ 3x 2－ 14x ＋ 6<0 恒成立，故函数 h(x)在区间 [1,2] 上是减函数，所以 h(x)min＝ h(2)＝λ－ 8，只需λ－ 8≥0即可，即λ≥8，故实数λ的取值范围是[8，＋∞)．A 组专题通关1．函数 f(x)的定义域为R，f(－ 1)＝ 3，对随意 x∈R，f′(x)<3 ，则 f(x)>3x＋ 6 的解集为 __________ ．答案(－∞，－ 1)分析设 g(x)＝ f(x)－ (3x＋ 6)，则g′(x)＝ f′(x)－ 3<0 ，所以g(x)为减函数，又g(－ 1)＝ f(－ 1)－ 3＝ 0，所以依据单一性可知g(x)>0 的解集是{ x|x<－ 1} ．2．设 a>0，b>0 ，e 是自然对数的底数，若e a＋2a＝e b＋3b，则a与b的大小关系为________．答案a>b分析由 e a＋2a＝ e b＋ 3b，有 e a＋ 3a>e b＋ 3b，令函数 f(x)＝ e x＋ 3x，则 f(x)在 (0，＋∞)上单一递加，因为 f( a)> f(b)，所以 a>b.3．若不等式 2xln x≥－ x2＋ax－ 3 恒成立，则实数 a 的取值范围为 __________．答案 (－∞， 4]分析条件可转变为 a≤2lnx＋ x＋3(x>0)恒成立．x设 f(x)＝ 2ln x＋ x＋3 x，则 f′(x)＝(x＋ 3)(x－ 1)(x>0)．x2当 x∈ (0,1) 时， f′(x)<0 ，函数 f(x)单一递减；当 x∈ (1，＋∞)时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 单一递加，所以 f( x)min＝ f(1)＝ 4.所以 a≤4.4．假如函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ cln x(a，b，c 为常数， a>0)在区间 (0,1) 和 (2，＋∞)上均单一递加，在 (1,2) 上单一递减，则函数 f(x)的零点个数为 ________．答案 1分析由题意可得 f′(x)＝2ax＋ b＋c ，xf′(1)＝ 2a＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 6a，所以 f(x)＝ a(x2－ 6x＋ 4ln x)，则极大值 f(1)＝－则c＝ 0，解得c＝4a，f′(2)＝ 4a＋ b＋25a<0 ，极小值 f(2) ＝a(4ln2－ 8)<0 ，又 f(10)＝ a(40＋4ln 10)>0 ，联合函数图象 (图略 )可得该函数只有一个零点．5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ________ dm.答案3227分析设圆柱的底面半径为 R dm，母线长为l dm，则 V＝πR l ＝27π，所以 l ＝R2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表2227表54π表表＝πR＋ 2πRl＝πR ＋ 2π·，所以S′＝ 2πR－2 .令 S′＝ 0，得 R＝ 3，则当 R＝ 3 时， SR R最小．6．对于 x 的方程 x 3－ 3x2－ a＝0 有三个不一样的实数解，则实数 a 的取值范围是 __________ ．答案(－ 4,0)分析由题意知使函数f( x)＝ x3－ 3x2－ a 的极大值大于0 且极小值小于 0 即可，又 f′(x)＝ 3x2－6x＝ 3x(x－ 2)，令 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 0，x2＝2，当 x<0 时， f′(x)>0；当 0<x<2 时， f′(x)<0 ；当x>2 时， f′(x)>0 ，所以当x＝ 0 时， f(x)获得极大值，即f(x)极大值＝ f(0) ＝－a；当 x＝ 2 时， f(x)获得极小值，即f(x)极小值＝ f(2) ＝－ 4－ a，－a>0，所以解得－ 4<a<0.－4－ a<0，7．假如对定义在 R 上的函数 f(x)，对随意两个不相等的实数x1，x2，都有 x1f(x1)＋x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，则称函数 f(x)为“H 函数”．给出以下函数：① y＝－ x3＋ x＋1；② y＝ 3x－ 2(sin x－ cos x) ；③ y＝ e x＋1；④ f( x)＝ln|x|， x≠0，以上函数是0， x＝ 0.“H 函数”的全部序号为 ________．答案②③分析因为 x1f(x1)＋ x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，即 (x1－x2)[f(x1)－ f(x2)]>0 恒成立，所以函数 f(x)在 R 上是增函数．由 y′＝－ 3x2＋ 1>0 得－33，即函数在区间－3， 33 <x< 333π上是增函数，故①不是“H 函数”；由 y′＝ 3－2(cos x＋ sin x)＝3－ 2 2sin x＋4≥3－22>0 恒x“H 函数”；因为④为偶函数，所以成立，所以②为“H 函数”；由 y′＝ e >0 恒成立，所以③为不行能在 R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③ .1324，直线 l： 9x＋ 2y＋ c＝0，若当 x∈ [ － 2,2] 时，函数 y＝f(x) 8．已知函数 f(x)＝ x － x － 3x＋33的图象恒在直线l 下方，则 c 的取值范围是 ________．答案(－∞，－ 6)分析依据题意知13249c在 x∈ [－ 2,2]上恒成立，则－3x－x－3x＋<－ x－3221323423，设 g(x) ＝ x － x ＋x＋，则 g′(x)＝ x － 2x＋3232则 g′(x)>0 恒成立，所以 g(x)在 [ － 2,2] 上单一递加，所以 g(x)max＝ g(2)＝ 3，则 c<－ 6.9.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某景色区的一段界限为曲线C，为方便旅客参观，制定在曲线C 上某点P 处罚别修筑与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM ， PN，且 PM， PN 的造价分别为 5 万元 /百米， 40 万元 /百米，成立以下图的平面直c 1 32342>3x － x ＋2x＋3，42角坐标系xOy，则曲线 C 切合函数y＝ x＋x2 (1 ≤x≤ 9)模型，设 PM ＝x，修筑两条道路PM ，PN 的总造价为f(x)万元，题中所波及长度单位均为百米．(1)求 f(x)的分析式；(2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价．解 (1)在以下图的平面直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为y＝ x＋422(1 ≤x≤ 9)，PM＝ x，x所以点 P 的坐标为(x， x＋422)，直线 OB 的方程为 x－y＝ 0. x则点 P 到直线 x－y＝ 0 的距离为x－ (x＋4242x 2 )24＝x＝22x2.又 PM 的造价为 5 万元 /百米， PN 的造价为 40万元 /百米，则两条道路总造价为f(x)＝ 5x＋432≤x≤ 9)．40·＝ 5(x＋2)(12x x(2) 因为 f(x)＝ 5(x＋32 2 )，x645(x3－ 64)所以 f′(x)＝ 5(1－x3 )＝x3.令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 4，列表以下：x(1,4)4(4,9)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当 x＝4 时，函数 f(x)有最小值，最小值为32f(4) ＝5×(4＋2 )＝ 30.4B 组能力提升10．定义在0， π上的函数 f(x) ，f ′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f ′(x)tan x 成立，给出以下2四个关系式，此中正确的选项是________．πππ① 3f 4>2f 3 ； ② f(1)<2f 6 sin 1；π ππ π ③ 2f 6 >f 4 ； ④ 3f 6 <f 3 .答案 ④分析∵ f(x)<f ′(x)tan x ，即 f ′(x)sin x －f(x)cos x>0，∴f(x)′＝f ′(x)sin x － f(x)cos xsin x 2>0，sin xf(x) π∴函数 sin x 在 0，2 上单一递加，π πf 6 f 3 π<fπ .进而 < ，即 3f 6 3π πsin6 sin 311．设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f ′(x)，对随意 x ∈ R ，都有 f(x)＋ f(－ x)＝x 2，且 x ∈(0 ，＋∞)时， f ′(x)>x ，若 f(2－ a)－ f(a) ≥2－ 2a ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 (－ ∞， 1]分析1 21 22令 g(x)＝ f(x)－ x ，则 g(－ x)＝ f(－ x)－2x ，则 g(x)＋ g(－ x)＝ f(x) ＋f(－ x)－ x ＝ 0，得2g(x)为 R 上的奇函数．当 x>0 时， g ′(x)＝ f ′(x)－ x>0，故 g(x)在 (0，＋ ∞)上单一递加，再联合2g(0) ＝0 及 g(x)为奇函数，知 g(x)在 R 上为增函数．又 g(2－ a)－ g(a)＝ f(2－ a)－(2－a)－ [f(a)22－ a2 ] ＝f(2－ a)－f(a)－ 2＋ 2a ≥ (2－ 2a)－ 2＋2a ＝ 0，则 g(2－ a) ≥g(a)? 2－a ≥a? a ≤1，即 a ∈ (－∞， 1]．12．直线 y ＝ a 分别与直线 y ＝ 2(x ＋ 1)，曲线 y ＝ x ＋ ln x 交于点 A ，B ，则 AB 的最小值为 ______．3 答案2分析解方程 2(x ＋ 1)＝ a ，得 x ＝a2－ 1.设方程 x ＋ ln x ＝a 的根为 t(t>0) ，则 t ＋ ln t ＝ a ，则 AB ＝ t － a ＋ 1 ＝ t － t ＋ ln t ＋ 1 ＝ t － ln t ＋ 1 .2 2 2 2设 g(t)＝ t －ln t＋ 1(t>0) ，2 211 t － 1则 g ′(t)＝ 2－ 2t ＝ 2t (t>0) ，令 g ′(t)＝ 0，得 t ＝ 1.当 t ∈ (0,1)时， g ′(t)<0 ；当 t ∈(1 ，＋ ∞)时， g ′(t)>0 ，所以 g(t) min ＝ g(1) ＝ 3 2，3的最小值为 3所以 AB ≥ ，所以 AB2.21 3 1 2＋ k( k ∈R) ．13．已知函数 f(x)＝x ＋ kx32(1) 若曲线 y ＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处的切线的斜率为 12，求函数 f(x)的极值；(2) 设 k<0， g(x)＝ f ′(x)，求 F(x)＝ g(x 2)在区间 (0，2]上的最小值．1 312 2解 (1)函数 f(x)＝x ＋ kx＋ k 的导数为 f ′(x)＝ x ＋ kx.32由题意可得 f ′(2)＝ 4＋ 2k ＝12，解得 k ＝ 4，即 f(x)＝ 1x 3＋ 2x 2＋ 4， f ′(x)＝ x 2＋4x. 3当 x>0 或 x<－ 4 时， f ′(x)>0 ，f(x)单一递加；当－ 4<x<0 时， f ′(x)<0， f(x)单一递减．可得 f( x)的极小值为 f(0)＝ 4，44f(x)的极大值为f( －4)＝ 3 .2(2) 由题意得 g(x)＝ x ＋kx.2设 t ＝ x 2∈(0,2] ，可得 F(x)＝h(t)＝ t 2 ＋kt ＝ (t ＋ k )2－ k， k<0，－ k>0.242①当－ 4<k<0 时，－ k ∈ (0,2)， h(t)min ＝ h(－ k)＝－ k 2 ；2 2 4k②当 k ≤－ 4 时，－ ∈ [2，＋ ∞)， h(t)在 (0,2) 上单一递减， h(t)min ＝ h(2) ＝ 4＋ 2k.2－ k，－ 4<k<0，综上可得， h(t)min ＝44＋ 2k ， k ≤－ 4.。

高考数学数列多选题复习训练题(含答案解析)

高考数学数列多选题复习训练题（含答案解析）1．（2022·江苏江苏·一模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则（） A ．6422S S S =−B ．()6423S S S =−C ．2n S ，42n n S S −，64n n S S −成等差数列D ．22S ，44S ，66S 成等差数列【答案】BCD 【解析】【分析】利用等差数列求和公式分别判断. 【详解】由已知得()112n n n dS a n −=+， A 选项，61615S a d =+，4146S a d =+，212S a d =+，所以42162611S S a d S −=+≠，A 选项错误；B 选项，()42163615S S a d S −=+=，B 选项正确；C 选项，()()221122122n S a n n n d a n n n d =+−=+−，()414241n S a n n n d =+−，()616361n S a n n n d =+−，()242126n n S S a n n n d −=+−，()2641210n n S S a n n n d −=+−，则()()()22264114241222262n n n n S S S a n n n d a n n n d S S ⎡⎤+−=+−=+−=−⎣⎦，C 选项正确；D 选项，2112222S a d d a +==+，411463442S a d a d +==+，6116155662S a d a d +==+，则6241232264S S Sa d +=+=⨯，D 选项正确；故选：BCD.2．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列{}n a 是等比数列，则（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B ．数列{}n ka 是等比数列C ．数列{}1n n a a ++是等比数列D ．数列{}2n a 是等比数列【答案】AD 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，利用等比数列的定义结合特例法可判断各选项的正误. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，11111n n n na a a q a ++==，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列，A 对； 0k =时，0n ka =，则{}n ka 不是等比数列，B 错；()11n n n n n a a a a q a q ++=+=+，1q =−时，10n n a a ++=，此时{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；2212n na q a +=，所以，{}2n a 是公比为2q 的等比数列，D 对. 故选：AD ．3．（2022·福建宁德·模拟预测）数列{n a }中，设12n n T a a a =⋅…….若n T 存在最大值，则n a 可以是（） A ．62n n a −= B ．()1nn a =− C ．29n a n =− D ．121n n a n +=− 【答案】BD 【解析】【分析】根据数列的单调性即可判断. 【详解】对于A ，()()115436212322n n n n n T a a aa −−−−+−=== ，当n 趋于无穷大时，n T 也趋于无穷大，故n T 不存在最大值；对于B ，()()()()()()1123211111n n nn T +=−−−−=− ，当()12n n + 为偶数时，1n T = ，当()12n n +为奇数时，1n T =− ，故n T 的最大值为1；对于C ，()()1121128n n n n n T T a a a a T n ++−=−=− ，当5n ≥ 时，10,n n n T T T +>> ，∴5n ≥ 时n T 是递增的数列，不存在最大值；对于D ，1232342,1,,135a a a ===== 即当3n ≥ 时，0121n n <+<− ，1n a < ，即3n ≥ 时，()1110n n n n T T T a ++−=−< ，所以n T 是递减的数列，最大值为122T T == ；故选：BD.4．（2022·福建·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为2212n a n n S +=，公差为d ，则（）A ．11a =B ．1d =C ．()213521n n S a n −=+++⋅⋅⋅+−D ．2222n nn S a a =+ 【答案】ABC 【解析】【分析】运用代入法，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式逐一判断即可. 【详解】取1n =，则21112a a +=，解得11a =，即A 正确；由A 可知，22n n nS +=，则212321d S a =−=−=，即B 正确；于是有1(1)1n a n n =+−⋅=，因为22n n S a n −=，且()()212113212n n n n +−+++−==，即C 正确；因为()222222222nn n n nS n n a a +==+=+，即D 错误.故选：ABC5．（2021·山东·模拟预测）设等比数列{an }的公比为q ，其前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，并满足条件a 1＞1，a 2019a 2020＞1，2019202011a a −−＜0，下列结论正确的是（）A ．S 2019＜S 2020B ．a 2019a 2021﹣1＜0C ．T 2020是数列{Tn }中的最大值D ．数列{Tn }无最大值【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得（a 1q 2018）（a 1q 2019）＝（a 1）2（q 4037）＞1，分析可得q ＞0，可得数列{an }各项均为正值，又由2019202011a a −−＜0可得2019202011a a <⎧⎨>⎩或2019202011a a >⎧⎨<⎩，由等比数列的性质分析可得q 的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案. 【详解】根据题意，等比数列{an }的公比为q ，若a 2019a 2020＞1，则（a 1q 2018）（a 1q 2019）＝（a 1）2（q 4037）＞1，又由a 1＞1，必有q ＞0，则数列{an }各项均为正值，又由2019202011a a −−＜0，即（a 2019﹣1）（a 2020﹣1）＜0，则有2019202011a a <⎧⎨>⎩或2019202011a a >⎧⎨<⎩，又由a 1＞1，必有0＜q ＜1，则有2019202011a a >⎧⎨<⎩，对于A ，有S 2020﹣S 2019＝a 2020＞0，即S 2019＜S 2020，则A 正确；对于B ，有a 2020＜1，则a 2019a 2021＝（a 2020）2＜1，则B 正确；对于C ，2019202011a a >⎧⎨<⎩，则T 2019是数列{Tn }中的最大值，C 错误，同理D 错误；故选：AB6．（2022·海南·模拟预测）在数列{}n a 中，11a =，数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，则（）A ．121n na =− B ．1122n n a =+ C ．数列{}n a 为递减数列 D ．378S >【答案】ACD 【解析】【分析】由已知结合等比数列通项公式可求11na +，进而可求n a ，然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择. 【详解】因为11a =，数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，所以111222n nna −+=⋅=所以121n n a =−，故A 正确，B 错误；因为()21,1xy x =−≥是单调增函数，故()1,121x y x =≥−是单调减函数，故数列{}n a 是减数列，故C 正确； 31231171378S a a a =++=++>，故D 正确.故选：ACD .7．（2022·江苏连云港·模拟预测）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列{}n a ，下列说法正确的是（） A ．若13a =，则5131213a =B ．若122a =，则10022a =C ．若16a =，则100a 的最后一个数字为6D ．若1123a =，则100a 中没有数字4【答案】BCD 【解析】【分析】根据题干中的递推规律，依次分析各项的正误. 【详解】对于A 项，13a =，即“1个3”，213a =，即“1个1，1个3”，31113a =，即“3个1，1个3”，故43113a =，故A 项错；对于B 项，122a =，即“2个2”， 222a =，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则10022a =，故B 项正确；对于C 项，16a =，即“1个6”， 216a =，即“1个1，1个6”， 31116a =，即“3个1，1个6”，故43116a =，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，()*n a n ∈N 的最后一个数字均为6，故C 项正确；对于D 项，1123a =，则2111213a =，331121113a =，41321123113a =，L ，若数列{}n a 中，()5,N k a k k *≥∈中为第一次出现数字4，则1k a −中必出现了4个连续的相同数字，如11111k a −=，则在2k a −的描述中必包含“1个1，1个1”，即211k a −=，显然2k a −的描述是不合乎要求的，若12222k a −=或13333k a −=，同理可知均不合乎题意，故()N n a n *∈不包含数字4，故D 项正确. 故选：BCD.8．（2022·广东茂名·模拟预测）一组数据1x ，2x ，…，10x 是公差为1−的等差数列，若去掉首末两项1x ，10x 后，则（） A ．平均数不变 B ．中位数没变C ．极差没变D ．方差变小【答案】ABD 【解析】【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A ，由中位数的概念可判断B ，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断C ，根据极差及等差数列的通项公式可判断D ．【详解】由题意可知，对于选项A ，原数据的平均数为1210511()5(1010x x x x x =+++=⨯+ 6561)()2x x x =+，去掉1x ，10x 后的平均数为2395656111()4()()882x x x x x x x x x '=+++=⨯+=+=，即平均数不变，故选项A 正确；对于选项B ，原数据的中位数为561()2x x +，去掉1x ，10x 后的中位数仍为561()2x x +，即中位数没变，故选项B 正确；对于选项C ，原数据的极差为11099x x d −=−=，去掉1x ，10x 后的极差为2977x x d −=−=，即极差变小，故选项C 错误；对于选项D ，设公差为d ，则原数据的方差为222215625610561111()()()10222s x x x x x x x x x ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−++−+++−+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭2221975()()()10222[d d d =−+−+−222311()()()222d d d +−+−++2222357933()()()()2224]2d d d d +++=，去掉1x ，10x 后的方差为22222563569561111()()()8222s x x x x x x x x x ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=−++−+++−+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭2222222217531135721()()()()()()()()8222222224[]d d d d d d d d =−+−+−+−++++=，即方差变小，故选项D 正确．故选：ABD.9．（2022·山东济宁·二模）已知一组数据1x ，2x ，…，11x 是公差不为0的等差数列，若去掉数据6x ，则（） A ．中位数不变 B ．平均数变小 C ．方差变大 D ．方差变小【答案】AC 【解析】【分析】由中位数的概念可判断A ，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B ，由方差计算公式即可判断CD. 【详解】对于选项A ，原数据的中位数为6x ，去掉6x 后的中位数为5761()2x x x +=，即中位数没变，故选项A 正确；对于选项B ，原数据的平均数为()111121161111()11112x x x x x x x +=+++=⨯=，去掉6x 后的平均数为1111257811610()11()10102x x x x x x x x x x x +'=+++++++=⨯==即平均数不变，故选项B 错误：对于选项C ，则原数据的方差为()()22221626116]1[()11s x x x x x x =−+−++−，去掉6x 后的方差为()()()()()22222216265676116110s x x x x x x x x x x ⎡⎤'=−+−++−+−++−⎣⎦，故2s 2s '<，即方差变大，故选项C 正确，选项D 错误.10．（2022·山东临沂·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233=+nn S ．数列{}n b 满足3log n n n a b a =，则（）A ．13,1,3, 1.n n n a n −=⎧=⎨>⎩B ．113n n n b −−=C ．数列{}n b 的前n 项和113211243n n n T −+=−⋅ D ．数列{}n b 的前n 项和113211243n n n T −−=+⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】根据n S 与n a 的关系，即可求出n a ，利用错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n T ，据此，逐个选项判断即可得出答案. 【详解】对于A ，因为233=+nn S ，所以，当1n =时，11226S a ==，得13a =，当2n ≥时，1113332n n n n n n a S S −−−−=−==，经检验，当1n =时，不符合13−=n n a ，所以，13,1,3, 1.n n n a n −=⎧=⎨>⎩故A 正确；对于B ，因为3log n n n a b a =，得311,1log 31,23n n nn n a b n a n −⎧=⎪⎪==⎨−⎪≥⎪⎩，故B 错误；对于C ，数列{}n b 的前n 项和1232311123133333n n n n T b b b b −−=++++=+++++①， 234111231393333n nn T −=+++++②，所以，−①②得， 23122111111()3933333n n n n T −−=++⨯+++−11515311193293929333n n n n n n −−−⎛⎫=+−=+⨯−− ⎪⎝⎭1823n=−⋅，得 113211243n n n T −+=−⋅，故C 正确，D 错误；故选：AC11．（2023·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =−，则下列说法正确的是（）． A ．{}n a 是递增数列 B ．{}n a 是递减数列C ．122n a n =-D ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S【答案】BCD 【解析】【分析】根据211n S n n =−，利用二次函数的性质判断D ，利用数列通项和前n 项和关系求得通项公式判断ABC. 【详解】解：因为22111211124n S n n n ⎛⎫=−=−−+ ⎪⎝⎭，所以数列{}n S 的最大项为5S 和6S ，故D 正确；当1n =时，110a =，当2n ≥时，由211n S n n =−，得()()211111n S n n −=−−−，两式相减得：212n a n =−+，又110a =，适合上式，所以212n a n =−+，故C 正确；因为120n n a a −−=−<，所以{}n a 是递减数列，故A 错误，B 正确；故选：BCD12．（2022·湖南怀化·一模）设{}()*n a n N ∈是各项为正数的等比数列，q 是其公比，nK是其前n 项的积，且56678,K K K K K <=>，则下列选项中成立的是（） A ．01q << B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】ABD【分析】结合等比数列的定义利用数列的单调性判断各选项．【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积n K 也为正，公比0q >，又56678,K K K K K <=>， 6651K a K =>，7761Ka K ==，B 正确； 8871K a K =<，761aq a =<，即01q <<，A 正确；由71a =得681a a =，591a a =，所以49K K =，而51a >，54K K >，因此95K K <，C 错；由上知126781a a a a a <<<<=<<，{}n K 先增后减，6K 与7K 均为n K 的最大值，D 正确．故选：ABD ．13．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，则下列命题正确的是( )A ．若11a =，2q =，则663S =B ．若1q >，则数列{}n a 是单调递增数列C ．若10a >，0q >，lg n n b a =，则数列{} n b 是公差为lg q 的等差数列D ．若10a >，0q >，且()21105612a a a a +=+，则110a a +的最小值为4 【答案】AC 【解析】【分析】A ：利用等比数列前n 项和公式即可计算；B ：根据函数单调性即可判断；C ：根据等差数列定义即可判断；D ：利用基本不等式即可判断．【详解】对于A ，66612216312S −==−=−，故A 正确；对于B ，∵11n n a a q −=⋅，故{}n a 的单调性由q 和1a 共同决定，q >1无法判断数列为递增数列，如10a <，此时数列为递减数列，故B 错误；对于C ，∵111lg lg lg lg n n n n n na b b a a q a +++−=−==为常数，∴数列{}n b 是公差为lg q 的等差数列，故C 正确；对于D ，若10a >，0q >，则0n a >，56110a a a a =， ∵()21105612a a a a +=+， ∴()2211011011012122a a a a a a +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭…，即()()22110110124a a a a +++…，即()211016a a +≤，即11004a a <+…，即当110a a =时，110a a +的最大值为4，故D 错误．故选：AC ．14．（2022·江苏泰州·模拟预测）数列{}n a 满足1111,,2n n n a a a n N *+==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（） A ．418a =B ．1n n a a +≤C ．3n S <D ．132n n S S −<【答案】BC 【解析】【分析】根据题意求得212112n n n n n n a a a a a a ++++==，得到{}n a 的奇数项和偶数项分别构成公比为12的等比数列，且首项分别为1211,2a a ==，由414a =，可判定A 错误；求得n 为奇数和n 为偶数时，数列的通项公式，可判定B 正确；根据n 为奇数和偶数，求得n S ，可判定C 正确；结合2n =时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 满足11,2n n na a n N *+=∈，可得212112n n n n n na a a a a a ++++==，因为11a =，可得2112a a =，所以212a =，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别构成公比为12的等比数列，且首项分别为1211,2a a ==，对于A 中，可得421124a a =⨯=，所以A 错误；对于B 中，若n 为奇数时，可数列的通项公式为1122111()()22n n n a −−=⨯=；若n 为偶数时，可数列的通项公式为122111()()222n n n a +=⨯=，当n 为奇数时，121()2n n a −=，2211()2n n a ++=，此时1n n a a +<，当n 为偶数时，121()2n n a +=，1211()2n n a ++=，此时1n n a a +=，综上可得：1n n a a +≤，所以B 正确；对于C 中，数列{}n a 为1111111,,,,,,,224488，可得{}1n n a a ++构成首项为32，公比为12的等比数列，当n 为偶数时，可得2231[1()]1223[1()]31212nn n S −==⋅−<−，当n 为奇数时，可得121211[1()]12112[1()]31212n n n S −−⋅−=+=+⋅−<−，所以C 正确；对于D 中，当2n =时，可得213122S =+=，13322S =，此时132n n S S −=，所以D 错误.故选：BC.15．（2022·重庆·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且()1210n n n a na ++−=()n N *∈，则下列结论正确的是（） A ．{}n na 是等比数列 B ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列C ．2n n a n =⋅D ．()122nn S n =−⋅+【答案】BC 【解析】【分析】由条件变形，先求n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再判断选项【详解】由题意得121n n a a n n +=⋅+，故n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1222n n na n−=⋅=，则2n n a n =⋅．故B ，C 正确，A 错误 122222n n S n =+⋅++⋅, 23122222n n S n +=+⋅++⋅,两式相减得：()1212(222)122n n n n S n n ++=⋅−+++=−⋅+，故D 错误．故选：BC16．（2022·广东茂名·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（） A ．数列{}1n a +是等比数列 B ．数列{}1n a +是等差数列C ．数列{}n a 的通项公式为21n n a =−D ．1n T > 【答案】AC 【解析】【分析】由1121n n n n a S S a ++=−=+可得，1121n n a a ++=+，可判断A,B 的正误，再求出n a ，可判断C 的正误，利用裂项相消法求n T ，可判断D 的正误. 【详解】因为121n n n S S a +=++，所以1121n n n n a S S a ++=−=+，1+122n n a a +=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确，B 错误；所以12nn a +=，即21n n a =−，故C 正确；因为()()111212122211121n n n n n n n n a a +++−−−−==−⋅，所以12231121212121111111111212121n n n n T ++−+−+=−−−−+−−−=−−<…，故D 错误；故选：AC.17．（2022·重庆·二模）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，公差0d >，若920S S =，则下列结论中正确的有（） A ．150a = B ．当15n =时，n S 取得最小值 C ．10220a a +> D ．当0n S >时，n 的最小值为29【答案】ABC 【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可. 【详解】解：根据题意，由9201111511998202019140022S S a d a d a d a =⇒+⨯⨯=+⨯⨯⇒+=⇒=.故A 正确；因为0d >，故当15n <时，0n a <，150a =，当15n >时，0n a >，当15n =或14n =时，n S 取得最小值，故B 正确；由于()102216150a a a a d d +=2=2+=2>，故C 正确；因为0d >，n *∈N ，所以由1111(1)(14)(1)(29)0222n S na n n d n d n n d dn n =+−=−+−=−>，可得：29,n >n *∈N ，因此n 的最小值为30，故D 错误.故选：ABC18．（2022·河北保定·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，22a =，1143n n n a a a +−=−，则下面说法正确的是（） A ．数列{}1n n a a +−为等比数列 B ．数列{}13n n a a +−为等差数列C ．131n n a -=+D ．3142n n nS −=+【答案】ABD【分析】由已知递推式可得()113n n n n a a a a +−−=−或1133n n n n a a a a +−−=−，从而可得数列{}1n n a a +−为公比为3的等比数列，数列{}13n n a a +−为常数列，从而可求出,n n a S ，进而可分析判断【详解】根据题意得()()111113434344n n n n n n n n n a a a a ka k a a k a a k +−+−−⎛⎫=−⇒+=+−=+−⎪+⎝⎭，令2343014k k k k k =−⇒++=⇒=−+或3k =−，所以可得：()113n n n n a a a a +−−=−或1133n n n n a a a a +−−=−，所以数列{}1n n a a +−为公比为3的等比数列，故选项A 正确；数列{}13n n a a +−为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B 正确；所以1113n n n a a −+−=⨯，且131n n a a +−=−，解得1312n n a −+=，所以C 错误，所以12n n S a a a =++⋅⋅⋅+ 011313131222n −+++=++⋅⋅⋅+()011133322n n −=++⋅⋅⋅++ 1132132n n −=⨯+− 3142n n −=+，所以D 正确，故选：ABD ．19．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足()1213n n n a a a m ++=+，12n a ≠−，则下列说法正确的有（）A ．若12=−m ，11a =，则35a =B ．若0m =，112a =，则11331n n n a −−=+C ．若12m =，12a ≠−，3，则32n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是等比数列 D ．若12m =−，11a =，则766n n a =−【答案】BC 【解析】A 选项由递推关系计算可判断；B 选项，递推关系变形为1111113n n a a +⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，构造一个等比数列11n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭，可求出通项公式，从而判断；C 选项由递推关系变形出1132n n a a ++−+3372n n a a −=−⨯+，从而得到判断；D 选项，递推关系变形得出112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪−⎩⎭是等比数列，从而求得通项公式进行判断．【详解】A 选项：若12=−m ，则()121312n n n a a a ++=−，即131221n n n a a a +−=+.又11a =，则231233a −==−，391221615a −−==−+，故A 错误. B 选项：若0m =，则()1213n n n a a a ++=，即1321nn n a a a +=+，即112133n n a a +=+，则1111113n n a a +⎛⎫−=− ⎪⎝⎭.又112a =，则111211a −=−=，所以11n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为13的等比数列，则11113n n a −⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即1111113133n n n n a −−−+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即11331n n n a −−=+，故B 正确.C 选项：若12m =，则()121312n n n a a a ++=+，即131221n n n a a a ++=+，则()()1131233123213213122312221221n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++−+−+−+===+++++++393371472n n n n a a a a ⎛⎫−+−=−⨯ ⎪++⎝⎭，所以32n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是公比为37−的等比数列，故C 正确.D 选项：若12m =−，则113221n n n a a a +−=+，则11132112222121n n n n n n a a a a a a +−−−−−==++，则1212121111112121222n n n n n n a a a a a a +−+⎛⎫==+=+≠ ⎪−−⎝⎭−−，即11111122n n a a +−=−−.又11a =，则11212a =−，所以112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪−⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以1112n n a =+−，即1121n a n −=+，即1112n a n =++，故D 错误，故选：BC.20．（2022·广东·一模）已知数列{}n a 满足11a =，*12()N n n n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（） A ．45a =B ．{}n a 为等比数列C ．202212202123a a a +++=−D ．2023122022223a a a −+++=【答案】AD 【解析】【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A,B;将122021a a a +++变为1235202042021()()()a a a a a a a ++++++++，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C; 将122022a a a +++变为412320212022))()((a a a a a a +++++++，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D; 【详解】11a =，则1222,1a a a +== ，又2334,3a a a +== ，同理33442,5a a a +== ，故A 正确；而32121,3a a a a == ，故{}n a 不是等比数列，B 错误； 1220211235204202021()()()a a a a a a a a a a =+++++++++++1010101120222420204-4-12-112+2++2=1+==1-433=+（14），故C 错误； 122022123202120242()a a a a a a a a a ++++=++++++（）（）101110112023132021-24-22-22+2++2===1-433⨯=2(14），故D 正确，故选：AD21．（2022·福建·模拟预测）已知{}n a 是正项等差数列，其公差为d ，若存在常数c ，使得对任意正整数n 均有12n n n ac a a c+=+，则以下判断不正确的是（） A ．0d > B ．0d = C ．1c > D ．01c <<【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式可得101n a +<≤，结合通项公式可得0d =，从而可得()212c c a −=，故可得02c <<，故可得正确的选项.【详解】由题设可得{}n a 是无穷正项等差数列，故0d ≥且0c >，由基本不等式有122nn n a c a a c+=+≥，所以101n a +<≤对任意的正整数n 恒成立，即101a nd <+≤对任意的正整数n 恒成立，即111a nd a −<≤−对任意的正整数n 恒成立，故0d =且101a <≤. 而1112a c a a c=+，故()212c c a −=，所以()021c c <−≤，所以02c <<，故选：ACD22．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知数列{an }满足11a =，21n n n a a a +=+，则（）A ．{an }是递增数列B ．n a n ≥C ．202120222a ≤D ．121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++ 【答案】ABD 【解析】【分析】由递推公式和20n a >可判断A ，由数列递增和11a =可判断B ，由递推公式知21n n a a +>可判断C ，对递推公式取倒裂项，然后累加、放缩可判断D. 【详解】因为a 1=1，21n n n a a a +=+，所以1n n a a +>，故A 正确；易知，所以n a 为正整数，又{an }是递增数列，所以n a n ≥，故B 正确；由递推公式得：232,64a a ==>，又221n n n n a a a a +=+>，所以244a >，22225(4)4a >=，()23222644a >=，易知201922021202242a >>，故C 不正确；取倒得1111(1)11n n n n n a a a a a +=−++=，则由累加法得2341123123111111111111()1111n n n a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+−+++⋅⋅⋅+++++整理得123111111111111111n n n a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=−=−++++，又110n a +>所以121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++故选：ABD23．（2022·河北张家口·三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．n S 是关于n 的二次函数C ．{}n na 不可能是等差数列D ．“0d >”是“112n n n S S S −++>”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】根据等差数列前n 项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC ，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D. 【详解】解：由11(1)2n S na n n d =+−知，11(1)2n S a n d n =+−，则1112+−=+n n S S d n n ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故A 正确；当0d =时，1n S na =不是n 的二次函数，故B 不正确；当0d =时，11,n n a a na na ==，则()111n n n a na a ++−=，所以{}n na 是等差数列，故C 不正确；当0d >时，1102n n n S S d S −+=−>+，故112n n n S S S −++>，11111120n n n n n n n n n n n S S S S S S S a a a a d −++−+++>⇔−>−⇔>⇔−=>，所以“0d >”是“112n n n S S S −++>”的充要条件，故D 正确. 故选：AD.24．（2022·江苏江苏·三模）已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n na S a =+，则（） A ．{}2n S 是等差数列B ．212n n n S S S +++<C ．1n n a a +>D ．1ln n nS n S −≥ 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A,求出1a ，再将n a 转化为n S ,即可证明，对于B,利用A 的结论求出n S ，再利用基本不等式，即可证明. 对于C ，求出21a a <，即可判断正误，对于D ，构造函数()12ln f x x x x=−−，即可判断正误【详解】 1111122a a S a ==+，10a >，解得：111S a == 2n ≥时，()11122n n n n n S S S S S −−−=+−，整理得：2211n n S S −−=故{}2n S 是等差数列，选项A 正确；2211n S S n n =+−=，则=n S212n n n S S S +++<==，选项B 正确；22111a S S a =−=<，选项C 错误；令()12ln f x x x x =−−，1≥x ，()()2210x f x x −'=≥ ()f x 在[)1,+∞递增，()()10f x f ≥=，则ln 0fn≥ 即1ln n nS n S −≥，选项D 正确；故选：ABD.25．（2022·河北保定·一模）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21n n S S n +=−+，则下列选项中正确的是（）.A ．121n n a a n ++=−（2n ≥）B ．22n n a a +−=C ．若10a =，则1004950S =D ．若数列{}n a 单调递增，则1a 的取值范围是11,43⎛⎫− ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，由 21n n S S n +=−+，多写一项，两式相减即可得出答案.对于B ，由 121n n a a n ++=−（2n ≥），多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件2n ≥. 对于C ，由分析知22n n a a +−=，所以{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列，由等差数列得前n 项和公式即可得出答案. 对于D ，因为数列{}n a 单调递增，根据1234n a a a a a <<<<<，即可求出1a 的取值范围.【详解】对于A ，因为21n n S S n +=−+，当()2121n n n S S n −≥=−+−，，两式相减得：121n n a a n ++=−（2n ≥）,所以A 正确.对于B ，因为121n n a a n ++=−（2n ≥）,所以()+122+11=21n n a a n n ++=−+，两式相减得：22n n a a +−=（2n ≥），所以B 不正确.对于C ，21n n S S n +=−+，令1n =，则211S S =−+，1211a a a +=−+，因为10a =，所以21a =.令2n =，则324S S =−+，112324a a a a a ++=−−+ ，所以32a =.因为22n n a a +−=（2n ≥），而312a a −=，所以22n n a a +−=.所以{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列. 偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列. 则：()()10012399100139924100=+++S a a a a a a a a a a a =+++++++++5049504950025012=495022⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确.对于D ，21n n S S n +=−+，令1n =，则211S S =−+，1211a a a +=−+，则2121a a =−+又因为+12=21n n a a n +++，令1n =则23=3a a +，所以()3211=332122a a a a −=−−+=+，同理：()4311=552223a a a a −=−+=−+，()5411=772324a a a a −=−−+=+，因为数列{}n a 单调递增，所以1234n a a a a a <<<<<，解12a a <得：113a <，解23a a <得：114a >−，解34a a <得：114a <，解45a a <得：114a >−，解56a a <得：114a <，所以1a 的取值范围是11,44⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以D 不正确.故选：AC. 【点睛】本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用121n n a a n ++=−，得出{}n a 的奇数项、偶数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.26．（2022·山东日照·二模）已知数列{}n a 满足11a =，()12ln 11n n n a a a +=++，则下列说法正确的有（） A ．31225a a a <+ B ．2211n nn a a a +−≤+ C ．若2n ≥，则131141n i i a =≤<+∑ D ．()()1ln 121ln 2nni i a =+≤−∑【答案】BCD 【解析】【分析】直接计算出23,a a 即可判断A 选项；构造函数函数()ln 1f x x x =−−，由ln 1x x +…，得到ln 1n n a a +…，进而判断B 选项；由ln 11n a +…得到121n n a a ++…，再结合累乘法得到12n n a +…，按照等比数列求和公式即可判断C 选项；构造函数()12ln g x x x x=−+，由11ln 2x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭…得到212n n n a a a ++…，结合累乘法求得()1ln 12ln2n n a −+…，按照等比数列求和公式即可判断D 选项.【详解】()()2113222ln 113,2ln 116ln37a a a a a a =++==++=+，则()3122512ln360a a a −+=−>，又120a a +>，所以31225a a a >+，A 不正确. 令函数()ln 1f x x x =−−，则()11f x x'=−，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()()10f x f =…，即ln 1x x +…，又易得{}n a 是递增数列，11n a a =…，故ln 1n n a a +…，所以2121n n a a ++…，B 正确.易知{}n a 是递增数列，所以11n a a =…，则()1ln 11,2ln 1121n n n n n a a a a a ++=+++厖，则()1121n n a a +++…，即1121n n a a +++…，所以11212111211n n n n n a a a a a a −−−−++⋅⋅++…，即()111212n n n a a −++=…，所以1112n n a +…，所以2111111111221111222212n n n ni i a =⎛⎫− ⎪⎝⎭+++==−<+−∑…，而当2n …时，则有11211131114ni i a a a =+=+++∑…，C 正确. 令函数()12ln g x x x x =−+，则()222212110x x g x x x x−+−=−−='…，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，所以当1x …时，()()10g x g =…，则11ln 2x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭…，所以211121122n n n n n n a a a a a a +⎡⎤⎛⎫−++=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…，()()()()()()()()()211121211ln 1ln 1ln 1ln 111,2,2ln 1ln 1ln 1ln 1n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +−−+−−++++++⋅⋅⋅++++剟?，()()111ln 12ln 12ln2n n n a a −−++=…，所以())()11ln 1(122ln221ln2nn n i i a −=++++=−∑…，D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题关键点在于B 选项通过构造函数()ln 1f x x x =−−进行放缩得到ln 1n n a a +…，结合()12ln 11n n n a a a +=++即可判断；C 选项由ln 11n a +…放缩得到121n n a a ++…，D 选项构造函数()12ln g x x x x=−+得到212n nn a a a ++…，再结合累乘法和求和公式进行判断. 27．（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A −记为20a =，()30,1A −记为31,a =−⋅⋅⋅，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S .则（）A ．202242a =B ．202287S =−C ．82n a n =D ．()245312n n n n S ++=【答案】ABD 【解析】【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，则2440n n S +=，同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(),n n ，设2022a 在第k 圈，则k 圈共有()41k k +个数，可判断前22圈共有2024个数，2024a 所在点的坐标为()22,22，向前推导，则可判断A ，B 选项；当2n =时，16a 所在点的坐标为()2,2−−，即可判断C 选项；借助2440n n S +=与图可知22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=−=+++，即n 项之和，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +−，…，()1,1n +，即可求解判断D 选项.【详解】由题，第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点，由对称性可知81280S a a a =+++=；第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点，由对称性可知248910240S S a a a −=+++=，即 240S =，以此类推，可得第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，即()214482n nn n SS ++⨯==，设2022a 在第k 圈，则()()888168412k k k kk ++++==+，由此可知前22圈共有2024个数，故20240S =，则()2022202420242023S S a a =−+，2024a 所在点的坐标为()22,22，则2024222244a =+=，2023a 所在点的坐标为()21,22，则2023212243a =+=，2022a 所在点的坐标为()20,22，则2022202242a =+=，故A 正确；()()20222024202420230444387S S a a =−+=−+=−，故B 正确；8a 所在点的坐标为()1,1，则8112a =+=，16a 所在点的坐标为()2,2−−，则16224a =−−=−，故C 错误；22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=−=+++，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +−，…，()1,1n +，所以()()()()()245111112122n n S n n n n n n n n +=+++++−++++=+++++()()2123122n n n n n ++++==，故D 正确.故选：ABD 【点睛】关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D 选项，考虑已知的前n 项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.28．（2022·辽宁·东北育才学校二模）如图所示，正五边形ABCDE 的边长为1a ，正五边形11111A B C D E 的边长为2a ，正五边形22222A B C D E 的边长为3a ，……，依次下去，正五边形11111n n n n n A B C D E −−−−−的边长为n a ，记ACE α∠=，则下列结论中正确的是（）A．cos α=B ．数列{}n aC ．数列{}n a的等比数列D ．对任意θ∈R ，cos cos(2)cos(4)cos(6)cos(8)1θθαθαθαθα++++++++= 【答案】AB 【解析】【分析】根据正五边形的几何性质可知1111111,,,B EAC AE AC CE AB AE CB AB AE B E B C λ======，根据长度关系列方程解得λ=，再利用正弦定理可求得cos α，通过图形类比归纳的12211n n a a a a λ+==，对于D ，注意5πα=，利用诱导公式和两角和差公式化简计算．【详解】在△ACE ，2CAE AEC α∠=∠=，设1AC CE AE a λλ=== 易知△ACE ∽△1B AE ，则111B E a λ=，11AB AE a ==1ACE CAB ∠=∠，则111AB CB a ==∵11CB B E CE +=，即1111a a a λλ+=，解得λ=又∵AC AE λ=，由正弦定理得sin 2sin αλα=，即2sin cos sin ααλα=∴cos 2λα=，A 正确；同理：△11B EC ∽△1B AE ，则111211B C B E AE λλ==即2121a a λ=，则2211a a λ==以此类推，1n n a a +={}n aB 正确，C 不正确；∵cos α=2cos 22cos 1αα=−=又∵5πα=，则可得： cos cos(2)cos(4)cos(6)cos(8)θθαθαθαθα++++++++[][][]cos cos(2)cos ()πcos ()πcos (2)2πθθαθαθαθα=+++−+++++−+cos cos(2)cos()cos()cos(2)θθαθαθαθα=++−−−++−()cos 2cos cos 22cos cos cos 12cos 22cos 0θθαθαθαα=+−=+−=D 不正确；故选：AB ．。

(江苏专用)高考数学总复习专题1.1 集合试题(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题1.1 集合【三年高考】1．【2017高考某某1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防X 空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．【2016高考某某1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确某某高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2．【2015高考某某1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算3．【2014某某1】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=. 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-.4.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。

江苏高中数学复习题

江苏高中数学复习题# 江苏高中数学复习题## 一、选择题1. 函数的奇偶性：若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，判断该函数的奇偶性。

2. 不等式的解集：解下列不等式：\( |x - 1| + |x + 2| < 4 \)。

3. 数列的通项公式：已知等差数列的第3项为10，第5项为14，求该数列的通项公式。

4. 三角函数的化简：化简下列三角函数式：\( \frac{1 - \cos^2 \theta}{\sin^2\theta} \)。

5. 导数的应用：若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 6x + 1 \)，求其在\( x = 1 \)处的切线斜率。

## 二、填空题1. 复数的模：设复数\( z = 2 - i \)，求\( |z| \)。

2. 立体几何体积：一个正方体的边长为3，求其体积。

3. 概率的计算：若一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求至少有一个红球的概率。

4. 矩阵的运算：设矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求\( A^2 \)。

5. 函数的单调性：若函数\( f(x) = 2x - \ln x \)在\( x > 1 \)上单调递增，求其导数\( f'(x) \)。

## 三、解答题1. 解析几何：已知椭圆\( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \)，求过点(2,0)的切线方程。

2. 函数的极值：求函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \)在区间[-2, 4]上的极值。

3. 数列的求和：求等比数列\( 3, 6, 12, ... \)的前10项和。

4. 向量的运算：已知向量\( \vec{a} = (3, -1) \)，\( \vec{b} = (2, 4) \)，求向量\( \vec{a} \)与\( \vec{b} \)的点积。

【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题三第3讲平面向量(含答案解析)

第 3讲平面向量1． (2016 课·标全国丙改编→1，3→31，则∠ ABC＝ ________. )已知向量 BA＝22， BC＝，22答案30°分析→→∵ |BA|＝ 1， |BC|＝ 1，→ →3BA·BC＝，∴∠ ABC ＝ 30°.cos∠ ABC＝→→2|BA|·|BC|12． (2016 ·东改编山 )已知非零向量m，n 知足 4|m|＝ 3|n|，cos〈 m， n〉＝3.若 n⊥ (tm＋ n)，则实数 t 的值为 ______．答案－ 4分析∵ n⊥ (tm＋ n)，∴ n·(tm＋n)＝0，即 t·m·n＋ n2＝ 0，∴ t|m||n|cos〈 m， n〉＋ |n|2＝0，由3212已知得 t×|n| ×＋ |n| ＝ 0，解得 t＝－ 4.433． (2016 天·津改编 )已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延伸到点F，使得 DE＝→ →2EF ，则 AF ·BC的值为 ________．答案1 8分析→→→如下图， AF ＝AD ＋DF .又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，→1→且 DE＝ 2EF，因此 AD＝2AB，→＝→＋→＝→＋1→DF DE EF DE2DE3→ 3→＝2DE ＝4AC，→1→ 3 →→→ →因此 AF＝2AB＋4AC.又 BC＝ AC－AB，→ →1→3→→ →则 AF·BC＝AB＋AC ·(AC－ AB)241→ →1→ 2 3 →2 3 → →＝AB·AC－AB＋AC － AC·AB 2244→ 2 1→21→→＝ 4AC － 2AB －4AC ·AB.3→ →又 |AB|＝ |AC|＝ 1，∠ BAC ＝ 60°，→ → 3 1 1 1 1故AF ·BC ＝－－ ×1×1× ＝ .4 2 4 2 84． (2016 ·江浙 )已知向量a ，b ， |a|＝ 1，|b|＝ 2.若对随意单位向量 e ，均有 |a ·e|＋ |b ·e| ≤6，则a ·b 的最大值是 ________．答案12分析由已知可得：6≥|a ·e|＋ |b ·e| ≥|a ·e ＋ b ·e|＝ |(a ＋ b) ·e|，因为上式对随意单位向量e 都成立．∴ 6≥|a ＋ b|成立．∴ 6≥(a ＋ b) 2＝ a 2＋ b 2＋ 2a ·b ＝ 12＋ 22＋ 2a ·b.1即 6≥5＋ 2a ·b ，∴ a ·b ≤2.1.考察平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考察，多为填空题，难度中低档 .2.考察平面向量的数目积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、分析几何联合，以解答题形式出现.热门一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要依据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不可以盲目转变．2．在用三角形加法法例时，要保证 “首尾相接 ”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法例时，要保证 “同起点 ”，结果向量的方向是指向被减向量．例 1π(1) 设 0<θ< ，向量 a ＝ (sin 2θ， cos θ)， b ＝ (cos θ， 1)，若 a ∥ b ，则 tan θ＝ ______.2→ → → →(2) 如图，在 △ ABC 中，已知 BD ＝ 2DC ，以向量 AB ，向量 AC 作为基底，→则向量 AD 可表示为 ____________．答案 (1)1 (2)1 →＋ 2 →2 3AB 3AC 分析(1)因为 a ∥ b ，因此 sin 2θ＝ cos 2θ，即 2sin θcos θ＝cos 2θ.π 因为 0<θ< ，因此 cos θ>0，21得 2sin θ＝ cos θ，tan θ＝ 2.(2) 依据平面向量的运算法例及已知图形可知→2 →AB ＋3AC .→→→→ 2 → → 2 → → 1AD ＝AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＝AB ＋ (BA ＋ AC)＝333思想升华(1) 关于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形联合，联合图形剖析向量间的关系．追踪操练 1(1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC的一个三平分点，那么以向量 → → →AB 和向量 AD 为基底，向量 EF 可表示为__________ ．→→ →(2) 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AE ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ ＋ μ的值为 ________．答案(1)1→ － 2 →(2)12AB 3AD2分析→ → → (1)在 △ CEF 中，有 EF ＝ EC ＋CF .→ 1 →因为点 E 为 DC 的中点，因此 EC ＝ DC .2因为点 F 为 BC 的一个三平分点，因此→ 2 →CF ＝CB.3→ 1→ 2→ 1→ 2→ 1→2→因此 EF ＝ 2DC ＋3CB ＝2AB ＋3DA ＝ 2AB － 3AD.(2)→ → → 1 →1 → → 1 → →→ 1 → 因为 E 为 DC 的中点，因此 AC ＝ AB ＋ AD ＝ AB ＋AB ＋ AD ＝AB ＋ AE ，即 AE ＝－AB ＋2222→ AC ，1 1因此 λ＝－， μ＝1，因此 λ＋ μ＝ .22热门二平面向量的数目积1．数目积的定义： a ·b ＝ |a||b|cos θ.2．三个结论(1) 若 a ＝ (x ， y)，则 |a|＝ a ·a ＝ x 2＋ y 2.(2) 若 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)，则→ 2 2 .|AB|＝ (x 2－ x 1 ) ＋ (y 2－ y 1 )(3)若 a＝ (x1，y1)， b＝ ( x2，y2 )，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝a·b＝x1x2＋ y1y2|a||b|x12＋ y12x22＋ y22.例 2(1)如图，在矩形ABCD 中， AB＝2， BC＝ 2，点 E 为 BC 的中点，点 F在边→ →＝→ →CD 上，若 AB·AF2，则 AE ·BF的值是 ________．(2) 若 b＝cos π， cos5π，|a|＝ 2|b|，且 (3a＋b) ·b＝－ 2，则向量 a，b 的夹角1212为 ________．答案(1) 2 (2)5π6分析(1)以 A 为原点，成立如下图的坐标系，可得 A(0,0)，B(2， 0)， E(2， 1)， F(x,2)，→→∴ AB＝ ( 2，0) ，AF＝ (x,2)，→ →2x＝2，∴ AB·AF＝解得 x＝ 1，∴ F(1,2)．→→∴ AE＝ ( 2，1)，BF＝ (1－ 2， 2)，→ →∴ AE·BF＝ 2×(1－ 2)＋ 1×2＝ 2.22π25π 2 π 2 π(2) b＝ cos＋cos12＝cos＋ sin＝ 1，121212因此 |b|＝ 1，|a|＝ 2.由 (3a＋b) ·b＝－ 2，可得3a·b＋ b2＝－ 2，故 a·b＝－3，故 cos〈 a， b〉＝a·b＝－ 33＝－|a||b|2×1 2.5π又〈 a， b〉∈ [0，π]，因此〈 a， b〉＝6 .思想升华(1) 数目积的计算往常有三种方法：数目积的定义，坐标运算，数目积的几何意义；(2) 能够利用数目积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．追踪操练 2 (1)已知点 A，B，C，D 在边长为 1 的方格点图的地点如下图，→ →则向量 AD在AB方向上的投影为 ________．(2) 如图，在△ ABC 中，AB＝ AC＝ 3，cos∠ BAC＝1→→→ →3，DC＝ 2BD，则 AD·BC的值为 ________．答案(1)－5(2)－ 2 5分析(1)不如以点 A 为坐标原点，成立如下图的平面直角坐标系，易得→→AD ＝ (－ 2,3)，AB→ →→ →－ 25 AD ·AB＝ (4,2) ，因此向量 AD 在 AB方向上的投影为→＝2 5＝－ 5.|AB |→→→→→→2→ →(2) AD·BC＝ (AC＋ CD ) ·BC＝ (AC＋CB) ·BC3→2→→→2→1→→→＝[AC＋3(AB －AC)] BC·＝ ( 3AB ＋3AC) ·(AC－ AB)2 →2 1 → → 1 →2＝－3|AB|＋3AB·AC＋3|AC|＝－6＋ 1＋3＝－ 2.热门三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，拥有代数形式和几何形式的“两重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，经过向量运算作为题目条件．例 3已知函数 f(x)＝ 2cos2x＋ 23sin xcos x(x∈ R)．π(1)当 x∈[0，2)时，求函数 f( x)的单一递加区间；(2)设△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a， b，c，且 c＝3， f( C)＝ 2，若向量 m＝ (1， sin A)与向量 n＝ (2， sin B)共线，求 a， b 的值．解π (1)f(x)＝ 2cos 2x ＋ 3sin 2x ＝ cos 2x ＋ 3sin 2x ＋ 1＝2sin(2 x ＋ ) ＋1，6π π π 令－＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，26 2π π解得 k π－≤x ≤k π＋， k ∈ Z ，36π因为 x ∈ [0， 2) ，π因此 f( x)的单一递加区间为 [0，6] ．π(2) 由 f(C)＝ 2sin(2C ＋6)＋ 1＝ 2，π 1得 sin(2C ＋ 6)＝ 2，π π 13 π而 C ∈(0 ，π)，因此 2C ＋ 6∈( 6， 6 )， π 5 π因此 2C ＋＝6π，解得 C ＝ 3.6因为向量 m ＝ (1，sin A)与向量 n ＝(2 ，sin B)共线，因此sin A 1sin B＝ .2由正弦定理得 a ＝ 1，①b 2由余弦定理得π c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos，3即 a 2＋ b 2－ ab ＝9.②联立①②，解得 a ＝ 3，b ＝ 2 3.思想升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面能够利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只需依据题目的详细要求，在向量和三角函数之间成立起联系，就能够依据向量或者三角函数的知识解决问题．追踪操练 3已知 △ABC 是锐角三角形，向量m ＝ cos A ＋ π，3π， n ＝ cos B ， sin B ，且 m ⊥ n.sin A ＋3 ( )(1) 求 A －B 的值；3(2) 若 cos B ＝ 5，AC ＝8，求 BC 的长．解(1)因为 m ⊥ n ，π π因此 m ·n ＝ coscos B ＋sin A ＋ 3 sin BA ＋ 3 π＝ cos A ＋3－ B ＝0，π又 A ，B ∈ 0，2 ，因此ππ 5πA ＋－B ∈ －，，3 6 6 因此 π ππA ＋－B ＝，即 A － B ＝ .3 263π4(2) 因为 cos B ＝5， B ∈ 0，2 ，因此 sin B ＝ 5，因此 sin A ＝ sin π ππ ＝ sin Bcos ＋ cos Bsin 6B ＋664 3 3 1 4 3＋ 3＝ · ＋ ·＝，52 5 2104 3＋3由正弦定理，得BC ＝ sin A10 ×8＝ 4 3＋ 3.4sin B·AC ＝5→ 1 →1．如图，在 △ ABC 中， AD ＝ 3AB ， DE ∥ BC 交AC 于E ， BC边上的中线AM交DE于，设 → ＝， → ＝，用ABaACb N，表示向量ab→ →AN ，则 AN＝ ____________.押题依照平面向量基本定理是向量表示的基本依照，而向量表示 (用基底或坐标 )是向量应用的基础．1答案6(a ＋ b)分析因为 DE ∥ BC ，因此 DN ∥ BM ，则 △ AND ∽△ AMB ，因此 AM AN ＝ ADAB .→1 →→1 →因为 AD ＝ 3AB ，因此 AN ＝ 3AM . 因为 M 为 BC 的中点，→ 1 → → 1 因此 AM ＝ (AB ＋AC)＝(a ＋ b)，22→ 1 →1因此 AN ＝AM ＝ (a ＋ b)．362．如图，BC 、DE 是半径为 →→ → →1 的圆 O 的两条直径， BF ＝ 2FO ，则 FD ·FE＝ ________.押题依照数目积是平面向量最重要的观点，平面向量数目积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的联合是向量考察的常有形式．答案－89分析→→→1，∵BF ＝2FO ，圆 O 的半径为 1，∴ |FO |＝3→→→→→→→2→→→→→1 2 8 ∴ FD ·FE ＝ (FO ＋ OD) ·(FO ＋ OE)＝ FO ＋ FO ·(OE ＋ OD)＋ OD ·OE ＝ ( ) ＋ 0－ 1＝－ .39→ →120°sin 208 )°，则 △ABC3．在 △ABC 中，AB ＝(cos 32 °，cos 58 °)，BC ＝ (sin 60 sin ° 118 ，°sin 的面积为 ________．押题依照平面向量作为数学解题工具，经过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热门．答案38分析→ 2 2°|AB|＝ cos 32 °＋ cos 58＝ cos 232°＋ sin 232°＝1，→33，BC ＝2 cos 28 ，°－ 2 sin 28°→323 23 因此 |BC|＝＋－2 sin 28 ＝2.2 cos 28 °°→ →33 °则 AB ·BC ＝ cos 32 °×2cos 28－°sin 32 ×° sin 2823＝2 (cos 32 cos ° 28 －°sin 32 sin ° 28 ) °＝333，2 cos(32 ＋°28°)＝ 2cos 60 ＝° 4→ →3 → →4 1AB ·BC ＝ . 故 cos 〈 AB ， BC 〉＝ →→ ＝ 3 2 |AB| ×|BC| 1×2→ → °， 180°]，因此〈 → →又〈 AB ， BC 〉∈ [0 AB ， BC 〉＝ 60°，→ →故 B ＝ 180°－〈 AB ， BC 〉＝ 180°－ 60°＝ 120°.故 △ ABC 的面积为1 →S ＝ 2×|AB|→×|BC|sin B1 3 ＝ ×1××sin221203 ＝° .84．如图，在半径为1 的扇形 AOB中，∠ AOB ＝60°，C为弧上的动点， AB 与OC交于点P ，→ →则 OP ·BP 的最小值是 _______________________________________ ．押题依照此题将向量与平面几何、最值问题等有机联合，表现了高考在知识交汇点命题的方向，此题解法灵巧，难度适中．答案－116分析→ → →→→→→→→→→2 ＝ 60 °，因为 OP ＝ OB ＋ BP ，因此 OP ·BP ＝ (OB ＋ BP) ·BP ＝OB ·BP ＋ BP .又因为∠ AOB OA ＝ OB ，因此∠ OBA ＝ 60°， OB ＝ → → →1 → →→1→→21.因此 OB ·BP ＝ |BP |cos 120＝°－|BP|，因此 OP ·BP ＝－ |BP|＋ |BP|22→1 2 11→1 → →1＝ (|BP|－ )－≥－，当且仅当 |BP|＝时， OP ·BP 获得最小值－.4 16 16416A 组专题通关1．在 △ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若→ →→ 1 →→AD ＝ 2DB， CD ＝ CA ＋ λCB ，则 λ＝ ________.3答案23分析在 △ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，→→ →1→→→→→→ 2 → → 2 → → 1 → 2 → ∵ AD ＝ 2DB ，CD ＝ CA ＋ λCB ，∴ CD ＝ CA ＋ AD ＝ CA ＋ AB ＝ CA ＋3 (CB － CA)＝ CA ＋ CB ，3333∴ λ＝ 2.32． △ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量→ →a ，b 知足 AB ＝ 2a ， AC ＝ 2a ＋ b ，则以下结论正确的选项是 ________．① |b|＝ 1; ② a ⊥ b ；→③ a ·b ＝ 1; ④ (4a ＋ b)⊥BC.答案 ④分析→ → →在 △ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝ 2a ＋ b － 2a ＝ b ，得 |b|＝ 2.又 |a|＝ 1，因此 a ·b ＝ |a||b|cos 120 ＝°－ 1，→ 2因此 (4a ＋ b) ·BC ＝ (4a ＋ b) ·b ＝ 4a ·b ＋ |b|＝ 4×(－ 1)＋ 4＝ 0，→因此 (4a ＋ b)⊥ BC.→ → → → → →3．在等腰 △ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝ 2，BC ＝ 2BD ，AC ＝ 3AE ，则 AD ·BE ＝ ________.答案－43分析由已知获得→ → 1→→→1 →1 →2 1 → → 1 → → 1 → 2，AD ·BE ＝(AB ＋ AC) ·(BA ＋ AC) ＝－2AB ＋ AB ·AC ＋2 AC ·BA ＋ AC2366→ → 1212△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝ 90 °， AB ＝ AC ＝2，因此 AD ·BE ＝－ 2×2 ＋ 0＋0＋ 6×24＝－ 3.4． (2016 ·津蓟县期中天 )已知向量 a ， b 知足 (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1， |b|＝ 2，则 a与 b 的夹角为 ________．答案π 3分析设 a 与 b 的夹角为θ，∵ (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1，|b|＝ 2，∴ 1＋a ·b － 8＝－ 6，∴ a ·b ＝ 1＝|a||b |cos θ，∴ cos θ＝ 1，2π又∵ θ∈ [0，π]，∴ θ＝3.5． (2016 安·徽江淮十校第二次联考 )已知平面向量 a 、b(a ≠0， a ≠b)知足 |a|＝ 3，且 b 与 b － a 的夹角为 30°，则 |b|的最大值为 ________．答案 6分析→ → → → →令OA ＝ a ， OB ＝ b ，则 b － a ＝ OB －OA ＝AB ，如图，∵ b 与 b － a 的夹角为 30°，∴∠ OBA ＝30°，→→→→，∴由正弦定理|OA| ＝ |OB|得， ∵ |a| ＝ |OA |＝ 3 sin ∠ OBA sin ∠ OAB |b|＝ | OB | ＝6·sin ∠ OAB ≤ 6.6．已知向量 a ＝ (2,1)，b ＝ (－ 1， 2)，若 a ， b 在向量 c 方向上的投影相等，且 (c － a) ·(c － b) ＝－ 5，则向量 c 的坐标为 ________．21 3答案 (2，2)分析设 c ＝ (x ， y)，依据题意有x 2＋ y 2－ x － 3y ＝－ 5，22x ＋ y ＝－ x ＋ 2y ，1，x ＝ 2解得3y ＝ 2.→→ → 7．设向量 OA ＝ (5＋ cos θ，4＋ sin θ)， OB ＝ (2,0) ，则 |AB|的取值范围是 ________．答案[4,6]分析→ → →＝ (－ 3－ cos θ，－ 4－ sin θ)，∵AB ＝OB －OA → 2 2 2 ∴ |AB| ＝ (－ 3－cos θ) ＋( －4－ sin θ)＝ 6cos θ＋ 8sin θ＋26＝ 10sin(θ＋ φ)＋ 26，此中 tan φ＝ 3，4→ 2 →∴ 16≤|AB | ≤ 36，∴ 4≤|AB| ≤ 6.8．设向量 a ＝ (a 1， a 2)， b ＝ (b 1， b 2)，定义一种向量积 a?b ＝ (a 1b 1， a 2b 2)，已知向量 m ＝(2 ， 1 π →2)，n ＝ (，0)，点 P(x ，y)在 y ＝ sin x 的图象上运动， Q 是函数 y ＝ f(x)图象上的点，且知足 OQ3→为坐标原点 )，则函数 y ＝ f( x)的值域是 ________．＝ m?OP ＋ n(此中 O1 1 答案 [－ 2， 2]分析令 Q(c ，d)，由新的运算可得→ →1 π π 1sin x)， OQ ＝ m?OP ＋ n ＝(2x ，sin x)＋ ( ， 0)＝ (2x ＋，233 2π， 11∴c ＝2x ＋ 3π1消去 x 得 d ＝sin( c － )，22 6d ＝ 2sin x ，1 1π1 1] ．∴ y ＝ f( x)＝ sin(x －)，易知 y ＝ f(x)的值域是 [－，2262 2π9．设向量 a ＝ ( 3sin x ， sin x)， b ＝(cos x ，sin x)， x ∈ [0， 2]．(1) 若 |a|＝ |b|，求 x 的值；(2) 设函数 f(x)＝ a ·b ，求 f(x)的最大值．解(1)由 |a|2＝ ( 3sin x)2＋ (sin x)2＝ 4sin 2x ，222＝ 1，|b| ＝(cos x) ＋ (sin x) 及 |a|＝ |b|，得 4sin 2x ＝ 1.π1π又 x ∈ [0， ]，进而 sin x ＝，因此 x ＝ .22 62(2) f(x)＝ a ·b ＝ 3sin x ·cos x ＋ sin x＝3 1 1π 1，2sin 2x － cos 2x ＋＝ sin(2x － )＋ 2262π π π1，当 x ＝ ∈ [0， ] 时， sin(2 x －)取最大值326因此 f( x)的最大值为32.10．已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos x ， sin x)， c ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)，此中 0<α<x<π.π(1) 若 α＝4，求函数 f(x)＝ b ·c 的最小值及相应 x 的值；π (2) 若 a 与 b 的夹角为，且 a ⊥ c ，求 tan 2α的值．3解 (1)∵ b ＝ (cos x ， sin x)，πc ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)， α＝ 4，∴ f(x)＝ b ·c＝ cos xsin x ＋ 2cos xsin α＋sin xcos x ＋2sin xcos α＝ 2sin xcos x ＋ 2(sin x ＋ cos x)．π令 t ＝ sin x ＋cos x 4<x<π ，则 2sin xcos x ＝ t 2 －1，且－ 1<t< 2.则 y ＝ t 2＋ 2t － 1＝ t ＋2 2－3，－ 1<t< 2，2 2∴ t ＝－ 2时， y min ＝－3，此时 sin x ＋ cos x ＝－ 2， 2 2 2 即 2sin x ＋ π＝－ 2，42π π π 5π，∵ <x<π，∴ <x ＋ <424 4 π 7 11π∴ x ＋＝ π，∴ x ＝12 .46∴函数 f(x)的最小值为－ 3，相应 x 的值为 11π2 12.π(2) ∵ a 与 b 的夹角为，3π a ·b∴ cos＝＝ cos αcos x ＋ sin αsin x3 |a| ·|b|＝ cos(x － α)．π∵ 0< α<x<π，∴ 0<x － α<π，∴ x － α＝3.∵ a ⊥ c ，∴ cos α(sin x ＋ 2sin α)＋ sin α(cos x ＋ 2cos α)＝ 0，π∴ sin(x ＋ α)＋ 2sin 2α＝ 0，即 sin 2α＋3 ＋ 2sin 2α＝ 0.5 sin 2α＋ 3 3. ∴ 2cos 2α＝0，∴ tan 2α＝－52B 组能力提升11．已知非零单位向量a 与非零向量b 知足 |a ＋b|＝ |a － b|，则向量 b － a 在向量 a 上的投影为 ________．答案－1分析因为 |a ＋ b|＝ |a － b|，因此 (a ＋ b)2＝ (a － b)2，2解得 a ·b ＝ 0，因此向量 b － a 在向量 a 上的投影为 |b － a|cos 〈 a ， b － a 〉＝a ·(b －a)＝0－|a||a||a|＝－ |a|＝－ 1.→ → →AB AC12．已知点 P 为 △ ABC 所在平面内一点，且知足 AP ＝ λ( → ＋ →)(λ∈ R)，则直线 |AB|cos B |AC|cos CAP 必经过 △ ABC 的 ________心．答案垂→ → →AB AC分析 ∵BC ·( → ＋ → )|AB|cos B |AC|cos C→ →＝－ |BC|＋ |BC|＝ 0，→ → →AB AC∴ BC 与 λ( → ＋ →)垂直，|AB|cos B |AC|cos C→ →AP 经过 △ABC 的垂心．∴ AP ⊥ BC ，∴点 P 在 BC 的高线上，即直线13．若 a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，若〈 a ，b 〉为钝角，则实数 λ的取值范围是 ______________．答案3 (－ ∞，－ 3)∪( －3，－ )2分析3 ∵ a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，∴ a ·b ＝ 3(2＋ λ)＋ λ<0，得 λ<－ .若 a ，b 共线，则 λ(2＋ λ)2－ 3＝ 0，解得λ＝－ 3 或λ＝1.即当λ＝－ 3 时， a， b 方向相反，3又〈 a， b〉为钝角，则λ<－且λ≠－ 3.14．在直角坐标系xOy 中，已知点A(1,1)， B(2,3)， C(3,2) ，点 P(x， y)在△ABC 三边围成的地区 (含界限 )上．→→→→(1) 若 PA＋PB ＋ PC＝ 0，求 |OP|；→→→(2) 设 OP＝mAB＋ nAC(m， n∈ R)，用 x， y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值．解 (1)方法一→ →→∵ PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→又 PA＋ PB＋ PC＝ (1－ x,1－ y)＋ (2－x,3－ y)＋ (3－ x,2－ y)＝(6 －3x,6－ 3y)，6－ 3x＝ 0，x＝2，∴解得6－ 3y＝ 0，y＝2，→→即 OP＝ (2,2)，故 |OP|＝ 2 2.方法二→→→∵PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→→→→则 (OA－ OP)＋(OB －OP) ＋(OC－OP) ＝0，→1→→→→2.∴ OP＝3(OA＋ OB＋ OC)＝(2,2)，∴ |OP|＝ 2→→→(2) ∵ OP＝mAB＋ nAC，x＝ m＋2n，∴ (x， y)＝ (m＋ 2n， 2m＋ n)，∴y＝ 2m＋ n，两式相减得， m－ n＝ y－ x.令 y－x＝ t，由图知，当直线y＝ x＋t 过点B(2,3) 时， t 获得最大值 1，故 m－ n 的最大值为1.。

2023年江苏高考数学真题及参考答案

2023年江苏高考数学真题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012，，，，--=M ，{}062>--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}1012，，，--B .{}2,1,0C .{}2-D .{}22.已知iiz 221+-=，则=-z z （）A .i -B .iC .0D .13.已知向量()1,1=a，()1,1-=b .若()()b a b a μλ+⊥+，则（）A .1=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1-=λμ4.设函数()()a x x x f -=2在区间()1,0单调递减，则a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .[)0,2-C .(]2,0D .[)∞+，25.设椭圆12221=+y a x C ：()1>a ，14222=+y x C ：的离心率分别21,e e .若123e e =，则=a （）A .332B .2C .3D .66.过点()20-，与圆01422=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin （）A .1B .415C .410D .467.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则（）A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()31sin =-βα，61sin cos =βα，则()=+βα22cos （）A .97B .91C .91-D .97-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据621,,x x x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A .5432,,,x x x x 的平均数等于621,,x x x 的平均数B .5432,,,x x x x 的中位数等于621,,x x x 的中位数C .5432,,,x x x x 的标准差不小于621,,x x x 的标准差D .5432,,,x x x x 的极差不大于621,,x x x 的极差10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级lg20p pL p ⨯=，其中常数()000>p p 是听觉下线的阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为321,,p p p ，则（）A .21p p >B .3210p p >C .03100p p =D .21100p p <11.已知函数()x f 的定义域为R ，()()()y f x x f y xy f 22+=，则（）A .()00=fB .()01=f C .()x f 是偶函数D .0=x 为()x f 的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A .直径为m 99.0的球体B .所有棱长均为m 4.1的四面体C .底面直径为m 01.0，高为m 8.1的圆柱体D .底面直径为m 2.1，高为m 01.0的圆柱体声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）.14.在正四棱台1111D C B A ABCD -中，2=AB ，111=B A ，21=AA ，则该棱台的体积为.15.已知函数()()01cos >-=ωωx x f 在区间[]π2,0有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为21F F ，，点A 在C 上.点B 在y 轴上，B F A F 11⊥，B F A F 2232-=，则C 的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC ∆中，C B A 3=+，()B C A sin sin 2=-.（1）求A sin ；（2）设5=AB ，求AB 边上的高.18.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，41=AA .点2222,,,D C B A 分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上，12=AA ，222==DD BB ，32=CC .（1）证明：2222D A C B ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222D C A P --为150°时，求P B 2.19.已知函数()()x a e a x f x-+=.（1）讨论()x f 的单调性；（2）证明：当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1>d ，令nn a nn b +=2，记n n T S ,分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若31223a a a +=，2133=+T S ，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999=-T S ，求d .21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为6.0，乙每次投篮的命中率均为8.0，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为5.0.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()i i i q X P X P ==-==011，n i ,,2,1 =，则()∑∑===ni i ni i q X E11，记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()Y E .22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33.参考答案一、选择题12345678CADDABCB1.解：(][)∞+⋃-∞-∈，，32N ，∴{}2=⋂N M 2.解：i i i z 21221-=+-=，∴i z z -=-3.解：()()b a b aμλ+⊥+∵，∴()()()01222=+=+⋅++λμλμμλb b a a ，∴1-=λμ4.解：由复合函数的单调性可知()a x x y -=在区间()1,0单调递减，∴12≥a，∴a 的取值范围是[)∞+，2.5.解：由题意得：a a e 121-=，232=e ，得2112=-a a ，解得332=a .6.解：易得()5222=+-y x ，故圆心()0,2B ，5=R 记()20-，A ，设切点为N M ,，则22=AB ，5=BM ，可得3=AM 223sin 2sin==∠=AB AM MBA α，2252cos =α∴4152cos 2sin 2sin ααα=7.解：甲：∵{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则()d n n na S n 211++=，∴222111d a n d d n a n S n -+=-+=，211d n S n S n n =-++，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，即()()()1111111+-=++-=-++++n n S na n n S n nS n S n S n n n n n n 为常数，设为t ，即()t n n S na nn =+-+11，故()11+⋅-=+n n t na S n n ，故()()111-⋅--=-n n t a n S n n ，2≥n ，两式相减有：()tn n a na a n n n 211---=+，即t a a n n 21=-+，对1=n 也成立，故{}n a 为等差数列，∴甲是乙的必要条件综上，甲是乙的充要条件.8.解：∵()31sin cos cos sin sin =-=-βαβαβα，61sin cos =βα，则21cos sin =βα，故()326131sin cos cos sin sin =+=+=+βαβαβα.()()913221sin 2122cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=+-=+βαβα.二、选择题9101112BDACDABCABD10.解：∵0lg 20lg 20lg2021020121≥⨯=⨯-⨯=-p p p p p p L L ，∴121≥p p，即21p p >∴A 正确；10lg 203232>⨯=-p p L L ，即21lg 32>p p ，∴213210>p p ，∴B 错误；∵40lg20033=⨯=p p L ，∴10010203==p p，∴C 正确；405090lg202121=-≤⨯=-p p L L ，∴2lg 21≤p p ，∴10021≤p p，∴D 正确.11.解：选项A ，令0==y x ，则()()()000000=⨯+⨯=f f f ，故A 正确；选项B ，令1==y x ，则()()()11111f f f ⨯+⨯=，则()01=f 故B 正确；选项C，令1-==y x ，则()()()()()1111122-⨯-+-⨯-=f f f ，则()01=f ，再令1-=y ，则()()()()1122-+⨯-=-f x x f x f ，即()()x f x f =-，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以22yx ()022≠y x，得到：()()()2222xx f y y f y x xy f +=，故可设()()0ln 2≠=x x x x f ，故可以得到()⎩⎨⎧=≠=0,00,ln 2x x x x x f ，故D 错误.12.解：选项A，球直径为199.0<，故球体可以放入正方体容器内，故A 正确；选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为4.12>，故B 正确；选项C，底面直径m 01.0，可以忽略不计，但高为38.1>，3为正方体的体对角线的长，故C 不正确；选项D，底面直径为32.1<，高为m 01.0的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D 正确.三、填空题13.64；14.667；15.32<≤ω；16.55313.解：当从这8门课中选修2门课时，共有161414=C C ；当从这8门课中选修3门课时，共有4814242414=+C C C C ；综上共有64种.14.解：如图，将正四棱台1111D C B A ABCD -补成正四棱锥，则2=AO ，22=SA ，261=OO ，故()()667261212313122222121=⋅⋅++=++=h S S S S V .15.解：令()01cos =-=x x f ω得1cos =x ω，又[]π2,0∈x ，则[]ωπω2,0∈x ，∴ππωπ624<≤，即32<≤ω.16.解：由B F A F 2232-=32=，设x A F 22-=，x B F 32=.由对称性可得x 3=，由定义可得，a x 22+=x 5=，设θ=∠21AF F ，则5353sin ==x x θ，∴xax 52254cos +==θ，解得a x =，∴a x AF 221+=，a AF 22=，在21F AF ∆中，由余弦定理可得54164416cos 2222=-+=a c a a θ，即2295a c =可得553=e .四、解答题17.解：（1）由题意得C B A 3=+，∴，π==++C C B A 4，∴4π=C ∴A C A B -=--=43ππ，∵()B C A sin sin 2=-，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ43sin 4sin 2，即A A A A sin 22cos 22cos 22sin 222+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，整理得：A A cos 3sin =又∵1cos sin 22=+A A ，()π，0∈A ∴0sin >A ，∴0cos >A 解得10103sin =A ，1010cos =A （2）∵()552sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B 由正弦定理可知C c B b sin sin =，即22510103=b ，解得102=b 设AB 边上的高为h ，∵ch A bc S 21sin 21==，∴6sin ==A b h 18.解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴建立空间直角坐标系则()2,2,02B ，()3,0,02C ，()1,222，A ，()2,0,22D （1）∵()1,2022-=，C B ，()12022，，-=D A ∴=22C B 22D A ，∴2222D A C B ∥（2）设()t P ,2,0，其中42≤≤t ∴()t P A -=1022，，，()t PC --=3,202，，()1,0,222-=C D ，()12,022-=，A D .设平面22C P A 的一个法向量为()z y x m ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022PC m P A m 即()()⎩⎨⎧=-+-=-+032012z t y z t x ，令2=z ，则()2,3,1t t m --=.设平面222C A D 的一个法向量为()z y x n '''=,, ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222C D n A D n即⎩⎨⎧=-'=+'-0202z y z x ，令2=z ，则()2,1,1=n .∵二面角222D C A P --为150°，∴2314826150cos 2=+-=︒⇒=t t ，解得：1=t （舍去）或3=t .∴12=P B 19.解：（1）由题可得()1-='xae x f ①当0≤a 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+∞-，单调递减；②当0>a 时，令()0='x f 得ax ln -=∴当()a x ln ,-∞-∈时，()0<'x f ，()x f 在()a ln ,-∞-单调递减；当()∞+-∈，a x ln 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+-，a ln 单调递增.（2）由（1）得当0>a 时，()()a a a f x f ln 1ln 2min ++=-=.设()21ln 23ln 2ln 122--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=a a a a a a g ，则()a a a g 12-='，令()0='a g 可得22=a ∴当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0a 时，()0<'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0上单调递减；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，22a 时，()0>'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，22上单调递增.∴()02ln 22min >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=g a g ，故()0>a g ，∴当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.解：（1）∵31223a a a +=，∴d a a d 2313+==，即d a =1，nd a n =故nd a n =，∴d n a n n b n n 12+=+=，()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=，又2133=+T S ，即21263243=⨯+⨯dd ，即03722=+-d d ，解得3=d 或21=d （舍），故{}n a 的通项公式为：n a n 3=.（2）若{}n b 为等差数列，则3122b b b +=，即da a d a 24321322111+⨯+⨯=+⨯⋅，即0232121=+-d d a a ，∴d a =1或d a 21=，当d a =1时，nd a n =，故()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=.又999999=-T S ，即99210299210099=⨯-⨯dd ，即051502=--d d ，∴5051=d 或1=d （舍）.当d a 21=时，()d n a n 1+=，d n b n =，故()23d n n S n +=，()dn n T n 21+=.又999999=-T S ，即99210099210299=⨯-⨯dd ，即050512=--d d ，∴5051-=d （舍）或1=d （舍）.综上所述：5051=d .21.解：（1）第二次是乙的概率为6.08.05.04.05.0=⨯+⨯.（2）第i 次投篮的人是甲的概率为i p ，则第i 次投篮的人是甲的概率为i p -1，则()2.04.012.06.01+=-+=+i i i i p p p p ，构造等比数列()λλ+=++i i p p 521，解得31-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3152311i i p p ，又211=p ，∴61311=-p ∴1526131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-i i p ，则3152611+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-i i p .（3）当*∈N n 时，()352118535215216121n n p p p Y E n nn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++= .11当0=n 时，()0=Y E ，符合上式，故()3521185n Y E n+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=.22.解：（1）设()y x P ,，∵点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y x y ，化简得412+=x y .故W 的方程为412+=x y .（2）不妨设D B A ,,三点在W 上，且有DA BA ⊥.设⎪⎭⎫ ⎝⎛+41,2a a A ，设DA BA ，的斜率分别为kk 1-，，由对称性不妨设1≤k ，则直线BA 的方程为：()412++-=a a x k y 联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=414122a a x k y x y ，整理可得：022=-+-a ka kx x ，则kx x B A =+∴()()ak k y y x x AB B A B A 21222-+=-+-=同理可得：a kk AD 21112++=∴CD AB +a k k 212-+=a kk 21112+++()232221112121k k k k k a k a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+≥设()()313123+++=+=m m m mm m f ，则()()()222112132m m m m m m f +-=-+='，可知()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛021，上单调递增，∴()m f 在()10，上最小值为42721=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()3232≥=+kf CD AB ，由于两处相等的条件不一致，∴矩形ABCD 的周长为()332>+CD AB .。

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江苏高考数学专题复习专题一函数与导数1第1课时函数的图象与性质1第2课时导数及其应用5第3课时函数与方程8第4课时函数与导数的综合应用10专题二三角函数与平面向量14第1课时三角函数的图象与性质14第2课时平面向量、解三角形17第3课时三角函数与向量的综合问题21专题三不等式25第1课时基本不等式及其应用25第2课时不等式的解法与三个“二次”的关系29 专题四数列31第1课时等差、等比数列31第2课时数列的求和34第3课时数列的综合应用38专题五立体几何42第1课时平行与垂直42第2课时面积与体积47专题六平面解析几何52第1课时直线与圆52第2课时圆锥曲线56第3课时圆锥曲线的定点、定值问题60第4课时圆锥曲线的范围问题64专题七应用题67专题八理科选修72第1课时空间向量72第2课时离散型随机变量的概率分布76第3课时二项式定理80第4课时数学归纳法84专题九思想方法88第1课时函数与方程思想88第2课时数形结合思想92第3课时分类讨论思想95第4课时等价转化思想98专题一函数与导数考情分析函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是函数的性质及其应用；二是分段函数的求值问题；三是函数图象的应用；四是方程根与函数零点转化问题；五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上，对考生的理解能力、计算能力、数学思想等方面要求较高.第1课时函数的图象与性质考点展示 1.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 2.(2016·江苏)设f ()x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)－1，1上，f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f ()5a 的值是________. 3.(17苏北三市三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________.第3题图4.(17无锡一调)已知f ()x ＝⎩⎨⎧2x－3，x >0g ()x ，x <0是奇函数，则f ()g ()－2＝________.5.(17无锡一调)若函数f ()x 在[]m ，n ()m <n 上的值域恰好是[]m ，n ，则称[]m ，n 为函数f ()x 的一个“等值映射区间”.下列函数：①y ＝x 2－1，②y ＝2＋log 2x ，③y ＝2x－1，④y＝1x －1，其中存在唯一一个“等值映射区间”的函数有________个. 6.(17镇江一调)不等式log a x －ln 2x <4()a >0，且a ≠1对任意x ∈()1，100恒成立，则实数a 的取值范围为________.热点题型题型1__函数的图象与性质【例1】 (1)已知函数y ＝f ()x 是奇函数，当x <0时，f ()x ＝x 2＋ax ()a ∈R ，且f ()2＝6，则a ＝______.(2)已知函数f ()x 是定义在R 上且周期为4的偶函数.当x ∈[]2，4时，f ()x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为__________.【变式训练】 (1)已知f ()x 是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f ()x ＝x 2－4x ，则不等式f ()x >x 的解集为________.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5()a >1.①若f (x )的定义域和值域均是[]1，a ，求实数a 的值；②若f (x )在区间()－∞，2上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[]1，a ＋1，总有||f （x 1）－f （x 2）≤4，求实数a 的取值范围.题型2__函数图象的识别与应用【例2】已知函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x的图象共有k ()k ∈N *个公共点：A 1()x 1，y 1，A 2()x 2，y 2，…，A k ()x k ，y k ，则1()ki i i x y =+∑＝________.【变式训练】已知函数f (x )()x ∈R 满足f ()－x ＝2－f ()x ，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为()x 1，y 1，()x 2，y 2，…，()x m ，y m ，则1()miii x y =+∑＝________.题型3__利用函数图象解决复合函数零点个数问题【例3】已知函数f ()x ＝||x 2－4x ＋3，若方程[]f ()x 2＋bf ()x ＋c ＝0恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是________.【变式训练】已知函数f ()x ＝x 3－3x 2＋1，g ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1，x >0－()x ＋32＋1，x ≤0，则方程g []f ()x －a ＝0(a 为正实数)的实数根最多有________.题型4__函数的图象与性质的综合应用【例4】设函数f (x )＝a x －()k －1a －x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数. (1)求k 值；(2)若f (1)<0，试判断函数的单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围；(3)若f (1)＝32，且g ()x ＝a 2x ＋a －2x－2mf ()x ，在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值.【变式训练】已知函数f (x )满足f (x )＝2f (x ＋2)，且当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x ＋ax (a <－12)，当x ∈(－4，－2)时，f (x )的最大值为－4.(1)求实数a 的值；(2)设b ≠0，函数g (x )＝13bx 3－bx ，x ∈(1，2).若对任意x 1∈(1，2)，总存在x 2∈(1，2)，使f (x 1)＝g (x 2)，求实数b 的取值范围.第2课时导数及其应用考点展示1.(17南通三调)若直线y ＝2x ＋b 为曲线y ＝e x＋x 的一条切线，则实数b 的值是________.2.(2017·江苏)已知函数f ()x ＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然数对数的底数，若f ()a －1＋f ()2a 2≤0，则实数a 的取值范围是________.3.(17镇江一调)已知函数f ()x ＝x ln x ，g ()x ＝λ()x 2－1(λ为常数)，函数y ＝f ()x 与y ＝g ()x 在x ＝1处有相同的切线，则实数λ的值为________.4.(17南通10套)设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________.5.(17南京三调)若函数f ()x ＝e x()－x 2＋2x ＋a 在区间[]a ，a ＋1上单调递增，则实数a 的最大值为________.6.若点P ，Q 分别是曲线y ＝x ＋4x与直线4x ＋y ＝0上的动点，则线段PQ 长的最小值为________.热点题型题型1__导数的几何意义【例1】设曲线y ＝ax －a －ln x 在点(1，0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝________.【变式训练】 (1)设函数f ()x ＝ax 2＋x ＋b ln x ，曲线y ＝f ()x 过点P ()1，0，且在点P 处的切线斜率为2，则a ＋b ＝________.(2)已知曲线y ＝2x －mx()x ∈R ，m ≠－2在x ＝1处切线为直线l ，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则实数m 的值为________.题型2__利用导数研究函数的单调性【例2】已知函数f (x )＝e x(2x －1)－x ＋1(a ∈R )，则函数f (x )的单调增区间为__________.【变式训练】 (1)已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋bx ，若f (x )在区间[1，2]上不是单调函数，则实数b 的取值范围为________.(2)设函数f ()x ＝ln x ＋m x(m ∈R )，若对任意b ＞a ＞0，f ()b －f ()a b －a＜1恒成立，则m 的取值范围是________.题型3__利用导数研究函数的极值(最值)问题【例3】已知λ∈R ，函数f ()x ＝e x－e x －λ()x ln x －x ＋1的导函数为g ()x ，若函数g ()x 存在极值，求λ的取值范围.【变式训练】已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e ≈2.71828….(1)当a <0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e ]上有两个不同实数解，求a b的取值范围.题型4__导数的实际应用【例4】某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时(其中64<x <100)，中间每个桥墩的平均造价为803x 万元，桥面每1米长的平均造价为(2＋x x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x 的函数f (x )；(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A 、B 除外)应建多少个桥墩？【变式训练】如图，半径为30cm 的圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设OB 与矩形材料的边OA 的夹角为θ，圆柱的体积为V cm 3.(1)求V 关于θ的函数关系式，并写出定义域； (2)求圆柱形罐子体积V 的最大值.第3课时函数与方程考点展示1.若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则实数a 的取值范围是________. 2.若方程lg x ＋x －3＝0的近似解在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，则k ＝________. 3.函数f ()x ＝x －ln x －1在定义域上有________个零点. 4.已知函数f ()x 对任意的x ∈R 满足f ()－x ＝f ()x ，且当x ≥0时，f ()x ＝x 2－ax ＋1；若f ()x 有4个零点，则实数a 的取值范围是________.5.若函数f ()x ＝4－x 2－x ＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________.6.(17苏锡常镇一调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x <1ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝||f （x ）－18的零点的个数为________.热点题型题型1__函数与方程的相互转化【例1】已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是____________.【变式训练】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，()x >03x ，()x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是__________.题型2__利用零点存在性定理证明函数的零点或方程的根【例2】已知函数f ()x ＝x －a ln x ()a >e .求证：函数f ()x 有且只有两个零点.【变式训练】已知函数f ()x ＝ln x ＋10x－4.求证：函数f ()x 有且只有两个零点.题型3__已知根的分布求参数的范围【例3】已知函数f ()x ＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ()a >0.若函数f ()x 在区间()－2，0内恰有两个零点，则a 的取值范围是____________.【变式训练】已知函数f ()x ＝()2－a x －2()1＋ln x ＋a .若函数f ()x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值.题型4__函数与方程的综合应用【例4】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.【变式训练】已知函数f ()x ＝2x 3＋ax 2＋bx ＋c ()a ，b ，c ∈R ，若x ＝1和x ＝2是函数f ()x 的两个极值点.求：(1)a ，b 的值；(2)函数f ()x 在区间[]0，3上的零点个数.第4课时函数与导数的综合应用考点展示1.(17南通二调)函数f (x )＝lg ()5－x 2的定义域是__________.2.(17南通十套)若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________.3.(17南通十套)函数y ＝||log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，32的值域为________. 4.(17南通十套)设函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <12x 2，x ≥1，则满足f()f ()a ＝2()f ()a 2的a 的取值范围为________.5.(17南通三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x <a .若函数g (x )＝2f (x )－ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.6.(17南通十套)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )2(b ≠0)，不等式f (x )≥mxf ′(x )对∀x ∈R 恒成立，则2m ＋a －b ＝________.热点题型题型1__函数性质的综合问题【例1】已知函数f ()x ＝4x－2x，实数s ，t 满足f ()s ＋f ()t ＝0，设a ＝2s＋2t，b ＝2s ＋t .(1)当函数f ()x 的定义域为[]－1，1时，求f ()x 的值域；(2)求函数关系式b ＝g ()a ，并求函数g ()a 的定义域；(3)求8s ＋8t的取值范围.【变式训练】已知函数f ()x ＝()ax 2＋x ＋2e x()a >0，其中e 是自然对数的底数. (1)当a ＝2时，求f ()x 的极值；(2)若f ()x 在[]－2，2上是单调增函数，求实数a 的取值范围.题型2__函数、导数性质的综合问题【例2】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1()a >0，b ∈R 有极值，且导函数f ′()x 的极值点是f ()x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 2>3a ；(3)若f ()x ，f ′()x 这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围.【变式训练】已知函数f (x )＝e x(a ln x ＋2x＋b )，其中a ，b ∈R .(e ＝2.71828是自然对数的底数)(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1).求实数a ，b 的值；(2)若a ＝－2时，函数y ＝f (x )既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围.题型3__函数、导数在研究不等式问题中的应用【例3】已知函数f ()x ＝e x＋e －x.(其中e 是自然对数的底数) (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf ()x ≤e －x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立.试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论.【变式训练】已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1).(1)设a ＝2，b ＝12；①求方程f (x )＝2的根；②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值；(2)若0<a <1，b ＞1，函数g ()x ＝f ()x －2有且只有1个零点，求ab 的值.题型4__实际问题【例4】某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l .(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问当α为何值l 最小，并求最小值.【变式训练】如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN ＝x (m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2).(1)用x 的代数式表示AM ；(2)求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；(3)当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？专题二三角函数与平面向量考情分析三角函数与平面向量在高考中通常有三个小题和一个大题，三角函数主要考点有：一是三角函数的图象与性质；二是两角和与差的三角函数公式；三是解三角形。