江苏高考数学专题复习集合及其应用
2023年新高考数学大一轮复习专题01 集合(原卷版)
专题01 集合【考点预测】 1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且． 4、集合的运算性质 （1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．【题型归纳目录】题型一：集合的表示：列举法、描述法 题型二：集合元素的三大特征 题型三：集合与集合之间的关系 题型四：集合的交、并、补运算 题型五：集合与排列组合的密切结合 题型六：集合的创新定义【题型一】集合的表示：列举法、描述法 【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.2.描述法，注意代表元素.例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无数个例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,y C z z x x A y B ==∈∈ ，则C 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【题型二】 集合元素的三大特征 【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【方法技巧与总结】1.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
(江苏专用)高考数学总复习 专题1.1 集合试题(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题1.1 集合【三年高考】1．【2017高考某某1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防X 空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．【2016高考某某1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确某某高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2．【2015高考某某1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算3．【2014某某1】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=. 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-.4.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。
2020高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件第1讲 集合及其运算 .ppt
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第1讲 集合及其运算
双
向
固 基
2．已知集合 A＝{2a，3}，B＝{2，3}．若 A∪B＝{1，2，
础 3}，则实数 a 的值为________．
[答案] 0 [解析] 由题意知 2a＝1，解得 a＝0.
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第1讲 集合及其运算
双 向
2．集合问题中的两个难点
固
(1)1∈{x|x2＋ax＋1＝0}和{x|x2＋ax＋1＝0}＝{1}的含
基 础
义相同．(
)
(2)一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素
所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集．这里的“或”与
生活中的“或”意思相同．( ) [答案] (1)× (2) ×
第1讲 集合及其运算
双
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固
基
(5)集合的代表元素
础
集 合
{x|f(x)＝0}
{x|f(x)>0}
{x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
集 方程f(x)＝
函数y＝
合 含
0的___解__集___
不等式 f(x) >0 的解集
f_(_x)_的__定___ 义域
义
函数y＝f(x)
(3)对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、
非空子集、非空真子集的个数依次为 2n，2n－1，2n－1，2n
－2.
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第1讲 集合及其运算
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1．设 A＝{(x，y)|y＝－4x＋6}，B＝{(x，y)|y＝5x－3}，
2024届新高考数学复习：专项(集合及其运算)好题练习(附答案)
2024届新高考数学复习：专项（集合及其运算）好题练习[基础巩固]一、选择题1．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知集合M ＝{－2，－1，0，1，2}，N ＝{x |x 2－x －6≥0}，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1，0，1}B ．{0，1，2}C ．{－2}D ．22．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设集合A ＝{0，－a }，B ＝{1，a －2，2a －2}，若A ⊆B ，则a ＝( )A ．2B ．1C ．23D ．－13．[2023ꞏ全国甲卷(文)]设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，4}，N ＝{2，5}，则N ∪∁U M ＝( )A ．{2，3，5}B ．{1，3，4}C ．{1，2，4，5}D ．{2，3，4，5}4．[2023ꞏ全国统一考试模拟演练]已知M ，N 均为R 的子集，且(∁R M )⊆N ，则M ∪(∁R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R5．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，1]若集合M ＝{x |x <4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x <2}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <2 C ．{x |3≤x <16} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <166．[2022ꞏ全国甲卷(理)，3]设全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{－2，1}D ．{－2，0}7．设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}8．[2023ꞏ全国乙卷(文)]设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁U N＝()A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8} D．U9．[2023ꞏ全国甲卷(理)]设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅二、填空题10．已知U＝{1，2，a2－2a－3}，A＝{|a－2|，2}，∁U A＝{0}，则a的值为________．11．[2023ꞏ衡水一中测试]已知集合M＝{x|1－a<x<2a}，N＝(1，4)，且M∩N＝M，则实数a的取值范围是________．12．集合A＝{x|2≤x≤6－m}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围为________．[强化练习]13．[2023ꞏ全国乙卷(理)]设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝()A．∁U(M∪N) B．N∪∁U MC．∁U(M∩N) D．M∪∁U N14．(多选)[2023ꞏ武汉部分重点中学联考]已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，若A∪B ＝A，则实数m的值可能为()A．0 B．1C．2 D．315．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含任何元素，则实数a的取值范围是________．16．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则实数m 的取值范围是________________________________________________．参考答案1．C 方法一 因为N ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}，所以M ∩N ＝{－2}，故选C.方法二 由于1∈/N ，所以1∈/M ∩N ，排除A ，B ；由于2∈/N ，所以2∈/M ∩N ，排除D.故选C.2．B 依题意，有a －2＝0或2a －2＝0.当a －2＝0时，解得a ＝2，此时A ＝{0，－2}，B ＝{1，0，2}，不满足A ⊆B ；当2a －2＝0时，解得a ＝1，此时A ＝{0，－1}，B ＝{－1，0，1}，满足A ⊆B .所以a ＝1，故选B.3．A 由题意知，∁U M ＝{2，3，5}，又N ＝{2，5}，所以N ∪∁U M ＝{2，3，5}，故选A.4．B 方法一 由(∁R M )⊆N ，得(∁R N )⊆M ，所以M ∪(∁R N )＝M ，故选B.方法二 根据题意作出集合M ，N ，如图所示，集合M 为图中阴影部分，集合N 为图中除内部小圆之外的部分，显然满足(∁R M )⊆N ，由图易得(∁R N )⊆M ，所以M ∪(∁R N )＝M ，故选B.5．D 由x ＜4，得0≤x ＜16，即M ＝{x |0≤x ＜16}．易得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥13 ，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <16 .故选D. 6．D 因为方程x 2－4x ＋3＝0的解为x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}．又A ＝{－1，2}，所以A ∪B ＝{－1，1，2，3}．因为U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，0}．故选D.7．B ∵∁R B ＝{x |x <1}，∴A ∩∁R B ＝{x |0<x <2}∩{x |x <1}＝{x |0<x <1}．8．A 由题意知，∁U N ＝{2，4，8}，所以M ∪∁U N ＝{0，2，4，6，8}．故选A.9．A 方法一 M ＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N ＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M ∪N ＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U (M ∪N )＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U (M ∪N )＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，故选A.方法二 集合M ∪N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.10．3答案解析：由U ＝{1，2，a 2－2a －3}，∁U A ＝{0}可得a 2－2a －3＝0.又A ＝{|a －2|，2}，故|a －2|＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，|a －2|＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）（a ＋1）＝0，a －2＝±1， 解得a ＝3. 11.⎝⎛⎦⎤－∞，13 答案解析：因为M ∩N ＝M ，所以M ⊆N .当M ＝∅时，1－a ≥2a ，解得a ≤13 ；当M ≠∅时，a >13 且⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤4，1－a ≥1， 无解．综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，13 . 12.⎣⎡⎦⎤12，72答案解析：因为A ∩B ≠∅，所以A ，B 为非空集合，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤6－m m －1≤2m ＋1 ，解得－2≤m ≤4.同时，要使A ∩B ≠∅，则需⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤22m ＋1≥2 或⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤6－m 6－m ≤2m ＋1，解得12 ≤m ≤3或53 ≤m ≤72 ，即12 ≤m ≤72 .综上，12 ≤m ≤72 .13．A M ∪N ＝{x |x <2}，所以∁U (M ∪N )＝{x |x ≥2}，故选A.14．AD 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .因为A ＝{1，3，m 2}，B ＝{1，m }，所以m 2＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝1或m ＝3.当m ＝0时，A ＝{1，3，0}，B ＝{1，0}，符合题意；当m ＝1时，集合A 中元素不满足互异性，不符合题意；当m ＝3时，A ＝{1，3，9}，B ＝{1，3}，符合题意．综上，m ＝0或3.故选AD.15．[0，4)答案解析：当a ＝0时，原方程无解．当a ≠0时，方程ax 2＋ax ＋1＝0无解，则需Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，0≤a <4.16．(－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 答案解析：显然A ＝{x |－1≤x ≤6}，当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m <－2符合题意；当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6，得0≤m ≤52 . 综上得m <－2或0≤m ≤52 .。
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分一、选择题（共3小题；共15分）1. 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则(A∩B)∪C=( )A. {1,2,3}B. {1,2,4}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4}2. 已知全集U=Z，A={−1,0,1,2}，B={x∣ x2=x}，则A∩∁U B为( )A. {−1,2}B. {−1,0}C. {0,1}D. {1,2}3. 若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有( )A. A⊆CB. C⊆AC. A≠CD. A=∅二、填空题（共10小题；共50分）4. 已知集合A={−1,2,3,6}，B={x∣ −2<x<3}，则A∩B=．5. 已知集合A={−2,−1,3,4}，B={−1,2,3}，则A∩B=．6. 集合{−1,0,1}共有个子集．7. 已知集合A={−1,1,2,4}，B={−1,0,2}，则A∩B=．8. 已知集合A={1,2,4}，B={2,4,6}，则A∪B=．9. 设集合A={x∣(x−1)2<3x+7,x∈R}，则集合A∩Z中有个元素．10. 设集合A={−1,1,3}，B={a+2,a2+4}，A∩B={3}，则实数a = ．11. 已知集合A={x∣log2x≤2}，B=(−∞,a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c,+∞)，其中c=．12. 已知集合A={1,2}，B={a,a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．13. 设集合A={(x,y)∣ m2≤(x−2)2+y2≤m2,x,y∈R}，B={(x,y)∣ 2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．三、解答题（共2小题；共26分）14. 设集合P n={1,2,⋯,n}，n∈N∗．记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁Pn A，则2x∉∁PnA．（1）求f(4)；（2）求f(n)的解析式（用n表示）．15. 记U={1,2,⋯,100}．对数列{a n}（n∈N∗）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1,t2,⋯,t k}，定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．例如：T={1,3,66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N∗）是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，S T=30．（1）求{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1,2,⋯,k}，求证：S T<a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．答案第一部分1. D 【解析】因为A∩B={1,2}，所以(A∩B)∪C={1,2,3,4}．2. A3. A第二部分4. {−1,2}【解析】由交集的定义可得A∩B={−1,2}．5. {−1,3}6. 87. {−1,2}8. {1,2,4,6}9. 6【解析】集合A={x∣x2−5x−6<0}={x∣−1<x<6}，所以A∩Z的元素的个数为6．10. 111. 412. 113. [12,2+√2]【解析】因为A∩B≠∅，所以A≠∅，则m2≥m 2 ,即m≥12或m≤0;显然B≠∅．因为圆(x−2)2+y2=m2(m≠0)与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时，需√2≤∣m∣√2≤∣m∣,所以2−√22≤m≤2+√2,①当m<0时，圆(x−2)2+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆(x−2)2+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅；②当m=0时，点(2,0)不在0≤x+y≤1内，此时A∩B=∅．③当12≤m≤2+√2时，圆(x−2)2+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点，此时A∩B≠∅；④当m>2+√2时，圆(x−2)2+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆(x−2)2+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅．综上所述，满足条件的m的取值范围为[12,2+√2]．第三部分14. （1） 当 n =4 时，P 4={1,2,3,4}，符合条件的集合 A 为 {2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故 f (4)=4．（2） 任取偶数 x ∈P n ，将 x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2⋯，经过 k 次以后，商必为奇数，此时记商为 m ，于是 x =m ⋅2k ，其中 m 为奇数，k ∈N ∗．由条件知， 若 m ∈A ，则 x ∈A ⇔k 为偶数；若 m ∉A ，则 x ∈A ⇔k 为奇数．于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定．设 Q n 是 P n 中所有奇数的集合，因此 f (n ) 等于 Q n 的子集个数． 当 n 为偶数（或奇数）时，P n 中奇数的个数是 n 2（或 n+12）， 所以f (n )={2n 2,n 为偶数,2n+12,n 为奇数.15. （1） 当 T ={2,4} 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30， 解得 a 2=3，从而 a 1=a 23=1，a n =3n−1．（2）S T ≤a 1+a 2+⋯+a k=1+3+32+⋯+3k−1=3k −12<3k =a k+1.（3） 设 A =∁C (C ∩D )，B =∁D (C ∩D )，则 A ∩B =∅， S C =S A +S C∩D ，S D =S B +S C∩D ，S C +S C∩D −2S D =S A −2S B ，因此原题就等价于证明 S A ≥2S B ． 由条件 S C ≥S D ，可知 S A ≥S B ．① 若 B =∅，则 S B =0，所以 S A ≥2S B ．② 若 B ≠∅，由 S A ≥S B 可知 A ≠∅．设 A 中最大元素为 l ，B 中最大元素为 m ．若 m ≥l +1，则由第（2）小题，S A <a l+1≤a m ≤S B ，矛盾． 因为 A ∩B =∅，所以 l ≠m ，所以 l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m=1+3+32+⋯+3m−1=3m −12<a m+12≤a l ≤S A , 即 S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此 S C +S C∩D ≥2S D ．。
江苏省高考数学知识点归纳总结
江苏省高考数学知识点归纳总结一、不等式与方程组在高考数学中，不等式与方程组是一个重要的知识点。
它涉及到数学推理和解题的方法。
针对江苏省高考中常见的不等式与方程组题型，我们进行了归纳总结。
1. 不等式a. 一次不等式：如何确定解的范围、如何判断解集的性质等问题，可以通过绘制数轴、利用符号法等方法进行求解。
b. 二次不等式：常见的二次不等式包括开口向上和开口向下的情况。
根据二次不等式关于未知数 x 的性质，我们可以利用判别式、配方法等来求解。
c. 绝对值不等式：处理绝对值不等式时，需要将绝对值的含义进行分析，根据绝对值的非负性进行讨论，采用分段讨论法或利用性质进行求解。
2. 方程组a. 二元一次方程组：根据方程组的性质，我们可以采用消元法、代入法或加减法等方法求解。
在求解过程中，注意使用变量替换和整理方程的技巧，以简化计算。
b. 三元一次方程组：对于三元方程组，同样可以使用消元法和代入法进行求解。
如果方程组较为复杂，可以考虑转换为矩阵形式进行求解。
c. 二元二次方程组：对于二元二次方程组，我们可以利用消元法、代入法或配方法进行求解。
在使用配方法时，注意将方程组转化为完全平方的形式。
d. 三元二次方程组：解决三元二次方程组时，可以应用代数行列式法、高次系数法等方法进行求解。
将方程组转化为矩阵形式可以简化求解过程。
二、函数与图像函数与图像是高考数学中的一个重要内容，涉及到函数的概念、性质，以及函数的图像表达等。
1. 函数的概念与性质a. 函数定义与性质：函数是一个对应关系，它将某个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在函数的定义中，需要关注定义域、值域以及函数的性质，如单调性、奇偶性等。
b. 反函数：反函数是函数的一种特殊形式。
通过交换函数的自变量和因变量，可以得到原函数的反函数。
反函数的存在与性质需要通过函数的单调性来判断。
2. 函数的图像表达a. 一次函数：一次函数的图像是一条直线。
根据函数的斜率和截距可以确定图像的斜率和截距。
江苏省高考数学知识点总结精华版
高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅C S （C A B ）= D （ 注：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n个.②n 个元素的真子集有2n－1个.③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小X 围推出大X 围；大X 围推不出小X 围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =UC U U =φC U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card (UA )=card(U)-card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间）则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；20>∆0=∆ 0<∆2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高考数学母题解密专题01 集合及其运算附解析(江苏专版)
专题01 集合及其运算【母题来源一】【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =__▲___.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算.∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =，故答案为：{}0,2.【名师点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．【母题来源二】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则 A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源三】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B = ▲ ．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】 这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}A B x x A x B =∈∈且.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（2020届江苏省苏州市吴江区高三下学期五月统考数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，则AB =______.【答案】{}4【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，所以{}4A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．（江苏省无锡市、常州市2019-2020学年高三下学期5月联考数学试题）已知集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=__________．【答案】{}0,1,2,4 【解析】集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =， ∴{}0,1,2,4M N ⋃=.故答案为：{}0,1,2,4.【点睛】本题考查并集及其运算，属于基础题.3．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．4．（2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第二次调研考试数学试题）已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______.【答案】9 【解析】集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，∴54a -=，则a 的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.5．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 6．（2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题）已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．7．（江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县2020届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =.若{4}A B ⋂=，则实数a 的值为______.【答案】4【解析】{}4A B ⋂=4A ∴∈且4B ∈4a ∴=【点睛】本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题.8．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）集合{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，若A B B ⋃=，则x =_________________．【答案】0【解析】∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，又{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，∴31x =，∴0x =，故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的并集运算的应用，属于基础题．9．（江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.10．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【答案】±1【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故答案为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.11．（2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考数学试题）设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =___________.【答案】{}2,0-【解析】由已知，{}|1B x x =<，所以AB ={}2,0-. 故答案为：{}2,0-【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12．（江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题）若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}A B m =，则实数m 的值为_______.【答案】1- 【解析】∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．13．（江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．14．（江苏省淮安市清浦中学2019-2020学年高三下学期5月阶段性检测数学试题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．15．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题）设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】{}{}0,1,2,0,1U A =={}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.16．（2020届江苏省苏州市常熟市高三阶段性抽测三数学试题）已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.【答案】(]2,4 【解析】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.故答案为：(]2,4.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.17．（2020届江苏省南通市高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B⋂=.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
高考数学专题02集合运算、简易逻辑(江苏版)-高考数学三轮复习精品资料(解析版).docx
例1 【2013江苏高考】集合{1,0,1}-共有 ▲ 个子集.例2 【2012江苏高考】已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则AB = ▲ ．1.集合知识在11-13年均是以填空题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生运算能力.集合的基本运算一般不与其它章节知识结合考查，常单独设置题目，但有时也会以集合知识为载体，与不等式、平面解析几何知识结合考查.2.简易逻辑近四年均没有单独考查，多为以其他知识为载体考查思想方法.如在立体几何证明过程中考查充要关系.1.预计14年考查集合的列举法和集合交集的可能性较大，集合的并集也有可能考查.2.对于集合的复习，一要明确给定集合（列举法和描述法）中的元素是什么，二要从数和形（文氏图或数轴）两个角度理解集合的三种运算，注意加强对数形结合、等价转化和分类讨论思想的运用.3.集合知识属于基础知识，考查的难度小，复习时应以基础题为主，加强对集合列举法与集合交集结合的题目的训练.4.对于命题及其关系的考查，因其载体丰富多彩，故涉及到的知识较多，单独考查基本的概念可能性不大，复习时要注重基础知识的应用.1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】若集合{23},{14}A x x B x x x =-≤≤=<->或，则集合A B = ．2．【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】“p q ∨为真命题”是“p ⌝为假命题”成立的 条件．3. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则PQ = ．4. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ．合．1|,(0,),2x A y y x R ⎧⎫==∈=+∞⎨⎬⎩⎭{}2|log (1),(0,),B y y x x R ==-∈=+∞=⋂B A (0,)+∞5. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则U A B =（）ð ．6. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是 ．7. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）8. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】已知集合A ＝{x ｜x ＞2，或x ＜－1}，B ＝{x ｜a xb ≤≤}，若A B R =，A B ={x ｜24x <≤}，则ba＝_ ▲__ .9. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知集合{2,}A a a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ． 【答案】110. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ． 【答案】96 【解析】。
江苏高考数学一轮复习《集合及其基本运算(2)》教程学案
____第2课__集合及其基本运算(2)______1. 熟练掌握集合间的交、并、补集的运算以及求集合的子集．2. 能应用分类讨论的思想解决简单的分类讨论问题.1. 阅读：阅读必修1第11～14页．2. 解悟：①从A∩B＝A能得到什么结论？②从A∪B＝A能得到什么结论？3. 践习：在教材空白处，完成第13页练习第6题，第14页习题第10、13题.基础诊断1. 集合U＝{1，2}的子集个数为__4__．解析：根据子集个数的公式可得，子集的个数为22＝4.2. 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则集合∁U(A∪B)＝__{3}__．解析：由题意得，A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3}．3. (1) 已知集合A＝{y|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(0，＋∞)__；(2) 已知集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(1，＋∞)__；(3) 已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，集合B＝{(x，y)|y＝x－1}，则A∩B＝__{(1，0)，(2，1)}__．解析：(1) 由题意得，集合A＝R，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(0，＋∞)．(2) 由题意得，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(1，＋∞)．(3) 令log2x＝x－1，解得x＝1或x＝2，所以y＝0或y＝1，所以A∩B＝{(1，0)，(2，1)}．4. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，2}，则集合A∪B中所有元素之和为__5__．解析：因为A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以集合A∪B中所有元素之和为－1＋0＋1＋2＋3＝5.范例导航考向❶ 对子集的分类讨论例1 已知集合A ＝{2，5}，B ＝{x|x 2＋px ＋q ＝0，x ∈R}．(1) 若B ＝{5}，求p ，q 的值；(2) 若A ∩B ＝B ，求实数p ，q 满足的条件．解析：(1) 因为B ＝{5}，所以方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实根5，所以5＋5＝－p ，5×5＝q ，所以p ＝－10，q ＝25.(2) 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .当B ＝∅时，Δ＝p 2－4q <0，即p 2<4q ；当B ＝{2}时，可求得p ＝－4，q ＝4；当B ＝{5}时，可求得p ＝－10，q ＝25；当B ＝{2，5}时，可求得p ＝－7，q ＝10.综上所述，实数p ，q 满足的条件为p 2<4q 或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－10，q ＝25或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝10.已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；(2) 若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解析：(1) 当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又因为A ＝(－1，5]，所以A ∩∁R B ＝[3，5]．(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根， 所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时集合B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．(1) 当a ＝4时，求A ∩B ；(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)，所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2) 方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3.①当a ＝－a －3，即a ＝－32时， B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32时， B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32； ③当a>－a －3，即a>－32时， B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a<－8或－a －3>－4，解得－32<a<1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8>0}，B ＝{y|y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R}，C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}.(1) 求A ∩B ；(2) 若∁R A ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 因为x 2＋2x －8>0，解得x >2或x <－4，所以A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，所以B ＝[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(2，＋∞)．综上所述，A ∩B ＝(2，＋∞)．(2) 因为A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，所以∁R A ＝[－4，2]．因为∁R A ⊆C ，且C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}，所以a ≥2，所以a 的取值范围为[2，＋∞).考向❸ 对自变量系数的分类讨论例3 已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x ≤2. (1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．解析：对于不等式0<ax ＋1≤5，当a ＝0时，0<1<5恒成立，即x ∈R ，集合A ＝R ；当a >0时，－1a <x ≤4a ，即集合A ＝{x |－1a <x ≤4a}；当a <0时，4a ≤x <－1a ，即集合A ＝{x |4a ≤x <－1a}． (1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意；当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a ≤2，解得a ≥2； 当a <0时，需要满足⎩⎨⎧4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．(2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意；当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a ≥2，解得0<a ≤2； 当a <0时，需要满足⎩⎨⎧－1a>2，4a ≤－12，解得－12<a <0. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，2. (3) 当A ＝B 时，需满足A ⊆B 且B ⊆A ，即同时满足(1)和(2)，所以a ＝2.自测反馈 1. 设U 为全集，集合A 为U 的子集，则A ∩A ＝__A__；A ∪A ＝__A__；A ∩∅＝__∅__；A ∪∅＝__A__；A ∪∁U A ＝__U__；A ∩∁U A ＝__∅__．2. 满足{1，3}∪A ＝{1，3，5}的集合A 的个数是__4__．解析：因为{1，3}∪A ＝{1，3，5}，所以A ＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共有4个．3. 对于集合A ，B ，我们将集合{x|x ∈A ，且x ∉B}叫作集合A 与B 的差集，记作A －B.(1) 若A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{4，5，6，7，8}，则A －B ＝__{1，2，3}__；B －A＝__{6，7，8}__；(2) 如果A－B＝∅，那么集合A与B之间的关系是__A⊆B__．4. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，则与G＝{x|x≥1}为同一集合的是__Q__．解析：集合P中y＝x2＋1就是这个集合中的一个元素；集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，与集合G为同一集合；集合E＝{x|y＝x2＋1}＝R；集合F是一个点集，所以与集合G为同一集合的是Q.1. 区分点集和数集在书写上的不同．2. 解题时，注意分类讨论、数形结合等思想方法的运用．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
高考数学专题训练题及解析(江苏省)：集合
江苏省高考数学专题集合训练一、填空题：每题5分，共14题，共70分。
请把答案填在题中横线上。
1、已知集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，由集合A B 与的所有元素组成集合{}1,3,x 这样实 数x 共有 个。
2．设集合{}21<≤-=x x M ，{}0≤-=k x x N ，若MN M =，则k 的取值范围是。
3、设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠B ，则实数a 的取值范围是。
4、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P 等于 。
5、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人.6、如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 。
7、设{}{}I a A a a =-=-+241222，，，，，若{}1I C A =-，则a=__________。
8、已知集合A =｛1，2｝，B =｛x x A ⊆｝，则集合B= .9、已知集合{}{}A x y y x B x y y x ==-==()|()|，，，322那么集合A B =10、设A={x |x 2＋x －6=0}，B={x |mx ＋1=0}，且A ∪B=A ，则m 的取值范围是 .11．已知a ,b ∈R ，a ×b ≠0则以b b a a ||||+可能的取值为元素组成的集合用列举法可表示为＝ 。
12．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 。
13．定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且，若}6,3,2{},5,4,3,2,1{==N M ，则N －M= 。
14．如右图图（1）中以阴影部分（含边界）的点为元素所组成的集合用描述法表示如下：}{2010),(≤≤≤≤y x y x ， 请写出以右图（2）中以阴影部分（不含．．外边界但包含．．坐标轴）的点 为元素所组成的集合。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 集合的概念与运算教案(文)(含解析)苏教版
第一节集合的概念与运算1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N *或N＋Z Q R2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且集合A与集合B不相等A⊆B，且A≠B A B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁U A(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[小题体验]1．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.答案：{1,8}2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)＝________.答案：{1,6}3．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.答案：{x|0≤x＜2}4．设全集U＝N*，集合A＝{2,3,6,8,9}，集合B＝{x|x＞3，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是________．答案：{2,3}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．解析：由A 中的不等式解得0≤x ≤2，x ∈N ，即A ＝{0,1,2}．因为A ∪B ＝{0,1,2}，所以B 可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：82．已知集合M ＝{1,2}，N ＝{3,4,5}，P ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的元素个数为________．解析：因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．答案：43．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a ＞0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题设条件得A ＝{x |－x 2＋x ＋2＞0}＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞a }．因为A ⊆B ，在数轴上表示出两集合如图所示， 故a ≤－1. 答案：(－∞，－1]4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3， 根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，满足题意．故m ＝－32.答案：－32考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．解析：集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：92．若－1∈{a －1,2a ＋1，a 2－1}，则实数a 的取值集合是________．解析：若a －1＝－1，解得a ＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a ＋1＝－1，解得a ＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意； 若a 2－1＝－1，解得a ＝0，不符合题意， 综上所述，a ＝－1，故填{－1}． 答案：{－1}3．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.答案：0或984．(易错题)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 解析：由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1；若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 答案：2[谨记通法]与集合中元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二 集合间的基本关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有________个． 解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 答案：42．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n ＋13，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n3＋1，n ∈Z ，则集合A ，B 的关系为________．解析：x ＝2n 3＋1＝2n ＋33，∵n ∈Z ，∴2n 为偶数，∴2n ＋1为奇数，2n ＋3为奇数， ∴A ＝B .答案：A ＝B3．(2019·无锡期中)已知集合A ＝{0,1,2}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1x ，且B ⊆A ，则实数x ＝________.解析：∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1x 且B ⊆A ，∴1x ＝2，∴x ＝12.答案：12[由题悟法]判断集合间关系的3种方法1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， 所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故所求集合C 的个数为4.答案：42．(2018·镇江二模)设集合A ＝{2,4}，B ＝{a 2,2}(其中a ＜0)，若A ＝B ，则实数a ＝________.解析：∵A ＝{2,4}，B ＝{a 2,2}，且A ＝B ，∴a 2＝4.又a ＜0，∴a ＝－2. 答案：－23．(2019·海门中学测试)已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{2－x,1}．(1)记集合M ＝{1,4，y }，若集合A ＝M ，求实数x ＋y 的值；(2)是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝3，故x ＋y ＝19.(2)假设存在实数x ，使得B ⊆A ，则2－x ＝3，或2－x ＝x . 若2－x ＝3，则x ＝－1，不合题意；若2－x ＝x ，则x ＋x －2＝0，解得x ＝1，不合题意． 故不存在实数x ，使得B ⊆A . 考点三 集合的基本运算 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算； (2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝________. 解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}， 所以(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 答案：{1,2,4}2．(2019·汇龙中学检测)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,3,4}，集合B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B ＝________.解析：因为∁U A ＝{2,5}，所以(∁U A )∪B ＝{2,4,5}． 答案：{2,4,5}角度二：利用集合运算求参数3．(2019·苏州模拟)已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________.解析：由题意知，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2.当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9∉U ，所以a ＝－4不满足题意，舍去；当a ＝2时，|2a －1|＝3,3∈U ，满足题意．故实数a 的值为2.答案：2角度三：新定义集合问题4.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A B＝________.解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，结合Venn图可知A B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．答案：{x|0≤x≤1或x＞2}[通法在握]解集合运算问题4个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决数形结合常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图新定义型问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决[演练冲关]1．(2018·南京高三年级学情调研)若集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{0,2,3}，则P∩Q＝________.解析：由已知可得，P∩Q＝{0,2}．答案：{0,2}2．(2018·苏州检测)设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则a＋b＝________.解析：因为A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，所以5＝2a＋1，且5＝2＋b，解得a＝2，b＝3，所以a＋b＝5.答案：53．(2019·南京师大附中检测)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.解析：因为A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，所以A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0＜x＜2}，所以A⊗B＝{x|x＝0或x≥2}．答案：{x|x＝0或x≥2}4．(2018·泰州中学高三学情调研)已知全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，B＝{2,3,6}，则(∁I A)∩B＝________.解析：因为全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，所以∁I A＝{2,4,6}，又因为B ＝{2,3,6}，所以(∁I A)∩B＝{2,6}．答案：{2,6}一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|0＜x ＜5}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}为奇数集，B＝{x|0＜x＜5}，所以A∩B＝{1,3}．答案：{1,3}2．定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{1，a,7}是优集，则实数a的值为________．解析：依题意，当x＝1时，|4－x|＝3∈A，当x＝7时，|4－x|＝3∈A，所以a＝3符合条件．答案：33．(2018·如皋高三上学期调研)集合A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，若A∪B＝{1,2,3}，则实数a的值为________．解析：∵A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，且A∪B＝{1,2,3}，∴a2＋2＝2，解得a＝0，即实数a的值为0.答案：04．(2018·盐城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C 的子集的个数为________．解析：因为A∩B＝{1,3,5}，所以C＝{1,3,5}，故集合C的子集的个数为23＝8.答案：85．(2019·徐州期中)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，则集合B的子集个数是________．解析：∵集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，∴B＝{(1,2)，(2,3)，(1,3)，(1,4)}，∴集合B的子集个数是24＝16.答案：166．(2019·南通中学检测)已知集合A＝{x|y＝9－x2}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________．解析：因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .因为A ＝{x |y ＝9－x 2}＝{x |9－x 2≥0}＝[－3,3]， 所以[－3,3]⊆[a ，＋∞)，所以a ≤－3. 答案：(－∞，－ 3]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·常州调研)已知{1}⊆A ⊆{1,2,3}，则这样的集合A 有________个． 解析：根据已知条件知符合条件的A 为：A ＝{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}， ∴集合A 有4个． 答案：42．(2019·启东中学检测)已知集合A ＝{x |0＜x ≤6}，B ＝{x ∈N|2x＜33}，则集合A ∩B 的元素个数为________．解析：因为A ＝{x |0＜x ≤6}，B ＝{x ∈N|2x＜33}＝{0,1,2,3,4,5}，所以A ∩B ＝{1,2,3,4,5}，即A ∩B 的元素个数为5.答案：53．已知a ≤1时，集合{x |a ≤x ≤2－a }中有且只有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0,1,2三个整数，所以a ＝0符合题意； 若区间端点不为整数，则区间长度2＜2－2a ＜4，解得－1＜a ＜0，此时，集合中有0,1,2三个整数，所以－1＜a ＜0符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－1,0]. 答案：(－1,0]4．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32.②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]5．(2018·通州中学高三测试)设U ＝R ，A ＝(a ，a ＋1)，B ＝[0,5)，若A ⊆∁U B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∁U B ＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A ⊆∁U B ，所以a ＋1≤0或a ≥5，解得a ≤－1或a ≥5.答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)6．(2019·淮阴中学检测)设全集U 为实数集R ，已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，B ＝{x |1≤x ≤2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．解析：由题意知，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32，阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤32∩{x |1≤x ≤2}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤327．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．(2019·海安中学检测)已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x ＜1，N ＝{y |y ＝x －1}，则(∁R M )∩N＝________.解析：因为M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x＜1＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝{y |y ＝x －1}＝[0，＋∞)，所以∁R M ＝[0,2]，(∁R M )∩N ＝[0,2]．答案：[0,2]9．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则B ＝________. 解析：因为全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 由∁U (A ∪B )＝{1,3}， 得A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . 所以B ＝{5,6,7,8,9}． 答案：{5,6,7,8,9}10．已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．(2019·启东检测)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x 2＋x －6≤0}，(1)当a ＝0时，求A ∪B ，A ∩∁R B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，A ＝{x |0≤x ≤3}，又B ＝{x |－3≤x ≤2}，所以∁R B ＝{x |x ＜－3或x ＞2}，所以A ∪B ＝{x |－3≤x ≤3}，A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}．(2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－3，a ＋3≤2，解得－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围为[－3，－1]．12．(2018·南京高三部分学校联考)已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R}，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1,5]．由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)．所以M ＝[3,5]．(2)因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围为(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |log 2x ＜m }，若 A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 019x ＋2 018＜0，解得1＜x ＜2 018，故A ＝{x |1＜x ＜2 018}． 由log 2x ＜m ，解得0＜x ＜2m ，故B ＝{x |0＜x ＜2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 018， 因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB ＝________.解析：由题意知，要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12}3．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，则A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3， 得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
新课标江苏高考数学复习资料含答案
2013年高考数学第一轮复习资料第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.答案：B A4．(2012年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(V enn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②5．(2011年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a ＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，N M，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝1a＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2011年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2012年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}， 而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2. (2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2.(3)若A =B ，则必有a =2第二节 集合的基本运算A 组1．(2011年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩∁U B ＝____.解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2012年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4,7,9}，A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，∁U (A ∩B )＝{3,5,8}．答案：3 3．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________.解析：由题意知，N ＝{0,2,4}，故M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2} 4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________.解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)5．(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ； (2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ，则m >1，即m 的取值范围为(1，＋∞)B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________.解析：因为集合N ＝{－1,0,1,2}，所以M ∩N ＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：∁U A ＝{0,1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________.解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0} 4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2,3,4}． 答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}， 得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a .解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1. ∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值． 解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意． ②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数． 由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12]时，g (x )为减函数． 解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b ＝(－b )2－4b b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)， 又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9. B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．。
2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课件：第一章第1节 集合的概念与运算
所以A∩B＝{－1，0，1}.
答案 A
12
基础知识诊断
考点聚焦突破
5.(2019·全国Ⅱ卷改编)已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1≥0}，全集U＝R，
则A∩(∁UB)＝( ) A.(－∞，1)
B.(－2，1)
C.(－3，－1)
D.(3，＋∞)
解 析 由 题 意 A ＝ {x|x<2 或 x>3}. 又 B ＝ {x|x≥1} ， 知 ∁UB ＝ {x|x<1} ， ∴A∩(∁UB) ＝
1
基础知识诊断
考点聚焦突破
第1节 集合的概念与运算
考试要求 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体 问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间 包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的 含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集； 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；5.能使用韦 恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念 的作用.
解析 由题意得P＝{x|0<x<2}，Q＝{y|1≤y≤3}，
∴P－Q＝{x|0<x<1}.
答案 D
14
基础知识诊断
考点聚焦突破
考点一 集合的基本概念
【例 1】 (1)定义 P⊙Q＝z|z＝yx＋xy，x∈P，y∈Q，已知 P＝{0，－2}，Q＝{1， 2}，则 P⊙Q＝( )
A.{1，－1}
B.{1，－1，0}
4
基础知识诊断
考点聚焦突破
3.集合的基本运算
江苏高考数学专题温习集合及其应用
江苏省高考数学综合专题1－集合及其应用部份 高考命题规律：从考查内容上，高考命题仍以考查概念和计算为主，考查两个集合的交集与并集、补集。
形式上以填空题为主。
从能力要求上看，注重基础知识和大体技术的教材，要求具有数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合问题。
知识的综合联系上看，本考点会纵横关系数学各个方面的知识体系，如不等式的解集与不等关系，方程与曲线，函数的图象性质，三角函数等。
重难点：集合的三个大体特征：肯定性，互异性，无序性。
集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键，即：文字语言、符号语言、图象语言的互化。
方式技能：一、数形结合：把题设条件有效转化成图形或图象类型，利用几何的直观性，以“形”助“数” ，形象、直观、方便快捷。
专门是韦恩图法、数轴法、函数图象法。
二、补集思想：对正面求解困难的问题，则可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略。
具体地说，就是将研究的对象的全部视为全集，求了使问题反面成立的集合A ，则A 的补集即所求结论。
【2011年考题精选】1。
（2011江苏）已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A .2．（2011安徽科）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则知足S A ⊆且∅≠⋂B S 的集合S 为__________个.3. （2011北京理科）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是____4. （2011广东理科）已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为 ______5. （2011江西理科）若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A ⋂= _____ 6. （2011山东理科）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =_______ 7. （2011湖北理科）已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =____ 8. （2011上海理科）若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A =【2010年考题精选】1．（2010浙江理数）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则P 与Q 关系是＿＿＿＿＿＿2．（2010辽宁理数）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},U C B ∩A={9},则A=＿＿＿＿＿＿＿3.(2010全国2卷)＿＿＿＿＿＿4．（2010江西数）若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=＿＿＿＿＿＿5. （2010北京数）集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则M P ⋂=_____6. （2010天津数）设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是_______7. （2010山东数）已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=________ 8.（2010安徽理数）若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A C R =_________ 9. （2010湖北理数）2．设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是______10. （2010江苏卷）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. 09江苏11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ★ .4．由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。
江苏专用201x版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用1.1集合的概念与运算文
解析 (1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2； 当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1； 当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0. 根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2， 共5个．
第1讲 集合的概念与运算
考试要求 1.集合的含义，元素与集合的属于关系，A级要 求；2.集合之间包含与相等的含义，集合的子集，B级要求； 3.并集、交集、补集的含义，用韦恩(Venn)图表述集合关系， B级要求；4.求两个简单集合的并集与交集及求给定子集的 补集，B级要求．
知识梳理 1．集合的概念
考点二 集合间的基本关系 【例 2】 (1)已知集合 A＝{x|y＝ 1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m
∈A}，则 A________B(填 A，B 间的包含关系)． (2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若 B⊆A， 则实数 m 的取值范围是________．
4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有 2n个，真子集有 2n－1 个． (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒ A⊆C . (3)A⊆B⇔A∩B＝ A⇔A∪B＝ B . (4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
诊断自测
5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x， y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________． 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线 y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点， 故A∩B中有2个元素． 答案 2
江苏高二数学复习学案+练习3 集合的综合应用 文
学案3 集合的综合应用一、课前准备：【自主梳理】1．集合用描述法表示时，要理解代表元素的属性．2．集合运算,要特别注意空集的讨论,不要遗忘．3．集合运算可借助于韦恩图,体现了数形结合的思想,含参数问题的集合问题,要验证集合中元素的互异性．4．集合问题经常转化为函数与方程问题,要注意转化的等价性．【自我检测】1．已知集合{}a a a A ++=22,2，若3A ∈，则a 的值为 ．2．已知A ={}R x x x y y A ∈--==,122,{}82<≤-=x x B ,则集合A 与B 的关系是____．3．设{}0962=+-=x ax x M 是含一个元素的集合，则a 的值为__________________．4．{}{}2{0,2},1,,0,1,2,4,A B a A B ==⋃=则实数a 的值为______________．5． {}{lg ,,M x y x N y y M N ====⋂=__________．6．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ ．二、课堂活动：【例1】（1） 已知集合A = {-1,1}，B = { x | ax + 1 = 0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为_________．（2）集合A ={}R ,2|2||∈≤-x x x ，B ={}21,|2≤≤--=x x y y ， R （A B ）= _________ ．（3）设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，实数a =_________．（4）集合{}{}12,,,2--==a a N a a M ，若N M ⋃恰好含有三个元素，则=⋂N M _________．【例2】设集合 {}2|320,A x x x =-+={}22|2(1)(5)0.B x x a x a =+++-= （1）若A B {},2=求实数a 的值；（2）若A B =A ，求实数a 的取值范围；（3）若A B C A R U U =⋂=)(,求实数a 的取值范围．【例3】已知集合A ={},R ,01)2(|2∈=+++x x a x x B {}0|R >∈=x x ，试问是否存在实数a ， 使得A B =∅？ 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．课堂小结三．课后作业1．集合{|(21)(3)A x x x =+-*0},{N ,|5},B x x <=∈≤则A B =__________________． 2．已知集合N M x x x N x x M 则或},55|{},53|{>-<=≤<-==_________________． 3．设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围___________________．4．设{}03522=--=x x x M ，{}1==mx x N ．若M N ⊂，则实数m 的取值集合为_____． 5．设集合{}Z x x x I ∈<=,3，{}2,1=A ，{}2,1,2--=B ，则()=B C A I ___________． 6．已知集合{}3<=x x M ，{}1log 2>=x x N ，则N M =_______________________． 7．设集合{})3(log ,52+=a A ，集合{}b a B ,=．若{}2=B A ，则B A =_______________． 8．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________．9．已知集合{}R m x mx x A ∈=+-=,032/2 （1）若A 是空集，求m 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围．10．已知集合A ={}510|≤+<ax x ，集合B =.221|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-x x (1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．【自我检测】1． -32 2． B A ⊂ 3． 0或1 4．2±=a 5． {}0/≥x x 6． a ≤1例1 （1）｛-1，1｝ （2） （-∞,0） (0, +∞) (3)2 (4){}1例2（1）-1或-3．（2）a ≤-3． （3）a ＜-3或-3＜a ＜-1-3或-1-3＜a ＜-1或-1＜a ＜-1+3或a ＞-1+3．例3解 假设存在实数a 满足条件A B =∅，则有（1）当A ≠∅时，由A B ,∅=B ={}0|R >∈x x ，知集合A 中的元素为非正数， 设方程x 2+(2+a )x +1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得 ⎪⎩⎪⎨⎧>=≥<+-=+≥-+=∆01;0,0)2(04)2(21212x x a a x x a 解得（2）当A =∅时，则有△=(2+a )2-4＜0，解得-4＜a ＜0． 综上（1）、（2），知存在满足条件A B =∅的实数a ,其取值范围是（-4，+∞）． 课后作业1． {1,2} 2． }35|{->-<x x x 或 3． {}|0,6a a ≤≥或a 4．{-2,0, 13} 5． {0,1,2} 6． (2,3) 7． {1,2,5} 8． 189 解：集合A 是方程mx 2-2x +3=0在实数范围内的解集． （1）∵A 是空集，∴方程mx 2-2x +3=0无解．∴Δ=4-12m <0,即m >31．（2）∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2-2x +3=0只有一个解．若m =0，方程为-2x +3=0，只有一解x =23;若m ≠0，则Δ=0，即4-12m =0,m =31．∴m =0或m =31．10．（1）a ＜-8或a ≥2． （2）-.221≤<a （3）a =2。
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江苏省高考数学综合专题1－集合及其应用部分
高考命题规律：
从考查内容上，高考命题仍以考查概念和计算为主，考查两个集合的交集与并集、补集。
形式上以填空题为主。
从能力要求上看，注重基础知识和基本技能的教材，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合问题。
知识的综合联系上看，本考点会纵横关系数学各个方面的知识体系，如不等式的解集与不等关系，方程与曲线，函数的图象性质，三角函数等。
重难点：
集合的三个基本特征：确定性，互异性，无序性。
集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键，即：文字语言、符号语言、图象语言的互化。
方法技巧：
一、数形结合：把题设条件有效转化成图形或图象类型，利用几何的直观性，以“形”助“数” ，形象、直观、方便快捷。
特别是韦恩图法、数轴法、函数图象法。
二、补集思想：对正面求解困难的问题，则可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略。
具体地说，就是将研究的对象的全体视为全集，求了使问题反面成立的集合A ，则A 的补集即所求结论。
【2011年考题精选】
1。
（2011江苏）已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A .
2．（2011安徽科）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且∅≠⋂B S 的集合S 为__________个.
3. （2011北京理科）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是____
4. （2011广东理科）已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为 ______
5. （2011江西理科）若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=x
x x B x x A ,则B A ⋂= _____ 6. （2011山东理科）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =_______ 7. （2011湖北理科）已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧
⎫==>==>⎨⎬⎩
⎭,则U C P =____ 8. （2011上海理科）若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A =
【2010年考题精选】
1．（2010浙江理数）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2
x <4｝，则P 与Q 关系是＿＿＿＿＿＿
2．（2010辽宁理数）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},U C B ∩A={9},则A=＿＿＿＿＿＿＿
3.(2010全国2卷
) ＿＿＿＿＿＿
4．（2010江西数）若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}
2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=＿＿＿＿＿＿
5. （2010北京数）集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则M P ⋂=_____
6. （2010天津数）设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是_______
7. （2010山东数）已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=________ 8.（2010安徽理数）若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则A C R =_________ 9. （2010湖北理数）2．设集合()22
{,|1}416
x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是______
10. （2010江苏卷）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. 09江苏11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ★ .
4．由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。
综合能力训练
1已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于＿＿＿
2设集合21{|2},{1}2
A x x
B x x =-
<<=≤，则A B =＿＿＿＿ 3设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A
的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个
4已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.
5．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
6记关于x 的不等式01
x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ； （II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．
2011答案：1.{}1－，2 2.56提示：反向思考集合A 的所有子集共有6264=个，其
中不含4,5,6,7的子集有328=个，所以集合S 共有56个.
3．[-1，1] 4.2 5. }10|{≤<x x
6. [1,2)
7. 1[,)2+∞
8. {|01}x x <<
2010答案提示：1．Q P ⊆
2. {3,9} 采用韦恩图法
3. {}2,4
4. {}|01x x ≤≤
5. {0,1,2}
6. {}|0,6a a ≤≥或a
7.{x|x<-1或x>3} 8.2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
9. 4
10. [解析] 考查集合的运算推理。
3 B, a+2=3, a=1.
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