高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)(理科)试题

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国
卷Ⅱ）(理科) 试题 2019.09
1,在△ABC 中，∠A ＝90°，tanB ＝3
4.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，
则该椭圆的离心率e ＝ .
2,已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使二面角A-BD-C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离等于 .
3,设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且acosB ＝3，bsinA ＝4.
（Ⅰ）求边长a ；
（Ⅱ）若△ABC 的面积S ＝10，求△ABC 的周长l.
C
4,四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2
，CD ，AB=AC. (1)证明：AD ⊥CE;
(2)设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C-AD-E 的大小.
5,在数列｛n a ｝中，1a =1,a n+1=2a n +2n .
(Ⅰ)设b n =1
2n n a -.证明：数列｛b n ｝是等差数列；
(Ⅱ)求数列｛a n ｝的前n 项和S n .
6,已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率. 7,已知函数f(x)=x 3+a x 2+x+1,a ∈R. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设函数f(x)在区间（－
21,33-）内是减函数，求α的取值范围.
8,双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1,l 2,经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点.已知|OA |、|AB |、|OB |成等差数列，且BF 与FA 同向. （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.
9,设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）
A ．{}01，
B ．{}101-，，
C ．{}012，，
D ．{}1012-，，，
10,设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3
()a bi +是实数，则（ ）
A ．223b a =
B ．223a b =
C ．229b a =
D ．22
9a b =
11,函数1()f x x x =
-的图像关于（ ）
A ．y 轴对称
B ． 直线x y -=对称
C ． 坐标原点对称
D ． 直线x y =对称
12,若1
3
(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，
，，，则（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ． b <a <c D ． b <c <a
13,设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩，，．
≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
14,从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A ．929
B ．1029
C ．1929
D ．2029
15,64
(1(1-的展开式中x 的系数是（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
16,若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1B
C
D ．2
17,设1a >，则双曲线22
221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）
A
．2)B
．C ．(25)，D
．(2 18,已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，
则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）
A ．13B
．3C
．D ．2
3
19,等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原
点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）
A．3B．2C．
1
3
-
D．
1
2
-
20,已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）
A．1 B．2 C．3 D．2
试题答案
1,
AB4
c11
2c=4,c=2,2a=3+5=8a=4,e==
a22
本题主要考查了椭圆的定义及基本量的求法，令＝，则∴∴∴∴答案为。

2,
AC BD O AO BD CO BD,AOC
AOC120AO1d=1sin60=
2
⊥⊥∠
∠︒⨯︒
本题考查了立体几何中的折叠问题，及定义法求二面角和点到平面的距离设＝，则，∴即为二面角的平面角
∴＝，且＝，∴
3,
C C
D AB D CD bsinA=4,BD=acosB=3,
BCD
113 S=AB CD=AB4=10,AB=5, acosB=3,cos B= 225
55
10
⊥
⨯⨯⨯⨯
解：⑴过作于，则由＝
∴在直角三角形中，
⑵由面积∴又∵∴
再由余弦定理得：
∴＝＋＋＋
∴周长为＋
4,
BC H DH AH AC AB AH BC
ABC BCDE BC AH BCDE
HD AD BCDE
tan tan
2
HDC+ECD=90,CE HD,AD CE(
2
⊥
⊥⊥
∠∠
∠∠︒⊥⊥
解：⑴取中点为，连接，，则＝，∴，
又∵平面平面，且交线为，∴平面，
∴即为在平面内的射影
∵
∴∴∴三垂线定理）
法：也可以利用相似三角形证得。

AD CE,C CG AD AD G GE
AD CGE AD GE CGE
BC CD AC CD ACD ABE
AC CG=
CE
ABE AE
AC CD
AD
6642
cos DAE
26
⊥⊥
⊥⊥∠
⊥⊥
⋅
∠
⨯
⑵由第⑴问知∴过作交于，连结，
则平面，∴，∴即为所求二面角的平面角（利用了定义法）由于，∴，∴△为直角三角形，同理，△也为直角三角形∴由＝
还有
在直角三角形中，
＋－
＝
＝
222
sin
S GE,
cos CGE=
arccos
3
11
22
CG+GE CE
=
2CG GE10
⋅∠
⨯
∠
⋅
⎛
⎝⎭
∴
∴＝∴
∴
所以所求的二面角为
，
－
5,
n n n+1n
n+1n n n11
n+1n
n+1n n
n n1
n
n10
n1
n
012n1
n
12n1n
n
012n1
n
a a
a=2a+2,2=+1
22
a a
=1,b b=1,{b}
22
a1
=+(n1)1=n
22
a=n2
S=2+22+32++n2
2S= 2+22++(n1)2+n2
S=2+2+2++2n
⨯
⋅
⨯⨯
⨯⋅
⋅
－
－
－
－
－
－
－
解：由两边同除以∴
∴－即－∴为等差数列。

⑵由第⑴问得：－
∴
∴…
∴…－
∴－…－
n
n n n
n
n
12
2=n2=1n21
12
S=(n1)2+1
⋅⋅
⋅
－
－（－）－
－
∴－
6,
23
2434
3131
5353
31
3424
323
525
C A C 166111611== (==)345351035A A C C A A C 242411=54351025A A C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯解：主要依乙所验的次数分类：若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
也可以用②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）
＝ （＝＝23212
43422
3133
5353
123
555
C A C A A 166226421== (==)345351065A A C A 2
5
31211126181155555252525⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯）∴乙只用两次的概率为＋＝。

若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：
（－）也可以用∴在三次验出时概率为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（－）＋（－－）＝＋＝
1212
44
1212315553122A A 3A ,A B
A C 1111622P(A )==,P(A )==,P(B)1)==
551035
C A C C 1127
P(A)=P(A )+P(A )P(B)=+=
55525
P(A)=1⨯⋅⨯解法：设为甲的次数不多于乙的次数则表示甲的次数小于乙的次数
则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了次。

则设分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为则＝（－∴∴－718
=
2525
7,
2222f '(x)=3x +2ax+1
f '(x)=3x +2ax+1>04a 12>0a >3,a<a [f(x 0R a (,(3,+)2a a x<=x>
6a 3a 3a
a f(x)3a 3a ∈≥∈∞∞⎛⎫∞∞ ⎪ ⎪⎝⎭
解：⑴∵令，再令△＝－时，∴
或∴当时，）恒成立，∴在上单调递增当－时，
－－－－－∴单调递增区间为－，，a 3a 3a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎛ ⎪⎝⎭－－单调增减区间为，
2221
3x +2ax+10(,33
g(x)=3x +2ax+1,2427g()32a +10a 393
a 24111a 2g()=32a +10393a [2,+)
≤⎧
≤⨯⨯≤⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎨
⎪⎪≥⨯⨯≤⎩⎪⎩
∞⑵只需在区间－－）恒成立即可。

令∴只需：
－－∴∴－－∴的取值范围为
8,
2
2
222
22
222
22122
2
2
2
2x y =1,c =a +b a b BF FA 04
b b
c a k =<1==e 1<1,1<e <2a a a OA AB OB OA OB 2AB AB (OB OA )(OB +OA )=(OB OA )2AB ,1OB OA =A 2AB =2(OB OA ) π
解：设双曲线方程为
－由，同向，∴渐近线的倾斜角为（，），
－∴渐近线斜率为：∴－∴由＋＝，再由＋　＝ ∴＝－－　－∴－∴22
B
OA OB 2AB 39OA =
AB OA =AB 416
⎧
⎪
⎨⎪⎩
　＋　＝∴∴
1
212221222
2
22222
2222b a a
,y=(x c)a b b
a a y=(x c)x=
b
c b ab y=x y=a c a a c y=(x c)x=b
a b b abc y=x y=a a b a ab 9a a c ab abc +=[()+(+)c c 16c a b
c a b ⎧⎧
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧
⎪⎪⎪⎪⎨
⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭斜率为，∴斜率为－∴方程为－－－－与联立得：∴－－－与联立得：∴－－－－－－2222222222224242222
222222222222222222222]a +b 9a
ac b bc
=[()+(+)]
c 16c a b c a b 162ab 2ba 4a b +4b a 4a b =()+()== 9(a
b )
c (a b )c (a b )c (a b )42ab
=(a>b)3a b
2a 3ab 2b =0 (a 2b)(2a+b)=0b 1=a 2
b 1
c a 1=,=e 1=a 4a 4
∴－－－－－－－∴－∴－－∴－ ∴－∴∴－25,e =,4
∴∴
2
22222222AB 4
1OAB OA 34tan AOB=
3
1
OA k=tan
AOB 2
2k 41=,2k +3k 2=0,k= (k=21k 32b 1b c a 15,===, e =a 2a a 44
∠∠法：同第一种解法的设法
由解法得：＝ 而在直角三角形中，
即而由对称性可知：的斜率为∴∴－∴－舍去）－－∴ ∴∴∴
22
22
22
22
22
22
2
1212
22
b1x y
=,a=2b,=1,
a24b b
c=5b,
y=2(x
y=2(x
15x=0
x y
=1
4b b
84b
x+x x x=
15
4
32b484b
16=
9
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⋅
⨯
⑵由第⑴知，∴∴可以设双曲线方程为－
同时，∴
∴：－联立得：
－
得：－
－
∴
∴－
2
2
22
3
b=9,
x y
=1.
369
∴
∴所求的双曲线方程为：－
9, B
【解析】{}1,0,1,2-
-
=
M，{}3,2,1,0,1-
=
N，∴{}1,0,1-
=
N
M
10, A
【解析】i
b
b
a
ab
a
i
b
ab
bi
a
a
bi
a)
3(
)
3
(
3
3
)
(3
2
2
3
3
2
2
3
3-
+
-
=
-
-
+
=
+，因是实数且
b≠，所以2
2
3
23
3a
b
b
b
a=
⇒
=
-
11, C
【解析】
1
()
f x x
x
=-
是奇函数，所以图象关于原点对称
12, C
【解析】由0
ln
1
1
1<
<
-
⇒
<
<
-x
x
e，令x
t ln
=且取2
1
-
=
t
知b<a<c
13, D
【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B(3
2
,
3
2
)及C(－
2，－2)于是8)(min -=A z
14, D
【解析】
29203
30110220210120=+=C C C C C P 15, B 【解析】
3
24156141604262406-=-+=-+C C C C C C
16, B
【解析】在同一坐标系中作出x x f sin )(1=及x x g cos )(1=在]2,0[π的图象，由图象知，当43π=
x ，即43π
=
a 时，得
221=y ，222-=y ，∴2
21=-=y y MN
17, B
【解析】
222222
)
11(1)1()(a a a a a c e ++=++==，因为a 1是减函数，所以当1a >时
11
0<<
a ，所以522<<e ，即52<<e
18, C
【解析】连接AC 、BD 交于O ，连接OE ，因OE ∥SD.所以∠AEO 为所求。

设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO 中，OE ＝1,AO ＝2，
AE=3122
=-，
于是333
11
32)2(1)3(cos 2
22=
=
⨯⨯-+=
∠AEO
19, A
【解析】1,02:11-==-+k y x l ，71,047:22==--k y x l ，设底边为kx y l =:3 由题意，3l 到1l 所成的角等于2l 到3l 所成的角于是有
371711112211+-=-+⇒+-=+-k k k k k k k k k k k 再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A
20, C
【解析】设两圆的圆心分别为1O 、2O ，球心为O ，公共弦为AB ，其中点为E ，则21EO OO 为矩形，于是对角线OE O O =21,而3122222=-=-=AE OA OE ，∴321=O O。