阶跃函数的傅里叶变换
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2 T21 4 an T1 f (t ) cos(n1t )dt f (t ) cos(n1t )dt T1 0 T1 2
T1 2
2 T21 bn T1 f (t )sin(n1t )dt 0 T1 2
三角级数只含有直流和余弦项，不含有正弦项。
an jbn an Fn 2 2
n1 E Fn Sa( ) T1 2
E n1 E Sa Fn Sa T1 T1 2 n1 2
0 n 或 n , Sa 1 2 n , Sa 1 2 0 0
1 Fn F n cn 2 cn Fn F n
3. 指数形式的信号频谱
Fn Fn e
Fn ~ n1
幅度频谱
jn
Fn 是 n 的偶函数
n
是 n 的奇函数
n ~ n1 相位频谱
E 例：周期矩形脉冲 f (t ) T1
实数
双边频谱
n1 jn1t Sa( 2 )e n
c0 a0 ,
cn a b ,
2 n 2 n
n tan1 (
bn ) an
an , bn , cn ,n 都是 n1 的函数。
cn ～ n1 关系曲线，称为信号的 幅度频谱。
n
～
n1 关系曲线，称为信号的 相位频谱。
周期矩形脉冲 f (t ) E 2 E T1 T1
1 t0 T1 {a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]}2 dt T1 t0 n1
1 2 2 a0 (an bn2 ) 2 n1
1 2 2 c0 cn 2 n1
n
1 cos(n1t ) n 1, 2, sin(n t ) n 1, 2, 1
n 1
n
Fn e jn1t
四种对称形式：
偶函数： 奇函数：
f (t ) f (t ) f (t ) f (t )
T1 奇谐函数： f (t ) f (t ) 2 T 偶谐函数： f (t ) f (t 1 ) 2
1. 偶函数
f (t ) f (t )
E 2 E f (t ) T1 T1
n1 Sa( 2 ) cos(n1t ) n 1
2. 周期信号的频谱
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]
n 1
c0 cn cos(n1t n )n1 Nhomakorabea其中
双边 频谱
E T1
E Fn Sa T1 2 n 1
2 E T1
cn
单边 频谱
E c0 T1
2
0 1
n
2
0 1
n
2
4
0 1
0 1
负频率的出现只是数学运算的结果，并没有任何物理意义。
E T1
Fn
F0 [ Fn e jn1t F n e jn1t ] n 1 1 jn1t jn1t 01t n (e e ) jn F0 e jcos(1t )Fn e jn1t Fn e jn1t n 的偶函数 1t Fn e 2 n1 欧拉公式 n 1 j jn t n jn t 2 t T ean ) f (t ) cos(n1t )dt an sin(n 1t ) (e jbn 记
Sa(
n 1
n1 ) cos(n1t ) 2
对比
E c0 T1
cn f (t ) c0 cnEcos(n1t n ) 2
n 1
T1
2E n1 cn Sa T1 2
E c0 T1
包络
2 E Sa T1 2 n 1
2
3
5
1 1 1 s1 1 3 5 7
（3）求出 f (t ) 的平均功率；
s1
4 1 P 2
s2
（4）利用（3）的结果，求下列无穷级数之和；
1 1 1 s2 1 2 2 2 3 5 7
2
8
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]
§3.1 引言
（一）傅里叶分析发展的历史
1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier) 提出“每一个 周期函数都可以表示成三角函数之和” ，奠定了傅里叶级 数的理论基础。
◆ ◆
1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密
的方式给出傅里叶级数与积分的存在条件的完整证明。
一个周期信号只有在满足狄利克雷条件的前提下，才
Fn
2
(n 1, 2,2 )
1
1
0
1
T1
t0
则 F a n jb n an jbn n 2 2
n 的奇函数
2 t0 T1 bn f (t )sin(n1t )dt T1 t0
f (t )
n
Fe
n
jn1t
1 t0 T1 Fn f (t )e jn1t dt ( n ) T1 t0
可以展开为傅里叶级数。
（二）本章主要内容
信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数 非周期信号的傅里叶变换
建立信号频谱的概念 第五章：系统的频域分析
§3.2 周期信号的傅里叶级数分析
（一） 三角形式的傅里叶级数
若周期信号 f (t ) 满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。
1. 傅里叶级数表达式
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]
an jbn an bn e Fn 2 2 b an 2 bn 2 j tan 1 ( ann ) F a n jb n an jbn e n 2 2 2
jn
Fn Fn e
Fn 是 n 的偶函数
n
是 n 的奇函数
an Fn F n bn j ( Fn F n )
2
2
T1 2
T1
t
n1 1 2 jn1t E Fn Ee dt Sa( ) T1 2 T1 2
E f (t ) T1
n1 jn1t Sa( 2 )e n
2. 两种形式的傅里叶级数系数之间的关系
（1） F0
（2）
c0 a0
2 2 j tan 1 ( bn ) an
1 t0 T1 1 t0 T1 f (t )e j 01t dt F0 a0 f (t )dt t0 T1 t0 T1
an jbn 1 t0 T1 Fn f (t )e jn1t dt 2 T1 t0
例：周期矩形脉冲
E f (t )
T1
T 1 2
n1 E Fn Sa( ) T1 2
2
2
0 1
n
0 1
当Fn是实函数时，可 用Fn的正、负表示相 位的0、π，幅度谱 和相位谱合一。
E T1
Fn
当周期信号 f(t) 为 偶函数时, bn 0 ,
an Fn 为实函数。 2
2
0 1
2
2 E T1
大小，其谐波幅度随着 n 而逐渐衰
减到零。
（二）指数形式的傅里叶级数
1. 由三角形式的傅里叶级数导出指数形式的傅里叶级数
f (t ) a0 [an cos( n1t ) bn sin( n1t )]
n 1
an jbn jn1t an jbn jn1t a0 ( e e ) 2 2 n 1
n 1
例：周期矩形脉冲
E f (t )
T1
T 1 2
2
2
T1 2
T1
t
1 T1 1 E 2 a0 T1 f (t )dt E T1 2 T1 T1
2 T1 bn 21 f (t )sin(n1t )dt 0 T T1 2
2 T1 2 2 an 21 f (t )cos(n1t )dt E cos(n1t )dt T T1 2 T1 2 4 2 4E n1 2 E Sa n1 E cos(n1t )dt sin 0 T1 n1T1 2 2 T1
Fn为 n 的实偶函数
例：
1 T21 1 TE E a0 T1 f (t )dt 1 , bn 0 2 T1 2 2 T1 4 T21 4 T21 2E an f (t ) cos(n1t )dt ( E t ) cos(n1t )dt T1 0 T1 0 T1
是一个正交函数集
Fn
2
f (t )
作业：周期信号 f (t )如图所示。
（1）给出 f (t ) 的三角形式傅里
-2 -1
1
0
1
2
t
叶级数； f (t ) 1 2 [sin( t ) 1 sin(3 t ) 1 sin(5 t ) ]
1 （2）利用（1）的结果和 f ( ) 1 ，求下列无穷级数之和； 2
分量的周期为的周期为基波角频率34傅里叶变换一由周期信号的傅里叶级数导出非周期信号的傅里叶变换limlim单位频带hz内的频谱值单位角频带rads内的频谱值频谱密度函数傅里叶正变换傅里叶反变换eedt二非周期信号的频谱dt三非周期信号的傅里叶反变换和周期信号的傅里叶级数的比较对实函数函数的傅里叶变换存在的充分条件绝对可积条件四傅里叶变换存在的条件借助奇异函数如的概念可使某些不满足绝对可积条件的信号也存在傅里叶变换如周期信号35典型非周期信号的傅里叶变换信号的主要能量集中在的第一个零点主瓣之内
1 T21 a0 T1 f (t )dt 0 T1 2 2 T21 an T1 f (t ) cos(n1t )dt 0 T1 2 4 T21 2 T21 bn T1 f (t )sin(n1t )dt f (t )sin(n1t )dt T1 0 T1 2
2 T 基波角频率 1 ， 1为 f (t ) 的周期。 T1 1 t0 T1 直流分量： a0 t0 f (t )dt T1 2 t0 T1 余弦分量的幅度： n a t0 f (t ) cos(n1t )dt T1 2 t0 T1 正弦分量的幅度： n b t0 f (t )sin(n1t )dt T1
n 0 , Sa 1 2 n , Sa n1 2 0 0
n
0 1
2
4
0 1
3. 周期信号频谱的特点 （1）离散性 —— 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。 信号的周期T1决定着其离散频谱谱线的间隔大小。 T1 越大， 1越小，谱线越密。 （2）谐波性 —— 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。 （3）收敛性 —— 幅度谱反映了信号 f(t) 中各频率分量的
cn
2 E T1
cn
E c0 T1
E c0 T1
2 4
0 1
n
2
4
0 1
0 1
当周期信号 f(t) 为偶函 数时，单边谱的另一种 画法。
4. 周期信号的平均功率和傅里叶系数间的关系
1 t0 T1 2 P f (t )dt T1 t0
, n为偶数 0 2E 2 2 [1 cos(n )] 4E n n2 2 , n为奇数
E 4E 1 1 f (t ) 2 [cos(1t ) cos(31t ) cos(51t ) ] 2 9 25
2. 奇函数
f (t ) f (t )
第三章 傅里叶变换
§3.1
§3.2 §3.3 §3.4 §3.5
引言
周期信号的傅里叶级数分析 典型周期信号的傅里叶级数 傅里叶变换 典型非周期信号的傅里叶变换
§3.6
§3.7 §3.8 §3.9
冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质 卷积定理 周期信号的傅里叶变换
§3.10 抽样信号的傅里叶变换、抽样定理
T1 2
2 T21 bn T1 f (t )sin(n1t )dt 0 T1 2
三角级数只含有直流和余弦项，不含有正弦项。
an jbn an Fn 2 2
n1 E Fn Sa( ) T1 2
E n1 E Sa Fn Sa T1 T1 2 n1 2
0 n 或 n , Sa 1 2 n , Sa 1 2 0 0
1 Fn F n cn 2 cn Fn F n
3. 指数形式的信号频谱
Fn Fn e
Fn ~ n1
幅度频谱
jn
Fn 是 n 的偶函数
n
是 n 的奇函数
n ~ n1 相位频谱
E 例：周期矩形脉冲 f (t ) T1
实数
双边频谱
n1 jn1t Sa( 2 )e n
c0 a0 ,
cn a b ,
2 n 2 n
n tan1 (
bn ) an
an , bn , cn ,n 都是 n1 的函数。
cn ～ n1 关系曲线，称为信号的 幅度频谱。
n
～
n1 关系曲线，称为信号的 相位频谱。
周期矩形脉冲 f (t ) E 2 E T1 T1
1 t0 T1 {a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]}2 dt T1 t0 n1
1 2 2 a0 (an bn2 ) 2 n1
1 2 2 c0 cn 2 n1
n
1 cos(n1t ) n 1, 2, sin(n t ) n 1, 2, 1
n 1
n
Fn e jn1t
四种对称形式：
偶函数： 奇函数：
f (t ) f (t ) f (t ) f (t )
T1 奇谐函数： f (t ) f (t ) 2 T 偶谐函数： f (t ) f (t 1 ) 2
1. 偶函数
f (t ) f (t )
E 2 E f (t ) T1 T1
n1 Sa( 2 ) cos(n1t ) n 1
2. 周期信号的频谱
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]
n 1
c0 cn cos(n1t n )n1 Nhomakorabea其中
双边 频谱
E T1
E Fn Sa T1 2 n 1
2 E T1
cn
单边 频谱
E c0 T1
2
0 1
n
2
0 1
n
2
4
0 1
0 1
负频率的出现只是数学运算的结果，并没有任何物理意义。
E T1
Fn
F0 [ Fn e jn1t F n e jn1t ] n 1 1 jn1t jn1t 01t n (e e ) jn F0 e jcos(1t )Fn e jn1t Fn e jn1t n 的偶函数 1t Fn e 2 n1 欧拉公式 n 1 j jn t n jn t 2 t T ean ) f (t ) cos(n1t )dt an sin(n 1t ) (e jbn 记
Sa(
n 1
n1 ) cos(n1t ) 2
对比
E c0 T1
cn f (t ) c0 cnEcos(n1t n ) 2
n 1
T1
2E n1 cn Sa T1 2
E c0 T1
包络
2 E Sa T1 2 n 1
2
3
5
1 1 1 s1 1 3 5 7
（3）求出 f (t ) 的平均功率；
s1
4 1 P 2
s2
（4）利用（3）的结果，求下列无穷级数之和；
1 1 1 s2 1 2 2 2 3 5 7
2
8
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]
§3.1 引言
（一）傅里叶分析发展的历史
1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier) 提出“每一个 周期函数都可以表示成三角函数之和” ，奠定了傅里叶级 数的理论基础。
◆ ◆
1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密
的方式给出傅里叶级数与积分的存在条件的完整证明。
一个周期信号只有在满足狄利克雷条件的前提下，才
Fn
2
(n 1, 2,2 )
1
1
0
1
T1
t0
则 F a n jb n an jbn n 2 2
n 的奇函数
2 t0 T1 bn f (t )sin(n1t )dt T1 t0
f (t )
n
Fe
n
jn1t
1 t0 T1 Fn f (t )e jn1t dt ( n ) T1 t0
可以展开为傅里叶级数。
（二）本章主要内容
信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数 非周期信号的傅里叶变换
建立信号频谱的概念 第五章：系统的频域分析
§3.2 周期信号的傅里叶级数分析
（一） 三角形式的傅里叶级数
若周期信号 f (t ) 满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。
1. 傅里叶级数表达式
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]
an jbn an bn e Fn 2 2 b an 2 bn 2 j tan 1 ( ann ) F a n jb n an jbn e n 2 2 2
jn
Fn Fn e
Fn 是 n 的偶函数
n
是 n 的奇函数
an Fn F n bn j ( Fn F n )
2
2
T1 2
T1
t
n1 1 2 jn1t E Fn Ee dt Sa( ) T1 2 T1 2
E f (t ) T1
n1 jn1t Sa( 2 )e n
2. 两种形式的傅里叶级数系数之间的关系
（1） F0
（2）
c0 a0
2 2 j tan 1 ( bn ) an
1 t0 T1 1 t0 T1 f (t )e j 01t dt F0 a0 f (t )dt t0 T1 t0 T1
an jbn 1 t0 T1 Fn f (t )e jn1t dt 2 T1 t0
例：周期矩形脉冲
E f (t )
T1
T 1 2
n1 E Fn Sa( ) T1 2
2
2
0 1
n
0 1
当Fn是实函数时，可 用Fn的正、负表示相 位的0、π，幅度谱 和相位谱合一。
E T1
Fn
当周期信号 f(t) 为 偶函数时, bn 0 ,
an Fn 为实函数。 2
2
0 1
2
2 E T1
大小，其谐波幅度随着 n 而逐渐衰
减到零。
（二）指数形式的傅里叶级数
1. 由三角形式的傅里叶级数导出指数形式的傅里叶级数
f (t ) a0 [an cos( n1t ) bn sin( n1t )]
n 1
an jbn jn1t an jbn jn1t a0 ( e e ) 2 2 n 1
n 1
例：周期矩形脉冲
E f (t )
T1
T 1 2
2
2
T1 2
T1
t
1 T1 1 E 2 a0 T1 f (t )dt E T1 2 T1 T1
2 T1 bn 21 f (t )sin(n1t )dt 0 T T1 2
2 T1 2 2 an 21 f (t )cos(n1t )dt E cos(n1t )dt T T1 2 T1 2 4 2 4E n1 2 E Sa n1 E cos(n1t )dt sin 0 T1 n1T1 2 2 T1
Fn为 n 的实偶函数
例：
1 T21 1 TE E a0 T1 f (t )dt 1 , bn 0 2 T1 2 2 T1 4 T21 4 T21 2E an f (t ) cos(n1t )dt ( E t ) cos(n1t )dt T1 0 T1 0 T1
是一个正交函数集
Fn
2
f (t )
作业：周期信号 f (t )如图所示。
（1）给出 f (t ) 的三角形式傅里
-2 -1
1
0
1
2
t
叶级数； f (t ) 1 2 [sin( t ) 1 sin(3 t ) 1 sin(5 t ) ]
1 （2）利用（1）的结果和 f ( ) 1 ，求下列无穷级数之和； 2
分量的周期为的周期为基波角频率34傅里叶变换一由周期信号的傅里叶级数导出非周期信号的傅里叶变换limlim单位频带hz内的频谱值单位角频带rads内的频谱值频谱密度函数傅里叶正变换傅里叶反变换eedt二非周期信号的频谱dt三非周期信号的傅里叶反变换和周期信号的傅里叶级数的比较对实函数函数的傅里叶变换存在的充分条件绝对可积条件四傅里叶变换存在的条件借助奇异函数如的概念可使某些不满足绝对可积条件的信号也存在傅里叶变换如周期信号35典型非周期信号的傅里叶变换信号的主要能量集中在的第一个零点主瓣之内
1 T21 a0 T1 f (t )dt 0 T1 2 2 T21 an T1 f (t ) cos(n1t )dt 0 T1 2 4 T21 2 T21 bn T1 f (t )sin(n1t )dt f (t )sin(n1t )dt T1 0 T1 2
2 T 基波角频率 1 ， 1为 f (t ) 的周期。 T1 1 t0 T1 直流分量： a0 t0 f (t )dt T1 2 t0 T1 余弦分量的幅度： n a t0 f (t ) cos(n1t )dt T1 2 t0 T1 正弦分量的幅度： n b t0 f (t )sin(n1t )dt T1
n 0 , Sa 1 2 n , Sa n1 2 0 0
n
0 1
2
4
0 1
3. 周期信号频谱的特点 （1）离散性 —— 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。 信号的周期T1决定着其离散频谱谱线的间隔大小。 T1 越大， 1越小，谱线越密。 （2）谐波性 —— 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。 （3）收敛性 —— 幅度谱反映了信号 f(t) 中各频率分量的
cn
2 E T1
cn
E c0 T1
E c0 T1
2 4
0 1
n
2
4
0 1
0 1
当周期信号 f(t) 为偶函 数时，单边谱的另一种 画法。
4. 周期信号的平均功率和傅里叶系数间的关系
1 t0 T1 2 P f (t )dt T1 t0
, n为偶数 0 2E 2 2 [1 cos(n )] 4E n n2 2 , n为奇数
E 4E 1 1 f (t ) 2 [cos(1t ) cos(31t ) cos(51t ) ] 2 9 25
2. 奇函数
f (t ) f (t )
第三章 傅里叶变换
§3.1
§3.2 §3.3 §3.4 §3.5
引言
周期信号的傅里叶级数分析 典型周期信号的傅里叶级数 傅里叶变换 典型非周期信号的傅里叶变换
§3.6
§3.7 §3.8 §3.9
冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质 卷积定理 周期信号的傅里叶变换
§3.10 抽样信号的傅里叶变换、抽样定理