2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程

2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程x = 1 + tsin70 ° ,1.直线o （t为参数）的倾斜角为（ ）y = 2 + tcos70A . 70°B . 20°C . 160°D . 110答案 B解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式： x = 1 + tcos20°,y = 2 + tsin20 ° （t为参数），则倾斜角为20°，故选B.x = 1 — tsi n70 °另外，本题中直线方程若改为，则倾斜角为160 ° .y = 2 + tcos70 °x = 1 + 2t ,2 .若直线的参数方程为（t 为参数），则直线的斜率为（）y = 2— 3t答案 Dx = — 3 + 2cos 0,3•参数方程 （0为参数）表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为 （）y = 4+ 2si n 0A . 1B . 2C . 3D . 4答案 Ax = — 3+ 2cos 0,解析 参数方程（伪参数）表示的曲线的普通方程为（x + 3）2 + （y — 4）2=4,y = 4+ 2sin 0 这是圆心为（一3, 4）,半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为 1.4. （2018皖南八校联考）若直线l : x = 2t ,（t 为参数）与曲线C :y = 1 — 4tx = '. 5cos 0, （0为参数） y = m+ . 5sin 0相切，则实数m 为（ ）A . — 4 或 6B . — 6 或 4方法tan a =cos70° sin 70° = sin20°=tan 20°,「.a =20°代3 3C. —1 或9 D . —9 或1答案A… ,x = 2t ,x = V5cos 0, 解析 由(t 为参数),得直线l : 2x + y — 1 = 0,由(0为参数),得曲y = 1 — 4ty = m + ,5sin 0线C : x 2 + （y — m ）2= 5,因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 =“J 5，解得 m =— 4 或 m = 6.5. （2014安徽，理）以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,x = t + 1两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线I 的参数方程是'（t 为参数），圆C 的极y = t — 3坐标方程是p= 4cos 0，则直线I 被圆C 截得的弦长为（ ）A. ,14 B . 2 14 C. 2 D . 2 2答案 D 解析由题意得直线I 的方程为x — y — 4= 0，圆C 的方程为（x — 2）2+ y 2 = 4•则圆心到直线的距离d = 2，故弦长=2 r 2— d 2= 2 2.x = t ，6. （2017北京朝阳二模）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 （t 为参数）.以y = 4 + t原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 p= 4.2 -sin （ 0n+匚），则直线I 和曲线C 的公共点有（ ）A . 0个B . 1个C . 2个D .无数个答案 Bx = t ，解析 直线I :（t 为参数）化为普通方程得x — y + 4= 0;y = 4 + t■n曲线 C : P= 4 2sin （ 0 + 丁）化成普通方程得（x — 2）2 + （y — 2）2= 8， •••圆心C （2，2）到直线I 的距离为d = '—2； 4|= 2 2= r. •直线I 与圆C 只有一个公共点，故选B.x = 1 + s ，x = t + 3，7. 在直角坐标系中，已知直线 I : （s 为参数）与曲线C :2 （t 为参数）相交y = 2 — sy = t 2于A ，B 两点，贝U |AB| = ________ . 答案 .2|m — 1| 22+ 1x = 1 + s，解析曲线C可化为y= (x —3)2,将代入y = (x —3)2，化简解得S1 = 1，s2= 2，y = 2 —s所以 |AB| = 12 + 12$ — s 2|= 2.x = 2 — t& （2017人大附中模拟）已知直线I 的参数方程为（t 为参数），圆C 的极坐标方程y = 1 +V 3t为p+ 2sin B = 0,若在圆C 上存在一点P ,使得点P 到直线I 的距离最小，则点 P 的直角坐 标为 . 答案（于，-1）解析 由已知得，直线I 的普通方程为y =— . 3x + 1+ 2 3，圆C 的直角坐标方程为 x 2 + （y + 1）2= 1,在圆C 上任取一点P （COS a, — 1 + sin a ）（ a [0 , 2n ）），则点P 到直线I 的距离为x 2+ y 2= 2y — 2x , 由y =x +2,n所以直线I 与曲线C 交点的极坐标分别为（2, y ）, （2, n ）.10. （2016课标全国n ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x + 6）2 + y 2= 25.| 3cos a+ Sin a- 2 — 2 ：3| |2sin (d = J+ 3=—n —一na+ y) — 2 — 2 3|2+ 2 3— 2sin ( a+ §)=y 时，d min = 3,此时 Pt23,—2 .9. （2018衡水中学调研）已知直线I 的参数方程为 x =— 2 + tCOs a, （t 为参数），以坐标原为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 y = tsin aC 的极坐标方程为 p= 2sin 0— 2cos 0 .（1）求曲线C 的参数方程;n⑵当a="4时，求直线I 与曲线C 交点的极坐标. “宀 x =— 1+ V2c0S $, n答案(1)( 0为参数)(2)(2 , -2), (2,n )y = 1 + . 2sin 02解析 (1)由 p= 2sin 0— 2cos 0,可得 p= 2 psi n 0 — 2 pcos 0 .所以曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 2y — 2x , 化为标准方程为(x + 1)2+ (y — 1)2= 2. 曲线C 的参数方程为x = — 1 + ', 2cos 0,厂(0为参数).y = 1 + ,2sin 0x =— 2+n（2）当a="4时，直线I 的方程为 t ,y =嗔,化为普通方程为 y = x + 2.x = 0, 解得y =2x = — 2, y = 0.X = tCOS a,—⑵直线I 的参数方程是 （t 为参数），1与C 交于A ，B 两点，|AB| =10，求I 的y = tsin a 斜率.答案 (1) P+ 12P cos 0 + 11 = 0(2)今或—于解析 ⑴由x =p cos 0, y = p sin B 可得圆 C 的极坐标方程为 p 2 + 12 p cos 0+ 11= 0. ⑵在(1)中建立的极坐标系中，直线 I 的极坐标方程为0= a (和R).设A , B 所对应的极径分别为p 1, p 2,将I 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 p 2 + 12 p cosa+ 11= 0.于疋 p 1 + p2=— 12cos a,p 1 p 2= 11. |AB| = | 1p — p 2|= (p 1+p 2)2— 4P 1 p 2=144cos 2 a — 44.由 |AB| = 得 cos 2 a = 3, tan a= ±35.8 3所以I 的斜率为弓5或一W 53 3X = — 8 + t ,11. （2017江苏，理）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I 的参数方程为 t（t 为y=2x = 2s 2,参数），曲线C 的参数方程为（s 为参数）•设P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直线y = 2*2sI 的距离的最小值. 答案誓5解析 直线I 的普通方程为x — 2y + 8 = 0. 因为点P 在曲线 C 上，设P （2s 2, 2 2s ）, 从而点P 到直线I 的距离d0+（- 2） 2V 5当S =返时，s min =卑5.因此当点P 的坐标为（4, 4）时，曲线C 上点P 到直线I 的距离取到最小值为 12. （2018湖南省五市十校咼三联考 ）在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为a 的直线I 的参数方1x = 3+ tcos a, x =A,程为（t 为参数），直线I 与曲线C :cos 0（ 0为参数）相交于不同的两点y = tsin a4、5 5y= tan 0A , B.1x = 3+ , （t为参数）,y 冷代入曲线C 的普通方程，得t 2— 6t — 16 = 0,设A , B 两点对应的参数分别为 t i , t 2,贝y t i +t 2= 6,所以线段AB 的中点对应的t =号里=3, 故线段AB 的中点的直角坐标为(9, 晳). ⑵将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(COS 2a — sin 2 a )t 2+ 6tC0S a + 8 = 0 ,则|PA| |PB|= |t 1t 2|= |cos 2 a 8 sin 2 a |COS Sin a 1=总(1 + tan 2a) =| 1 — tan 2 a|,13. (2018东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴C 1的极坐标方程为 p= 4cos 0,直线I 的参数方程是(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程;线C 2上的动点，求PQ 的中点M 至煩线I 的距离的最大值. 答案 (1)x 2+ y 2— 4x = 0, x + 2y — 3 = 0(2)』n ,(1)若a= ~，求线段 AB 的中点的直角坐标;(2)若直线l 的斜率为 2,且过已知点P （3, 0），求|PA| - |PB|的值. 答案（1）（|,竽）40 ⑵T 解析(1)由曲线C :1x c o s(为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2—y 2= 1.n当a=—时，直线I 的参数方程为由已知得tan a =2,故 |PA| |PB| =403 . 为极轴，建立极坐标系•曲线⑵若曲线C2的参数方程为x = 2cos a, y = sin a(a 为参数)，曲线C 1上的点P 的极角为寸,Q 为曲(t 为参数).解析 ⑴由 p= 4cos B 得 p 2= 4 pcos 0,又x 2 + y 2=p, x =p os 0, y =p in 0,所以曲线 C i 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 -4x = 0, 由直线I 的参数方程消去参数t 得直线I 的普通方程为x + 2y - 3 = 0.- n(2)因为点P 的极坐标为(2 .2, ~4),直角坐标为(2, 2), 点Q 的直角坐标为(2cos a, sin a ), 1所以 M(1 + cos a, 1 + ^sin a ),|1 + cos a + 2+ sin a — 3|10n点M 到直线I 的距离d = -------------- 5二亠厂⑻n ( + —)|,当a+n= n+ k n (k € Z),即a=n+ k n (圧Z)时，点M 到直线l 的距离d 的最大值为亠严.4 2 45x = t ,14. (2018天星大联考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为 (t 为参数).以0为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 p= 2.2cos( 0n+才)，若直线l 与曲线C 交于A , B 两点.(1)若 P(0,— 1)，求 |PA|+ |PB|;⑵若点M 是曲线C 上不同于A , B 的动点，求△ MAB 的面积的最大值. 答案d )¥⑵罟 y =— 1 +2 2(x — 1)2+ (y + 1)2= 2,得 t 2— 3t — 1 = 0，设方程的解为 t 1 , t 2，贝y t 1+ t 2 = 3 , t 1t 2=— 1 , 因而 |PA|+ |PB|= |t 1 |+ |t 2|= |t 1 — t 2| =.(t 1+ t 2)2— 4t 1t 2 = ^7°.⑵将直线I 的参数方程化为普通方程为2 2x — y — 1 = 0,设M(1 + . 2cos 0, — 1 + . 2si n 0 ),由点到直线的距离公式，得M 到直线AB 的距离为12 . 2 ( 1 + . 2cos 0)+ 1 — '‘2sin 0 — 1|3最大值为 警,由⑴知|AB| = |PA|+ |PB|= ^3^,因而△ MAB 面积的最大值为1X 彳严3 3 2 33解析(1)尸2.2cos( +~4)可化为 x = pcos 0, p= 2cos 0 — 2sin 0,将y = psin 0代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x — 1)2+ (y + 1)2= 2•将直线l 的参数方程化为1x= 3t ,(t 为参数)，代入|2 , 2+ 4cos 0— . 2sin 0 |3=也9 .x = 2+ tcos ©,1.(2018山西5月联考改编)在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为y = 73+ tsin $(t 为参数，©€ [0,—])，直线I 与O C : x 2 + y 2— 2x — 2 3y = 0交于M , N 两点，当$变化 时，求弦长|MN|的取值范围. 答案[13, 4]解析 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2 + tcos $ )2+ ( .3 + tsin $ )2- 2(2 + tcos $ )— 2 3( 3 + tsin $ )= 0, 整理得，t 2 + 2tcos $ — 3 = 0, 设M , N 两点对应的参数分别为t 1, t 2，贝t 1 + t 2=— 2cos $, ti t 2=— 3,|MN| = |t 1 —12|= (t 1 + ⑵ 2— 4t 1 • t 2= 4COS 2$+ 12, n1 .—•••$€ [0 , §] ,••• cos $€ © 1],. |MN| € [ 13 , 4].(1)求曲线C 的直角坐标方程;x = 3t+ 3,(t 为参数，t € R)的距离最短，并求y = — 3t + 2,出点D 的直角坐标.答案(1)x 2+ y 2— 2y = 0(或 x 2+ (y — 1)2= 1) (2)(于,|)解析 (1)由 p= 2sin 0,0€ [0 , 2 n )，可得 p= 2 psin 0 . 因为 p= x 2+ y 2,p sin 0= y , 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2 + y 2 — 2y = 0(或x 2 + (y — 1)2= 1). x =V 3t +V 3,(2)因为直线I 的参数方程为(t 为参数，t € R),消去t 得直线I 的普通方程为y =— 3t + 2,y =— . 3x + 5.因为曲线C ： x 2+ (y — 1)2= 1是以(0, 1)为圆心，1为半径的圆，设点 D(x °, y 0)，且点D 到 直线l : y = —. 3x + 5的距离最短，所以曲线 C 在点D 处的切线与直线I : y =— , 3x + 5平行, 即直线CD 与］的斜率的乘积等于-1即骨X (— 3)= -1•①2. (2018陕西省西安地区高三八校联考 )在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p= 2sin 0,0€ [0 , 2 n ).(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l :因为 x o 2+ （y o — 1）2= 1，② 由①②解得x o =— -2或X o =¥， 所以点D 的直角坐标为（—, 2）或（于，!）•由于点D 到直线y =— ,3x + 5的距离最短，所以点 D 的直角坐标为（g 3, |）.2 23. （2014课标全国I ）已知曲线C : 丁 + £ = 1，直线（1）写出曲线C 的参数方程，直线I 的普通方程; x = acos B,（B 为参数），写出曲线Cy = bsin 0的参数方程.消去直线 l 的参数方程中的参数t 可得直线l 的普通方程.⑵设出点P的坐标的参数形式.求出点P到直线l 的距离d ,则|PA=帶.转化为求关于0的三角函数的最值问题，禾U 用辅助角公式 as in 0 + bcos 0= .a 2+ b 2si n （肝$求解.x = 2cos 0,答案(1)C :( 0为参数)，1: 2x + y — 6= 0 y = 3sin 0x = 2cos 0,解析（1）曲线C 的参数方程为（0为参数）.y = 3sin 0直线l 的普通方程为 2x + y — 6= 0.当sin （ + a ）— 1时，|PA 取得最大值，最大值为当sin （ + a ） 1时，|PA|取得最小值，最小值为 4. （2015 •福建）在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程为极坐标系（与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 为极轴）中，直线l 的方程为.2 p sin （ 0-亍）=m （m € R ）. （1）求圆C 的普通方程及直线I 的直角坐标方程;x = 2 + t ,1: y = 2 — 2t (t为参数).⑵过曲线C 上任意一点P 作与I 夹角为30°的直线,交I 于点A ，求|PA|的最大值与最小值.思路⑴利用椭圆x 2+y 2= 1（a>0 ,b>0）的参数方程为 (2)|PA|max =22 5|PA hin = ¥5⑵曲线C 上任意一点 P(2cos 0,3sin 0 ）到l 的距离为d = "55|4COS 0 + 3sin 0— 6|,则 |PA|==^|5si n( + a—6|,其中 a 为锐角，且tan a43.x = 1+ 3cost , y =— 2+ 3sint (t 为参数).在 O 为极点，以x 轴非负半轴.5(1)分别求出曲线 C i , C 2的普通方程;n⑵若C 1上的点P 对应的参数为a= — ,Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 x = 3+ 2t , C 3：y =— 2 +1(t 为参数)距离的最小值及此时 Q 点坐标. 答案（1）c 仁（x + 4）2+ （y — 3）2= 1 C 2： 64+£ =1（2）-85_5, （32,—5x = — 4 + cos a,解析（1）由曲线C 1： （ a 为参数），得（x + 4）2+ （y —它表示一个以(一 4, y = 3+ sin a3)为圆心，以1为半径的圆;x = 8cos 0, 由C 2：y = 3sin 0它表示一个中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为 8，短半轴长为3的椭圆.(0为参数)，得64+咅1, n⑵当a= ~2时，P 点的坐标为(一4, 4)，设Q 点坐标为(8cos 0, 3sin 0 ), PQ 的中点 M( — 2 3+ 4cos 0, 2+ 2sin 0）.x = 3+ 2t ,「C 3： y =— 2 +「「C 3 的普通方程为 x — 2y -7= 0,|— 2 + 4cos 0 — 4— 3sin 0 — 7| d = |4cos 0 — 3sin 0 — 13| |5sin （ 0+ ©） — 13|•••当 sin 0=— , cos 0 =5,d 的最小值为牛5,5⑵设圆心C 到直线I 的距离等于2,求m 的值. 答案(1)(x — 1)2 + (y + 2)2= 9, x — y + m = 0 ⑵m = — 3塑.2解析 ⑴消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x — 1)2+ (y + 2尸=9.p sin 0— pcos 0 — m = 0.所以直线I 的直角坐标方程为x — y + m = 0.(2)依题意，圆心 C 到直线I 的距离等于2,|1—（一 2）+m|= 2,解得 m =— 3埜.2.x =— 4+ cos a,x = 8cos 0,_（ a 为参数）,C 2： （ 0为参数）. ~ ' y = 3sin 05.已知曲线C i ：y = 3 + sin a32 9•••Q点坐标为（丁，—5）.（第二次作业）x=/2cos 6,1. （2018衡水中学调研卷）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（6为参数）,y= sin 6曲线C2：x2+ y2—2y = 0,以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线1: 0a （祚0）与曲线C l, C2分别交于点A , B（均异于原点O）.（1）求曲线C1, C2的极坐标方程;⑵当0< a导时，求|OA|2+ |OB|2的取值范围.答案2(1)p= 1+2?¥，P =2sin 0 (2)(2，5)解析x = x/2cos 6(1) •( 6为参数)，•曲线y= sin 62C1的普通方程为+y2=1，x = pcos 0由得曲线C1的极坐标方程为p2= 2 0.y = p in 0 1 + sin 0x2+ y2—2y = 0,「.曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 0 .2⑵由(1)得|OA|2= P= 1 + sin2a , |OB|2= p= 4sin2a,i十sin久2 2•••|OA|2+ |OB|2= 厂+ 4si n2a= 厂+ 4(1 + si n2a ) —4,1+ sin a 1 + sin an _ 2 c• 0< a < , • 1<1 + sin a <2, • 6< 2 + 4(1 + sin a )<9,1 + sin a•••|0A|2+ |0B|2的取值范围为(2, 5).2. （2018皖南八校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x = a+ acos 3, y= asin 3（a>0,3为参数）•以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线I的极坐标方程n 3为pcos( 0-亍)=（1）若曲线C与I只有一个公共点，求a的值;(2)A，冗B为曲线C上的两点，且/ AOB =—，求△ OAB面积的最大值.答案矗a2 (1)a= 1⑵=解析直线I的直角坐标方程为x + .3y —3= 0.（1）由题意知，曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆,由直线I与圆C只有一个公共点，可得色尹」a, 解得a= 1, a=—3（舍）.所以a= 1.⑵曲线C是以（a, 0）为圆心，以a为半径的圆，且/ AOB = £，由正弦定理得= 2a,^3 nsin§所以|AB| = ,3a.n又|AB|2= 3a2= |OA|2+ |OB|2—2|OA| |OB| •os—> |OA| - |OB|,3所以S SAB = ^|OA| - |OB|sin3<1x 3a2x^= 3 3 ,所以△ OAB面积的最大值为3 3a .4x = 2+ 2cost,3. （2018福建质检）在直角坐标系xOy中，曲线C i的参数方程为（t为参数）.在y= 2sint以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P= 2sin B,曲线C3：0 n=百（P >0） A（2 , 0）.（1）把C i的参数方程化为极坐标方程；⑵设C3分别交C1, C2于点P, 0,求厶APQ的面积.1答案（1）= 4cos0 （2） 3 —2解析（1）曲线C1的普通方程为（X —2）2+ y2= 4,即x2+ y2—4x = 0,所以C1的极坐标方程为p —4 pcos 0 = 0,即卩P= 4cos 0 .n n⑵方法一：依题意，设点P, Q的极坐标分别为（P,石）,（p, "6）.n将0= "6代入P= 4cos 0,得卩=2 3,, n r将0= M代入P= 2sin 0,得p= 1,6所以|PQ|= | p— p2|= 2 . 3—1,点A（2 , 0）到曲线0= R p >0）距离 d = |OA|sin^ = 1.所以S^APQ = ^|PQ| - d = x （2 3—1）x 1 = ~ .n n方法二：依题意，设点P, Q的极坐标分别为（p 1, ）, （p,）.6 6将0=石代入P= 4cos0,得p = 2 3，得|OP|= 2 . 3,将 0= "6代入 P= 2sin 0,得 p= 1,即 |OQ| = 1.n因为A(2 , 0)，所以Z POA = 6所以 S ^APQ = S A OPA —OQA1 n 1n=2|OA| - |OP| - sin§ — 2|OA| - |OQ| - sin§ 1 1 1 1 =尹2x 23 x1—1X 2 x 1X14. (2018河北保定模拟)在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变,一 一 1纵坐标缩短为原来的2,得到曲线C 2.以坐标原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐 标系，已知曲线 C 1的极坐标方程为 p= 2.(1)求曲线C 2的参数方程;⑵过坐标原点0且关于y 轴对称的两条直线l i 与I 2分别交曲线C 2于A , C 和B , D ，且点 A 在第一象限，当四边形 ABCD 的周长最大时，求直线 11的普通方程.x = 2cos 01答案(1)( 0为参数)(2)y = ；xy = sin 0 4解析(1)由p= 2,得p= 4，因为p= x 2 + y 2, x = pcos 0, y = p in 0,所以曲线C 1的直角 坐标方程为x 2+ y 2= 4.由题可得曲线C 2的方程为 x4+y 2=1.所以曲线C 2的参数方程为x = 2cos 0 (0为参数).y = sin 0⑵设四边形ABCD 的周长为I ，点A(2cos 0, sin 0 ), cos 0+ ；sin 0 ) = 4.5sin ( + $ )其中 cos $= 15, sin $= 25.n*所以当0+片2k n + y(k € Z)时，I 取得最大值，最大值为4,5.此时 n0= 2k n + ~ — $ (k € Z),所以4 12cos 0= 2sin $ = —, sin 0 = cos $ =—V 5 V 5此时贝U I = 8cos 0 + 4sin 0 =1所以直线b 的普通方程为y = 4X.(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为p= 2 5sin B .(1) 求直线I 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；(2) 设圆C 与直线I 交于A , B 两点，若点P 的坐标为(3, -.5)，求|PA|+ |PB|. 答案(1)y = — x + 3+ 5, x 2+ (y — 5)2= 5(2)3 2x = 3-专 t ,解析(1)由直线I 的参数方程(t 为参数)得直线I 的普通方程为y = — x + 3 + y=0 普t5.由 p= 2 5sin B,得 x 2 + y 2— 2 5y = 0, 即圆C 的直角坐标方程为 x 2+ (y — ,5尸=5.x 2+( y — V 5) 2= 5,(2)通解：由得 x 2 — 3x + 2= 0,y =— x + 3+ V 5x = 1, x = 2,解得或y = 2+乂 5 y = 1+p 5.不妨设A(1 , 2 + _5), B(2 , 1 + 5),又点P 的坐标为(3 , 5).故|PA|+ |PB|= 8 + 2= 3 2.优解：将直线I 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得(3 —-22t)2 + e^2t)2= 5，即t 2— 3.2t + 4 = 0., ct 1+12= 3 , 2, 由于△= (3 , 2)2— 4 X 4= 2>0,故可设t 1, t 2是上述方程的两个实根，所以t 1t 2 = 4.又直线I 过点P(3 , .5),故|PA|+ |PB|= |t 1|+ |t 2|= t 1 + t 2= 3.2. 6. (2017 •西南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a , 1)，其参数方程为x = a + . 2t ,厂(t 为参数，a € R).以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线y = 1+ ,2tC 2的极坐标方程为 pcos 2 B + 4cos B — p= 0.5. (2018湖北鄂南高中模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为x = 3 —(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;⑵已知曲线C l 与曲线C 2交于A ,B 两点，且|PA|= 2|PB|,求实数a 的值.2答案(1)x -y — a + 1 = 0, y 2= 4x解析（1） •••曲线C i 的参数方程为x = a + 2t , y = 1+ .2t , •其普通方程为x — y — a + 1 = 0. •••曲线C 2的极坐标方程为 pcos 2 0•p 2cos 2 0+ 4 p cos 0— p= 0,+ 4cos B —尸 0, • x 2+ 4x — x 2— y 2= 0,即曲线C 2的直角坐标方程为y 2= 4x. y 2= 4x , (2)设A , B 两点所对应的参数分别为 t 1, t 2，由x = a + 2t ,得212— 2.2t + 1 y = 1 + . 2t ,4a = 0.△ = (2.2)2— 4X 2(1 - 4a)>0,即a>0,由根与系数的关系得 t 1+ t 2= 2, 1 — 4a t 1 • t 2= —~ 根据参数方程的几何意义可知 |PA|= 2|t 11, |PB|= 2|t 2|, 又|PA|= 2|PB|可得 2|t 1|= 2 X 2|t 2|, 即卩 t 1= 2t 2 或 t 1 = — 2t 2. t 1+ t 2= 3t 2= . 2 ,有 2 1 — 4a ，解得 a= 36>0, t 1 • t 2= 2t 22= 36•••当 t 1 = 2t 2 时,符合题意. 当 t 1=— 2t 2 时,t 1+ t 2=— t 2 = 2,g 有 21 — 4a ，解得 a= 4>0,t 1 • t 2 = — 2t 22= 4符合题意.综上所述，实数a 的值为36或9.（2）36或舟。