2019高考数学复习专题：集合(含解析)

一、考情分析

集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中．

二、经验分享

(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{

}

2

20x x x -=；②{

}2

2x y x x =-；③{

}2

2y y x x =-；④

(){}

2

,2x y y x

x =-.

(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为

()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----.

(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.

(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．

(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．

三、知识拓展

1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B (

)(

)U

U

A

B A B U ⇔=∅⇔= .

3．奇数集：{}{}{}

21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .

4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数

集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域.

四、题型分析

(一)与数集有关的基本运算

【例1】【2018年理新课标I 卷】已知集合，则

A. B.

C.

D.

【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.

【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．

【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合{}

1A x x =<,{

}

31x

B x =<,则（ ）. A. {}0A

B x x =< B. A B =R C. {}1A B x x => D. A B =∅

【答案】A

【解析】{}1A x x =<,{}{}310x

B x x x =<=<,所以{}0A

B x x =<,{}1A B x x =<.

故选A.

(二)与点集有关的基本运算 【例2】已知3(,)|

3,{(,)|20},2y M x y N x y ax y a M N x -⎧⎫

===++==∅⎨⎬-⎩⎭

,则=a （ ）

A ．－2

B ．－6

C ．2

D ．一2或－6

【分析】首先分析集合M 是除去点(2,3)的直线33y x =-,集合N 表示过定点(1,0)-的直线,M

N =∅

等价于两条直线平行或者直线20ax y a ++=过(2,3),进而列方程求a 的值． 【解析】由

3

333(2)2

y y x x x -=⇒=-≠-若M N φ=,则①：点(2,3)在直线20ax y a ++=上,即

2602a a a ++=⇒=-；②：直线33y x =-与直线20ax y a ++=平行,∴362

a

a -=⇒=-,

∴2a =-或6-.

【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键． 【小试牛刀】【2018年理数全国卷II 】已知集合，则中元素的个

数为

A. 9

B. 8

C. 5

D. 4 【答案】A 【解析】，当

时，

；当

时，

；

当

时，

；所以共有9个，选A.

(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围

【例3】设常数a ∈R ,集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0},B ＝{x |x ≥a －1},若A ∪B ＝R ,则a 的取值范围为( ) A ．(－∞,2) B ．(－∞,2] C ．(2,＋∞) D ．[2,＋∞)

【分析】先得到A ＝(－∞,1]∪[a ,＋∞),B ＝[a －1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.

【点评】求解本题的关键是对a 进行讨论.

【小试牛刀】已知P ＝{x |2

【解析】因为P 中恰有3个元素,所以P ＝{3,4,5},故k 的取值范围为5

【例4】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T,对任意x ∈R,有()()f x T Tf x +=成立.

（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；

（2）设函数()(0x f x a a =>且1a ≠）的图象与y x =的图象有公共点,证明：()x f x a =∈M ；（3）若函