江苏高考数学总复习专题 1椭圆试题含解析

专题10.1 椭圆【三年高考】1．【2017江苏】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）4737(,)．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是223ba c =-=，因此椭圆E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以20001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737x y ==；220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P 的坐标为4737(． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．2. 【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）12． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,a b c 的两个等量关系，本题中椭圆过点41(,)33C ，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,a b c 的方程，另外2222BF OB OF a =+=2=（2）要求离心率，就是要列出关于,,a b c 的一个等式，题设条件是1F C AB ⊥，即11F C AB k k ⋅=-，2AB F B bk k c==-，要求1F C k ，必须求得C 的坐标，由已知写出2BF 方程，与椭圆方程联立可解得A 点坐标11(,)x y ，则11(,)C x y -，由此1F C k 可得，代入11F C AB k k ⋅=-可得关于,,a b c 的等式，再由222,cb ac e a=-=可得e 的方程，可求得e .试题解析：（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b，2BF a ===，又41(,)33C ，∴22241()()3312b +=，解得1b =．∴椭圆方程为2212x y +=．（2）直线2BF 方程为1x yc b +=，与椭圆方程22221x y a b +=联立方程组，解得A 点坐标为2322222(,)a c b a c a c -++，则C 点坐标为2322222(,)a c b a c a c++，133222232223F C b b a c k a c a c cc a c +==+++，又ABb k c=-，由1F C AB ⊥得323()13b b a c c c ⋅-=-+，即42243b a c c =+，∴222224()3a c a c c -=+，化简得c e a ==． 3．【2013江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．【答案】3【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知1bc d a ==，22222a a c b d c c c c-=-==.∵21d =，∴2b c a=，即2ab =. ∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝13.∴3e =. 4．【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A．3B．3C ．23D ．59【答案】B 【解析】 试题分析：94533e -==，选B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．5.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A 【解析】【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).6．【2017课标1，理20】已知椭圆C：22 22=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【解析】试题解析：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.7．【2016高考新课标1文数改编】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为 ．【答案】12【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在Rt OFB ∆中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且222a b c =+,代入解得22a 4c =,所以椭圆得离心率得1e 2=．考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a ,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .8．【2016高考新课标Ⅲ文数改编】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ． 【答案】13【解析】试题分析：由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点||()FM k a c =-，||OE ka =，由OBE CBM ∆∆:，得1||||2||||OE OB FM BC =，即2(c)ka a k a a c =-+，整理，得13c a =，所以椭圆离心率为13e =．考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．9．【2016高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；=e .【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线,AN BM 的值求乘积为定值即可.试题解析：（I ）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c ==所以离心率c e a ==． （II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线PA 的方程为()0022y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+．令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 10．【2016高考山东文数】(本小题满分14分)已知椭圆C :x 2a +y 2b =1（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2√2. （I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k ′k 为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.【答案】(Ⅰ) 22142x y +=.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为62【解析】试题分析：(Ⅰ)分别计算,a b 即得. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>， 利用对称点可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 得到直线PM 的斜率，直线QM 的斜率，即可证得.(ii)设()()1122,,,A x y B x y ，分别将直线PA 的方程y kx m =+，直线QB 的方程3y kx m =-+与椭圆方程22142x y +=联立，应用一元二次方程根与系数的关系得到21x x -、21y y -及AB k 用k 表示的式子，进一步应用基本不等式即得.试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由题意知24,2a c ==所以2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>， 由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率002m m mk x x -== ， 直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-. 此时'3k k =-，所以'k k为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ， 直线PA 的方程为y kx m =+， 直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()2122221m x k x -=+ ， 所以()()21122221k m y kx m m kx -=+=++，同理()()()()2222222262,181181m k m x y m kx k x---==+++.所以()()()()()()()222221222222223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，()()()()()()()()2222212222622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由00,0m x >>，可知0k >，所以16k k+≥，等号当且仅当k =时取得.=，即7m =，符号题意.所以直线AB考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.11．【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=.12．【2015高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程. 【解析】（I ）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b，又OM k =，从而2b a =，进而得,2a c b ===，故c e a ==. （II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB1yb+=，点N 的坐标为1,)2b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为117,)244x b +-+.又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k ⋅=-,从而有11744171x b b b +-++=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩解得3b =，所以a =，故椭圆E 的方程为221459x y +=. 13.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222PF PF ==，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e【解析】 (1)由椭圆的定义，((122|PF ||PF |224a a =+=+-=，故=2.设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122|FF |c ==即从而b 1=，故所求椭圆的标准方程为22+y =14x .(2)解法一：如图(21)图，设点P 00(,y )x 在椭圆上，且12PF PF ⊥，则22222000022y +=1,x x y c a b +=，求得200=y .b x c =±由12|P F |=|||P F |PQ >,得0>0x,从而()(22222221|PF |=22.b a b a c ⎛⎫⎫+=-+=+ ⎪⎪⎭⎝⎭由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a =-，又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |PF |，因此(1|PF |=4a ，于是((24.a a=解得e ==解法二：如图(21)图由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a =-，又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |PF |，因此1142|PF |PF |a -,1|PF |a ,从而21|PF |=2-|PF |21)a a a a =-=由12PF PF ⊥,知22222122|PF ||P F ||PF |(2)4c c +===，因此ce a =14.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x yx y ==-，代入2201x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQ k m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQk S k k ∆+==+>--； 当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.15.【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【解析】（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O 到直线的距离22bc d a b c ==+，由12d c =，得2222a b a c ==-，解得离心率32c a =.(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |10=易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=，设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是()22212121215|AB |1|410(2)22x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭由|AB |10=210(2)10b -23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2)依题意，点A ，B 关于圆心()2,1M -对称，且|AB |10.设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=，两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=.易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-=所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-==由|AB |=23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分. 展望2018年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2018年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【2018年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】椭圆的定义与标准方程 【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a +=(122||a F F >).注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>.给定椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>，要根据,m n 的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中,,a b c 关系为：222a b c =+. 【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的焦距为2,过M （1,1）斜率为-23直线l 交曲线C 于,A B 且M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的标准方程为_____________.【答案】22132x y += 【解析】由题知，2c=2，c=1，即221a b =+，①设A 11(,)x y ，22(,)B x y ，则12x x +=2，12y y +=2，2211221x y a b +=③，2222221x y a b+=④，③-④得2222121222x x y y a b --+=1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-++=1212222()2()x x y y a b--+=0， ∴l k =1212y y x x --=22b a -=-23⑤，由①⑤解得，223,2a b ==，故椭圆C 的标准方程为22132x y +=，. 2.在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程.【解析】（Ⅰ）由于直线l 经过点)2,3(P 和F （2，0）， 则根据两点式得，所求直线l 的方程为.23220--=--x y 即).2(2-=x y 从而直线l 的方程是).2(2-=x y（Ⅱ）设所求椭圆的标准方程为)0(1.2222>>=+b a b y a x ，由于一个焦点为F （2，0），则4,222=-=b a c 即①， 又点)2,3(P 在椭圆)0(1.2222>>=+b a by a x 上， 则12922=+b a ② 由①②解得.8,1222==b a 所以所求椭圆的标准方程为181222=+y x 【考点2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质图形标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)y x a b a b+=>> 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a顶点 长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b ) 长轴顶点(0，±a )，短轴顶点(±b,0) 对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称离心率e ＝ca∈(0，1)，其中c ＝a 2－b 2 2.点00(,)P x y 与椭圆22221x y a b +=关系（1）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔2200221x y a b +=；（3）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222a b c =+化出关于,a c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：222222c a b e a a -===221b a -⇒21b e a=-.4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[,a c a c -+].4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值. 【考点针对训练】1.椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为________ 【答案】5.2【解析】横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=2.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F0y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为___________．1【解析】设(,0)F c -0y +=的对称点A 的坐标为(m,n)，则(1022n m cm c n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，所以2c m =，2n =，将其代入椭圆方程可得22223441c c a b +=，化简可得42840e e -+=，解得1e =． 【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、． （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r,求直线l 的方程．【解析】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=． （Ⅱ）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=．当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-．由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=．设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 28(1)0k ∆=+>对任意x R ∈都成立，2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++u u ur u u u r ，，，，， ，因为11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,所以110F P FQ ⋅=u u u r u u u r,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ 2271021k k -==+, 解得217k =,即77k =±．故直线l的方程为10x +-=或10x --=．2.在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论．【解析】（Ⅰ）由题意可得OP OM ⊥，所以0OP OM ⋅=u u u r u u u u r ，即(,)(,4)0x y x -=，即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y =；（Ⅱ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -．由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， 则216640k ∆=->，即||2k >． 12124,16x x k x x +==． 直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+，212221()y yy x x y x x -∴=-++，2222122121()4()4x x y x x x x x -∴=-++，2221212211221, y 44444x x x x x x x x xy x x x ---∴=-+∴=+，即2144x x y x -=+所以，直线'A B 恒过定点(0,4)．【两年模拟详解析】1. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知椭圆)(0122>>=+n m ny m x 的左、右焦点分别为21F F ,，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则=⋅21PF ． 【答案】2n m -【解析】mn n m n c b OF PO PF PF -=--=-=-=⋅2)(2221221 2. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若2220AF CF +=u u u u r u u u u r，则椭圆的离心率为 ．【答案】5 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为12( 0) ( 0)F c F c -，，，， 将x c =-代入椭圆方程可得2b y a=±，故可设200( ) ( )b A c C x y a -，，，，由2220AF CF +=u u u u r u u u u r , 可得222AF F C =u u u u r u u u u r ，即有200(2 )2( )b c x c y a -=-，，，即2222 2b c x c y a=--=，， 可得2002 2b x c y a ==-，，代入椭圆方程可得，2222414c b a a+=，由222 c e b a c a ==-，，即有221414e e -+=，解得215e =，故5e =.3. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】 解:(1) 因为，，所以，所以的坐标为（1,0），设，，直线的方程为，代入椭圆方程，得，则，．若，则，解得，故直线的方程为．（2）由（1）知，，，所以，所以，故存在常数，使得．4.【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F -，左准线方程为2x =-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=uu r uu u r ，PB BF μ=u u ru u u r .求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB V 面积的取值范围.【答案】（1）（2）①②【解析】解：（1）由题设知，，，，，：.（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则. 设，，直线代入椭圆得，整理得，，，. 由，知，，（定值）.②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积，当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，设，，将代入椭圆得到，，，同理，，的面积 .令 ， ，令，则 .综上所述，.5. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b+=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）12-【解析】解：（1）因02b <<，所以椭圆E 的焦点在x 轴上， 又圆222:O x y b +=经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距·l T POyxQ 第17题图c b =， ……………3分所以224b =，即22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=. ……………6分 （2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m =-， 所以0k x m =-，012k y m k m m =-⋅=， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. …………14分 方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-， 又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，① 又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，② 由①②可得02212kmx k=-+，0212my k =+. ……………10分以下同方法一.6.【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且点),(213-在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 交椭圆C 于Q P ,两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且1=OH ， 求POQ ∆面积的最大值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）1【解析】解：（1）由已知得c a =221341a b +=， 解得24a =，12=b ， ……2分椭圆C 的方程是2214x y +=. ……4分（2）设l 与x 轴的交点为(,0)D n ，直线:l x my n =+，与椭圆交点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立x my n =+，2214x y +=，得222(4)240m y mny n +++-=，1,2y =∴ 12224y y mn m +=-+，212244n y y m -=+， ∴ 12122()24224x x m y y n n m +++==+，即224(,)44n mnH m m -++， ……6分 由1OH =，得2222(4)16m n m +=+， ……10分则S △POQ 121211||||||22OD y y n y y =-=-，令22222121212224()[()4]1216(16)m T n y y n y y y y m +=-=+-=⋅⋅+， ……12分设24(4)t m t =+…，则2222411144(16)241444824m t m t t t t+==+++++„，……14分当且仅当144t t=，即12t =，S △POQ 1=， ……15分 所以△POQ 面积的最大值为1. ……16分7.【2017年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>（1）求椭圆C 的方程；（2）若,P Q 为椭圆C 上两不同点,线段PQ 的中点为M .当三角形OPQ 面积等于1时，求||OM 的取值范围.【解析】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c (0)c >.则22,1c a c a c b a c =-=⇒==== ， 因此椭圆方程为2214x y +=.………………………4分（2）①若直线PQ 垂直x 轴，则由22221||2||1(1)122,024P P P P P M M x x y x x x y ⨯=⇒⋅-=⇒=⇒== ，即||OM =………………………6分②若直线PQ 不垂直x 轴，设直线1122:(0),(,),(,),PQ y kx m m P x y Q x y =+≠由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(14)8440k x kmx m +++-= 所以2121222844,,01414km m x x x x k k --+==∆>++ ，………………………8分因此12211||||||22214OPQO PQ m S d PQ x x k-=⨯⨯=-=⨯+V222||114m k +≤=+，当且仅当22||42m k m =+=时取等号. …………12分此时221224221,2142M M M x x km k k m x y kx m k m m m+---+====+==+ ，因此||OM ===22211422k m m +=∴≥Q，||OM ∈. 综合①②得||OM的取值范围为[2.………………………16分 8.【2017年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，上、下顶点分别为(0,1),(0,1)B C -．P为直线2y =-上一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点.M （1）求椭圆方程；（2）若直线,MB PB 的斜率分别为12,,k k 求证：12k k 为定值； （3）求PB PM ⋅u u u r u u u u r的取值范围． 【解析】（1）由题意得,122c b a a ==⇒=，因此椭圆方程为2214x y +=．……………………2分 （2）设112(,),(,2)M x y P x -，则11211y x x +=-， 因此2111112212111113(1)133y y y y k k x x x x x --+--=⋅=⋅=⋅， 因为221114x y +=，所以22111231,44x y k k -=-=-为定值．………………………8分（3）由（2）得1121212121111(,3)(,2)()3(2)()11x xPB PM x x x y x x x y x y y ⋅=-⋅-+=--++=++++u u u r u u u u r221111*********(1)4(1)113(2)(1)3(2)(1)3(2)4(1)11111x y y y y y y y y y y y --+=+++=+++=-+++++++11183(2)61y y y +=-++，因为121188(6)101(1)y y y '-+=--<++，且111y -<<，所以(9,).PB PM ⋅∈+∞u u u r u u u u r……………16分9.【2017年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为e .椭圆上一点C 满足：C 在x 轴上方，且1CF x ⊥轴. （1）若OC ∥AB ，求e 的值；（2）连结2CF 并延长交椭圆于另一点D .若1222e ≤≤，求22||||CF F D 的取值范围.【解析】（1）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距为2c .因为1CF x ⊥轴，则可设()00,,0C c y y ->.因为C 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得20b y a =，即2(,)b C c a -.……………2分因为OC ∥AB ，所以2OC AB b bk k ac a-===-，即b c =.……………4分所以222c e a b c===+……………6分（2）设()11,D x y ，22CF F D λ=u u u u r u u u u r.由（1）知2(,)b C c a -，又()2,0F c ,故22(2,)b CF c a=-u u u u r ，()211,F D x c y =-u u u u r ，由22CF F D λ=u u u u r u u u u r 得，()12c x c λ=-，且21b y aλ-=.解得2112,b x c y a λλλ+==-，所以22(,)b D c aλλλ+-，……………9分因为点D 在椭圆上，所以222222()1b e aλλλ++=，变形得()222431e λλλ++=-，因为0λ>，所以()22211413343e λλλλλλ--===-++++，……………13分因为12e ≤≤21142e ≤≤， 解不等式1411432λ≤-≤+得753λ≤≤， 所以22||||CF F D 的取值范围为7[,5]3.……………16分10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的一个公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若0=⋅，则2C 的离心率是 ． 【答案】26【解析】设双曲线的实轴长为2a ，F '为椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的另一个公共焦点，则由对称性知0AF AF '⋅=u u u u r u u u r ,因此由22222()()2()8AF AF AF AF AF AF c '''-++=+=得22244832a a e +=⨯⇒=⇒== 11．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知。