2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析-专题22 抛物线-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(解析版)
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
解析-2020年江苏省高考数学试卷(原卷版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．。
2020年江苏高考数学试题解析
绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。
二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。
3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。
7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。
江苏省2020年高考数学压轴卷(含解析)
江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三 棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC n 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为42，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =60AED ∠=o .（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲) 已知x ，y ，z 均为正数，且1113112x y y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 0.7，从中任意取出 3件进行检验，求至少有2 件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20 件产品，其中有4不合格，按合同规定 商家从这20 件产品中任取2件，都进行检验，只有2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}A B x x =<<I .故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；L L满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：132 11．【答案】2或3【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥Q 平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆Q 为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅， 求得233PA AF mAH PF m ⋅==+，211422AE PC m ==+， AE ∵平面PBC 所成的角的正弦值为427， 223423sin 142mAH m AEH AE m +∴∠===+,解得2m =或3m =，即PA 的长为2或3，故答案为2或3. 12．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ． 由PQ uuu v 与MN u u u u r共线， 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：013．【答案】(e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2tx e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22Sa bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++-142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >， 故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值3 故可得3[2y z x =∈-， 又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +1334312≤-⨯-=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：312. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =； （2）由正弦定理得sin 23sin a B b B A ==，sin 23sin a Cc C A==ABC ∆周长：23232332323sin()3a b c B C B B π++=++=++- 33323sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1平方百米；（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==o在ABE V 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABE S AB BE ABE V =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE V 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin ,cos 77αα===，当CH DE ⊥时，水管CH 最短， 在Rt ECH V 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭=7百米.18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △.所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。
2020年高考数学江苏卷真题及答案解析
愿你以渺小启程，以伟大结束。
20
愿你以渺小启程，以伟大结束。
21
10
愿你以渺小启程，以伟大结束。
11
愿你以渺小启程，以伟大结束。
12
愿你以渺小启程，以伟大结束。
13
愿你以渺小启程，以伟大结束。
14
愿你以渺小启程，以伟大结束。
15
愿你以渺小启程，以伟大结束。
16
愿你以渺小启程，以伟
18
愿你以渺小启程，以伟大结束。
愿你以渺小启程，以伟大结束。
1
愿你以渺小启程，以伟大结束。
2
愿你以渺小启程，以伟大结束。
3
愿你以渺小启程，以伟大结束。
4
愿你以渺小启程，以伟大结束。
5
愿你以渺小启程，以伟大结束。
6
愿你以渺小启程，以伟大结束。
7
愿你以渺小启程，以伟大结束。
8
愿你以渺小启程，以伟大结束。
9
愿你以渺小启程，以伟大结束。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 抛物线教案(理)(含解析)苏教版
第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线2x 2＋y ＝0的准线方程为________． 解析：∵抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，∴2p ＝12，∴ p 2＝18，故准线方程为y ＝18. 答案：y ＝182．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.答案：15163．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－p2.因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，所以p ＝4.所以抛物线的标准方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是________． 答案：一条直线2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .所以2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y 2＝16x 中，p ＝8，∴准线方程为x ＝－4，∵抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离， ∴d ＝1－(－4)＝5. 答案：52．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为________． 解析：设点P 到准线的距离为d ，则有PF ＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即PF 的最小值为18.答案：183．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于PF ，故动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案：2[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[即时应用]1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：由题意AF 与x 轴正半轴所成角为120°，PA ＝PF ，所以△PAF 为正三角形． 因为p ＝3，所以PF ＝AF ＝2p ＝6. 答案：62．(2019·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，由题意可得P 到准线的距离为5，又P 到y 轴的距离为3，故p2＝5－3，解得p ＝4.答案：4考点二 抛物线的标准方程与几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点． 常见的命题角度有： (1)根据性质求方程； (2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是________． 解析：设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .答案：y 2＝－x 或x 2＝－8y 角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2，所以1＋b 2a 2＝2，ba＝ 3. 由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×23p 3×2p3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.答案：32角度三：抛物线性质的实际应用3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A ，则点A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p＞0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y .设水位下降1 m 后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为2 6 m.答案：2 6[通法在握]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点常设为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y .[提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x 轴上． ∵直线3x －4y －12＝0交x 轴于点(4,0)， ∴抛物线的焦点为(4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由p2＝4，得p ＝8，∴该抛物线的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P 在抛物线准线的射影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离PP ′＝PF ，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d ＝PF ＋PA ≥AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 答案：172考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且OP ＝PB ，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 所以(－8)2＝2p ×8，所以2p ＝8， 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，且不过原点，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，所以m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，所以x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， 所以m ＝8或m ＝0(舍去)，所以直线l 2的方程为x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·FM ·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝|x A |＋|x B |＋p 或AB ＝|y A |＋|y B |＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q.(1)设直线Q A ，Q B 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点， OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . 由题意知，点Q(－2,0)， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2my 1＋4my 2＋4＝－8mp ＋8mpmy 1＋4my 2＋4＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 2－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p ＝4，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8.答案：83．已知P 为抛物线y 2＝8x 上动点，定点A (3,1)，F 为该抛物线的焦点，则PF ＋PA 的最小值为________．解析：易知点A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为x ＝－2，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，则PF ＋PA ＝PM ＋PA ，当A ，P ，M 三点共线时取得最小值，所以PF ＋PA ＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为 (1,0) . 答案：(1,0)5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF ＝2，则S △BCFS △ACF＝________. 解析：∵抛物线方程为y 2＝2x ，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则BF ＝BN ＝x 2＋12＝2，∴x 2＝32，把x 2＝32代入抛物线y 2＝2x ，得y 2＝－3，∴直线AB 过点M (3，0)与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3. 则直线AB 的方程为3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3y －3＝0，与抛物线方程联立，解得x 1＝2， ∴AE ＝2＋12＝52.∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴BC AC ＝BN AE ＝252＝45，故S △BCF S △ACF ＝12BC ·h12AC ·h＝45. 答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x 2＝4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p ＝4，∴p2＝1.∴抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)． 答案：(0,1)2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6， 所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF BF＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p24＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则FN 的长度为________．解析：∵F (3,0)，∴由题意可得M 的横坐标为32，∴FM ＝32＋3＝92，FN ＝2FM ＝9.答案：95．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°. 直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 37．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d .当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2. 所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积S ＝________.解析：设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1， ∴y 0＝5－1＝4，∴|x 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积S ＝12PM ·|x 0|＝12×5×4＝10.答案：102．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2. 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立． 答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
解析2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学
机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．柱体的体积V Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=.【命题意图】本题考查集合中的简单的交集计算.【解析】由集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},所以A∩B={0,2}.答案:{0,2}2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2−i)的实部是.【命题意图】本题主要考查复数的四则运算.【解析】z=(1+i)(2−i)=3+i,则实部为3.答案:33.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.【命题意图】本题主要考查数据特征中的平均数的计算.=4可知a=2.【解析】由4+2a+(3-a)+5+65答案:24.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.【命题意图】本题主要考查古典概型.【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为436=19.答案:195.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为-2,则输入x 的值为 .【命题意图】本题主要考查流程图选择问题,注意选择条件. 【解析】由题可知y ={2x ,x>1,x+1,x≤1,当y =-2时,得x +1=-2,则x =-3. 答案:-36.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2 -y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,则该双曲线的离心率是 .【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,渐近线问题. 【解析】由x 2a2−y 25=0得渐近线方程为y =±√5ax , 又a >0,则a =2,由c 2=a 2+5=9,c =3,得离心率e =c a =32. 答案:32【光速解题】e =√1+(√52)2=32.答案:327.已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23,则f (-8)的值是 . 【命题意图】本题主要考查函数性质,利用奇偶性求函数值. 【解析】y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23, 则f (-8)=-f (8)=-823=-4.答案:-48.已知sin 2(π4+α)=23,则sin 2α的值是 .【命题意图】本题主要考查三角函数恒等变换,利用整体思想求值. 【解析】方法一:因为sin 2(π4+α)=23, 由sin 2(π4+α)=12[1−cos (π2+2α)] =12(1+sin 2α)=23,解得sin 2α=13. 方法二:sin 2α=-cos (π2+2α) =2sin 2(π4+α)-1=13.答案:139.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm 3.【命题意图】本题主要考查正棱柱、圆柱的体积计算,要求学生要熟记公式.【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V ,正六棱柱的体积为V 1,圆柱的体积为V 2,则V 1=6×12×2×2×sin 60°×2=12√3(cm 3),V 2=π×(0.5)2×2=π2(cm 3), 所以V =V 1-V 2=12√3-π2(cm 3).答案:12√3-π210.将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程是 .【命题意图】本题主要考查三角函数的图象的平移变换和性质.重点考查直观想象的数学核心素养. 【解析】设f (x )=y =3sin (2x +π4),将函数f (x )=3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度得g (x )=f (x -π6)= 3sin (2x -π3+π4)=3sin (2x -π12),则y =g (x )的图象的对称轴为2x - π12=π2+k π,k ∈Z,即x =7π24+kπ2,k ∈Z,k =0时,x =7π24,k =-1时,x =-5π24,所以平移后的图象与y 轴最近的对称轴的方程是x =-5π24. 答案:x =-5π24【误区警示】解决本题时一定要看清要求的对称轴方程是平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程.求出平移后的图象的对称轴方程为x =7π24+kπ2(k ∈Z),不要误认为k =0时,x =7π24就是本题的答案,还应验证k =-1时,x =-5π24,两者进行比较,才能得出答案.11.设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列,已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n +2n -1(n ∈N *),则d +q 的值是 .【命题意图】本题主要考查根据前n 项和求数列的通项公式,多写一项,进行作差运算,根据结构得到数列通项.重点考查学生数学运算的核心素养.【解析】设数列{a n },{b n }的首项分别为a 1,b 1,前n 项和分别为A n ,B n ,则A n =d2n 2+(a 1-d2)n ,B n =b1q -1q n +b11−q ,结合S n =n 2-n +2n -1,得{d2=1,q =2,解得{d =2,q =2,所以d +q =4.答案:412.已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),则x 2+y 2的最小值是 .【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值. 【解析】因为5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),所以y ≠0, 所以x 2=1−y 45y 2,则x 2+y 2=15y 2+45y 2≥2√425=45, 当且仅当15y 2=45y 2时,即y 2=12, x 2=310时,x 2+y 2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x 2+y 2)·4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2,故x 2+y 2≥45,当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2,即x 2=310,y 2=12时,取等号.所以(x 2+y 2)min =45. 答案:4513.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(32-m)(m 为常数),则CD的长度是.【命题意图】本题主要考查平面向量共线的应用.重点考查直观想象及数学运算的核心素养.【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.设=λ=λm+λ(32-m),因为C,D,B三点共线,所以λm+λ(32-m)=1,解得λ=23,所以AD=3=AC,所以CD=2·AC·cos C=185.答案:18514.在平面直角坐标系xOy中,已知P(√32,0),A,B是圆C:x2+(y-12)2=36上的两个动点,满足P A=PB,则△P AB面积的最大值是.【命题意图】本题主要考查直线与圆相交问题,通过设圆心角表示面积,利用导数求最值.突出考查数学运算的核心素养.【解析】方法一:如图,作PC所在直径EF,交AB于点D,因为P A=PB,CA=CB=R=6,所以PC⊥AB.要使面积S△P AB最大,则P,D位于C的两侧,并设CD=x,计算可知PC=1,故PD=1+x,AB=2BD=2√36−x2,故S△P AB=12AB·PD=(1+x)√36−x2,设∠BCD=θ,则x=6cos θ,S△P AB=(1+x)√36−x2=(1+6cos θ)·6sin θ=6sin θ+18sin 2θ,0<θ<π2, 记函数f (θ)=6sin θ+18sin 2θ,则f'(θ)=6cos θ+36cos 2θ=6(12cos 2θ+cos θ-6), 令f'(θ)=6(12cos 2θ+cos θ-6)=0, 解得cos θ=23(cos θ=-34<0舍去),显然,当0<cos θ<23时,f'(θ)<0,f (θ)单调递减;当23<cos θ<1时,f'(θ)>0,f (θ)单调递增; 结合cos θ在(0,π2)上单调递减,故cos θ=23时,f (θ)最大,此时sin θ=√1−cos 2θ=√53, 故f (θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5,即△P AB 面积的最大值是10√5.方法二:由已知PC =1,设12∠ACB =α(α∈(0,π2)),则△P AB 的面积S =12·(6cosα+1)·12sin α=6sin α(6cos α+1), 令S'=6(12cos 2α+cos α-6) =6(4cos α+3)(3cos α-2)=0,解得cos α0=23(负值舍去),所以S 在(0,α0)上单调递增,在(α0,π2)上单调递减,所以S max =6×√53×5=10√5. 答案:10√5二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,B 1C ⊥平面ABC ,E ,F 分别是AC ,B 1C 的中点. (1)求证:EF ∥平面AB 1C 1; (2)求证:平面AB 1C ⊥平面ABB 1.【命题意图】本题主要考查立体几何线面平行、面面垂直的证明,考查学生空间想象能力和推理能力.【证明】(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB,又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.16.（本小题满分14分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√2,B=45°.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值.【命题意图】本题主要考查正余弦定理及两角和差公式的应用,考查学生解题的严谨性.【解析】(1)由余弦定理,得cos B=cos 45°=a 2+c2-b22ac=26√2=√22,因此b2=5,即b=√5,由正弦定理csinC =bsinB,得√2sinC=√5√22,因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=-45,所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35,因为∠ADC∈(π2,π),所以C∈(0,π2),所以cos C=√1−sin2C=2√55,所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525,因为∠DAC ∈(0,π2),所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525, 故tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211. 17.（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO'为铅垂线(O'在AB 上),经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1=140a 2;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2=-1800b 3+6b.已知点B 到OO'的距离为40米.(1)求桥AB 的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD 和EF .且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元),桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0),问O'E 为多少米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低？【命题意图】本题主要考查实际生活问题中的模型建立及导数的实际应用.重点考查数学建模的核心素养. 【解析】(1)过A ,B 分别作MN 的垂线,垂足为A',B', 则AA'=BB'=-1800×403+6×40=160(米).令140a 2=160,得a =80,所以AO'=80,AB =AO'+BO'=80+40=120(米). (2)设O'E =x ,则CO'=80-x ,由{0<x <400<80−x <80,得0<x <40.设总造价为y ,则y =3k2[160−140(80-x )2]+k [160−(-1800x 3+6x)] =k800(x 3-30x 2+160×800), y'=k800(3x 2-60x )=3k800x (x -20),因为k >0,所以令y'=0,得x =0或x =20, 所以当0<x <20时,y'<0,y 单调递减;当20<x <40时,y'>0,y 单调递增.所以,当x =20时,y 取最小值,即当O'E 为20米时,造价最低. 18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中,若椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B. (1)求△AF 1F 2的周长;(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ,求·的最小值;(3)设点M 在椭圆E 上,记△OAB 与△MAB 的面积分别是S 1,S 2,若S 2=3S 1,求M 的坐标.【命题意图】本题考查了(1)利用椭圆的定义求焦点三角形的周长;(2)求平面向量数量积最值问题;(3)面积比值转化为高之比,从而转化为平行线间的距离求出直线方程.考查数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】(1)△AF 1F 2的周长=2a +2c =6.(2)由椭圆方程得A (1,32),设点P (t ,0),则直线AP 方程为y =321−t (x -t ),令x =a 2c =4得y Q =6−32t 1−t =12−3t 2(1−t ), 即Q (4,12−3t 2−2t),=(t -4,12−3t 2t -2),·=t 2-4t =(t -2)2-4≥-4, 即·的最小值为-4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1,M 到直线AB 的距离为d 2, 若S 2=3S 1,则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1×3,即d 2=3d 1, 由题意可得直线AB 的方程为y =34(x +1), 即3x -4y +3=0,所以d 1=35,d 2=95.由题意得,M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点, 设平行于AB 的直线l 为3x -4y +m =0,与直线AB 的距离为95, 所以√9+16=95,即m =-6或12.当m =-6时,直线l 为3x -4y -6=0, 即y =34(x -2),联立{y =34(x -2)x 24+y 23=1,可得(x -2)(7x +2)=0,即{x M =2y M =0,或{x M =−27y M =−127, 所以M (2,0)或(-27,-127).当m =12时,直线l 为3x -4y +12=0, 即y =34(x +4),联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0,Δ<0,所以无解.综上所述,M 点坐标为(2,0)或(-27,-127).19.（本小题满分16分）已知关于x 的函数y =f (x ),y =g (x )与h (x )=kx +b (k ,b ∈R)在区间D 上恒有f (x )≥h (x )≥g (x ). (1)若f (x )=x 2+2x ,g (x )=-x 2+2x ,D =(-∞,+∞).求h (x )的表达式; (2)若f (x )=x 2-x +1,g (x )=k ln x ,h (x )=kx -k ,D =(0,+∞).求k 的取值范围;(3)若f (x )=x 4-2x 2,g (x )=4x 2-8,h (x )=4(t 3-t )x -3t 4+2t 2(0<|t |≤√2),D =[m ,n ]⊆[-√2,√2],求证:n -m ≤√7.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【解析】(1)由f (x )=g (x )得x =0.又f'(x )=2x +2,g'(x )=-2x +2,所以f'(0)=g'(0)=2,所以,函数h (x )的图象为过原点,斜率为2的直线,所以h (x )=2x.经检验:h (x )=2x 符合题意. (2)h (x )-g (x )=k (x -1-ln x ), 设φ(x )=x -1-ln x ,则φ'(x )=1-1x =x -1x , φ(x )≥φ(1)=0,所以当h (x )-g (x )≥0时,k ≥0.设m (x )=f (x )-h (x )=x 2-x +1-(kx -k )=x 2-(k +1)x +(1+k )≥0, 当x =k+12≤0时,m (x )在(0,+∞)上递增,所以m(x)>m(0)=1+k≥0,所以k=-1.>0时,Δ≤0,当x=k+12即(k+1)2-4(k+1)≤0,(k+1)(k-3)≤0,-1≤k≤3.综上,k∈[0,3].(3)①当1≤t≤√2时,≤0.(*)由g(x)≤h(x),得4x2-8≤4(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+3t4-2t2-84令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则Δ=t6-5t4+3t2+8.记φ(t)=t6-5t4+3t2+8(1≤t≤√2),则φ'(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立,所以φ(t)在[1,√2]上是减函数,则φ(√2)≤φ(t)≤φ(1),即2≤φ(t)≤7所以不等式(*)有解,设解集为{x|x1≤x≤x2},因此n-m≤x2-x1=√Δ≤√7.②当0<t<1时,f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1,v'(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),.令v'(t)=0,得t=√33)时,v'(t)<0,v(t)是减函数;当t∈(0,√33,1)时,v'(t)>0,v(t)是增函数;当t∈(√33v(0)=-1,v(1)=0,则当0<t<1时,v(t)<0,(或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0)则f(-1)-h(-1)<0,因此-1∉(m,n).因为[m,n]⊆[-√2,√2],所以n-m≤√2+1<√7.③当-√2≤t <0时,因为f (x ),g (x )均为偶函数, 因此n -m ≤√7也成立. 综上所述,n -m ≤√7. 20.（本小题满分16分）已知数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1=1,前n 项和为S n ,设λ与k 是常数,若对一切正整数n ,均有S n+11k-S n 1k=λa n+11k成立,则称此为“λ-k ”数列.(1)若等差数列{a n }是“λ-1”数列,求λ的值;(2)若数列{a n }是“√33-2”数列,且a n >0,求数列{a n }的通项公式;(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列,且a n ≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.【命题意图】本题以数列为载体,综合考查等差数列的基本性质,及解决数列综合问题的能力,综合考查代数推理、转化化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力. 【解析】(1)k =1时,a n +1=S n +1-S n =λa n +1,所以λ=1. (2)√S n+1-√S n =√33√a n+1,a n +1=S n +1-S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n ), 因此√S n+1+√S n =√3√a n+1.√S n+1=23√3a n+1,S n +1=43a n +1=43(S n +1-S n ). 从而S n +1=4S n .又S 1=a 1=1,所以S n =4n -1,a n =S n -S n -1=3·4n -2,n ≥2. 综上,a n ={1,n =13·4n -2,n ≥2.(3)设各项非负的数列{a n }(n ∈N *)为“λ-3”数列, 则S n+113-S n 13=λa n+113,即√S n+13-√S n 3=λ√S n+1-S n 3.因为a n ≥0,且a 1=1,所以S n +1≥S n >0, 则√S n+1S n3-1=λ√S n+1S n-13.令√S n+1S n3=c n ,则c n -1=λ√c n 3-13(c n ≥1),即(c n -1)3=λ3(c n 3-1)(c n ≥1).(*)①若λ≤0或λ=1,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…) ②若λ>1,则(*)化为(c n -1)(c n2+λ3+2λ3-1c n +1)=0,因为c n ≥1,所以c n 2+λ3+2λ3-1c n +1>0,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…)③若0<λ<1,则c n 2+λ3+2λ3-1c n +1=0的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内,则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t ). 所以S n +1=S n 或S n +1=t 3S n .由于数列{S n }从任何一项求其后一项均有两种不同结果, 所以这样的数列{S n }有无数多个,则对应的{a n }有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列{a n }为“λ-3”数列,λ的取值范围是0<λ<1. 21．【选做题】A .平面上点A (2,-1)在矩阵M =[a 1-1b]对应的变换作用下得到点B (3,-4). (1)求实数a ,b 的值; (2)求矩阵M 的逆矩阵M -1.【命题意图】本题主要考查矩阵的基本运算及对应变换. 【解析】(1)[a1-1b ][2-1]=[2a -1-2-b] =[3-4], 所以{2a -1=3,-2-b =−4.解得{a =2,b =2.(2)由(1)知M =[21-12]. |M |=2·2+1·1=5,所以M -1=[25-151525].B.在极坐标系中,已知点A (ρ1,π3)在直线l :ρcos θ=2上,点B (ρ2,π6)在圆C :ρ=4sin θ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π). (1)求ρ1,ρ2的值;(2)求直线l 与圆C 的公共点的极坐标.【命题意图】本题主要考查极坐标公式及极坐标的意义、极坐标的求法.【解析】(1)ρ1=2cosπ3=4,ρ2=4sin π6=2.(2)联立得4sin θcos θ=2得sin 2θ=1, 因为ρ≥0,0≤θ<2π, 所以θ=π4,ρ=2√2,所以公共点的极坐标为(2√2,π4). C.设x ∈R,解不等式2|x +1|+|x |<4.【命题意图】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法. 【解析】当x >0时,2x +2+x <4,解得0<x <23;当-1≤x ≤0时,2x +2-x <4,解得-1≤x ≤0;当x <-1时,-2x -2-x <4,解得-2<x <-1. 综上,解集为(-2,23).22.在三棱锥A -BCD 中,已知CB =CD =√5,BD =2,O 为BD 的中点,AO ⊥平面BCD ,AO =2,E 为AC 的中点. (1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值;(2)若点F 在BC 上,满足BF =14BC ,设二面角F -DE -C 的大小为θ,求sin θ的值.【命题意图】本题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角及二面角.重点考查如何建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,再利用公式求角.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,2),B (1,0,0),C (0,2,0),D (-1,0,0),E (0,1,1).(1)=(1,0,−2),=(1,1,1),则cos<,>==√1515.故直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515. (2)由已知得F (34,12,0),=(74,12,0),=(1,1,1),设平面DEF 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{x 1+y 1+z 1=0,74x 1+12y 1=0, 令x 1=2,得{y 1=−7,z 1=5,所以n 1=(2,-7,5).设平面DEC 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 又=(1,2,0),则{x 2+y 2+z 2=0,x 2+2y 2=0, 令x 2=2,得{y 2=−1,z 2=−1,所以n 2=(2,-1,-1), 所以|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√6×√78=√1313, 所以sin θ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913. 23.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n 次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X n ,恰有2个黑球的概率为p n ,恰有1个黑球的概率为q n .(1)求p 1,q 1和p 2,q 2;(2)求2p n +q n 与2p n -1+q n -1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示).【命题意图】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.【解析】(1)p 1=13×1=13,q 1=23×1=23.p 2=13p 1+23×13q 1=727, q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627. (2)当n ≥2时,p n =13p n -1+23×13q n -1=13p n -1+29q n -1,q n =23p n -1+(23×23+13×13)q n -1+23×(1-p n -1-q n -1)=-19q n -1+23, 所以2p n +q n =13(2p n -1+q n -1)+23, 则2p n +q n -1=13(2p n -1+q n -1-1), 又2p 1+q 1-1=13,所以2p n +q n =1+(13)n. X n 的概率分布如下:X n 0 1 2 P1-p n -q nq np n则E (X n )=q n +2p n =1+(13)n.。
2020年高考数学江苏卷附答案解析版
绝密★启用前
在
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
注意事项 此
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 6 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160
分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试
数学试卷 第 3 页（共 6 页）
（1）求△AF1F2 的周长；
（2）在 x 轴上任取一点 P ，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q ，求 OPQP 的最
小值；
数学试卷 第 4 页（共 6 页）
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
题
第Ⅰ卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．
置．上．.
1.已知集合 A {1，0，1，2} ， B {0，2，3} ，则 A B
.
无
2.已知 i 是虚数单位，则复数 z 1 i2 i 的实部是
.
3.已知一组数据 4， 2a ， 3 a ， 5 ， 6的平均数为 4，则 a 的值是
a2 5
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
------------- ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ---------------
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解抛物线的简单应用．
【考向分析】
抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．
【高考预测】
抛物线好多年未考，需注意。考查方向为直线与抛物线的位置关系，尤其相切是考查重点.
【迎考策略】
1、“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求 解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
2t
|
2t 4 t 2
|
t
2
1
2t
4
2t 3t 2
2
2
|
|
2 t
2t
|
t4 1
t2 2
2
.
t4 1
令 m t2 2 ，则m>0，
S1 S2
2
m2
m 4m 3
2
m
1 3
4
m
2
1
1
3
.
2 m 3 4
2
m
当 m 3 时， S1 取得最小值1 3 ，此时G（2，0）．
S2
2
5．设顶点在原点，焦点在 x 轴上的拋物线过点 P 2, 4 ，过 P 作抛物线的动弦 PA, PB ，并设它们的斜
（1）求抛物线 C 的标准方程； （2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点 M m, 0 (m 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM，记 D 和 E 两点间的距离为 f m ，求 f m 关于 m 的表达式。
【答案】 【解析】
冲刺 2020 高考 提分必备
抛物线 C 的方程为： y2 4x .
（2）由（1）得： B(4, 4) ， F (1, 0) ，淮线方程 x 1 ，
直线 l 的方程： y 4 (x 1) ， 3
由
y
4 3
(x
1)
解得
x
1
或
x
4 ，于是得
A( 1
, 1)
.
y2 4x
4
4
设点 P( n2 , n) ，又题意 n 1 且 n 4 , 4
t,
t
2
1 2
.
冲刺 2020 高考 提分必备
由于 EM AB ，而 EM t,t2 2 ， AB 与向量 (1, t) 平行，所以 t t2 2 t 0 .解得t=0或
t 1.
当 t =0时，S=3；当 t 1时， S 4 2 .
因此，四边形ADBE的面积为3或 4 2 .
①由
消去 得
因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以
冲刺 2020 高考 提分必备
从而
，化简得
.
方程（*）的两根为
因为
在直线 上，所以
因此，线段 PQ 的中点坐标为
②因为
在直线
所以
，即
，从而 上
由①知
，于是
，所以
因此 的取值范围为 2、【2009 江苏，22】（本题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A（2，2），其焦点 F 在 x 轴上。
3．【2019 年高考北京卷理数】已知抛物线 C：x2=−2py 经过点（2，−1）． （1）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （2）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=−1
分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
n)
，则
DA
x1 y1
, 1
n,
DB
x2 y2
, 1
n
，
DA DB x1x2 (n 1)2 y1 y2
冲刺 2020 高考 提分必备
x1x2
(n 1)2
x12 4
x22 4
16 (n 1)2 x1x2
4 (n 1)2 .
令 DA DB 0 ，即 4 (n 1)2 0 ，则 n 1 或 n 3 . 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点 (0,1) 和 (0, 3) . 4．【2019 年高考浙江卷】如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛 物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧．记△AFG,△CQG 的面积分别为 S1, S2 ．
28
3
【解析】设直线 l
:
y
3 2
x
t,
A x1,
y1 ,
B
x2,
y2
．
（1）由题设得
F
3 4
,
0
，故
|
AF
|
|
BF
|
x1
x2
3 2
，由题设可得
x1
x2
5 2
．
由
y 3 x 2 y2 3x
t
，可得 9x2
12(t
1) x
4t 2
0
，则
x1
x2
12(t 1) 9
．
从而 12(t 1) 5 ，得 t 7 ．
【答案】（1） y2 4x （2）见证明
【解析】
（1）由题意得： F ( p , 0) ， 2
因为点 B 的横坐标为 4，且 B 在 x 轴的上方，
所以 B(4, 8 p ) ， 因为 AB 的斜率为 4 ，
3
所以
8p 4 p
4 3
，整理得：
p
3
2
p 80，
2
即 ( p 2)( p 4 2) 0 ，得 p 2 ，
故直线AB的方程为 2tx 2 y 1 0 .
所以直线AB过定点 (0, 1 ) . 2
（2）由（1）得直线AB的方程为 y tx 1 . 2
由
y y
tx
x2 2
1 2
，可得
x2
2tx
1
0
.
于是 x1 x2 2t, x1x2 1, y1 y2 t x1 x2 1 2t 2 1，
因拋物线过点 2, 4 ，故 42 4 p, p 4 ，拋物线的方程为 y2 8x .
（2）设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则 kPA
y1 4 x1 2
y1 4 y12 2
8 y1 4 ，
8
同理 kPB
y
8 2
4
,
k
AB
8 y1 y2
,
kPA
kPB
0,
8 y1
【答案】（1）见详解；（2）3 或 4 2 .
【解析】（1）设
D
t,
1 2
,
A x1, y1 ，则 x12 2 y1 .
由于
y'
x
，所以切线DA的斜率为
x1
，故
y1
1 2
x1 t
x1
.
整理得 2 tx1 2 y1+1=0.
设 B x2 , y2 ，同理可得 2tx2 2 y2 +1=0 .
0
，得
C
1 t
t
2
,
2
1 t
t
,
G
2t 4
2t2 3t 2
2
,0
.
所以，直线AC方程为 y 2t 2t x t2 ，得 Q t2 1, 0 .
由于Q在焦点F的右侧，故 t2 2 .从而
S1 S2
1 2
|
FG
|
yA
1 2
| QG
|
yc
2t 4
2t2 3t 2
2
1
|
4
8 y2
4
0 ,
y1
4
y2
4,
y1
y2
8
kAB 1，即直线 AB 的斜率恒为定值，且值为 1.
冲刺 2020 高考 提分必备
（3）
.
直线
AB 的方程为
y
y1
8 y1
y2
x
y12 8
，即
y1
y2 y
y1 y2
8x .
将 y1 y2 4 y1 y2 48 代入上式得
y1 y2 y 4 8 x 6 即为直线 AB 的方程，
（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.
①求证：线段 PQ 的中点坐标为
；
②求 p 的取值范围.
【答案】（1）
（2）①详见解析，②
【解析】
解：（1）抛物线
的焦点为
由点 在直线 所以抛物线 C 的方程为
上，得
，即
（2）设
，线段 PQ 的中点
因为点 P 和 Q 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 PQ， 于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为
率分别为 DC .
（1）求拋物线的方程；
（2）若 kPA kPB 0 ，求证：直线 AB 的斜率为定值，并求出其值；
（3）若 kPAkPB 1，求证：直线 AB 恒过定点，并求出其坐标.
【答案】（1） y2 8x ；（2）证明见解析， 1；（3）证明见解析， 6, 4 .
【解析】
（1）依题意，可设所求拋物线的方程为 y2 2 px p 0 ,
冲刺 2020 高考 提分必备
高考冲刺 提分必备 2020 年江苏省高考数学专项训练-真题解析
专题 22 抛物线