2.1数理统计
数理统计课后答案-第二章
X 1 , X 2 , L, X 5 相互独立，所以
X 1 + X 2 ～ N (0 , 2) ， X 3 + X 4 + X 5 ～ N (0 , 3) ，而且相互独立，
即有
X1 + X 2 2
～ N (0 ,1) ，
X3 + 1) ，而且相互独立。
由 χ 分布的定义可知
Xi − a ， i = 1, 2, L, n ， b
1 n 1 n X 与 Y = ∑ i ∑ Yi 之间的关系； n i =1 n i =1 1 n 1 n 2 ( X i − X )2 与 S y = ∑ (Yi − Y ) 2 之间的关系。 ∑ n i =1 n i =1
（2）它们的样本方差 S x =
∑ (X i − X )2 =
i =1
n
S x2 。 b2
2.4 设有样本 ( X 1 , X 2 , L , X n ) ， X = 本方差， μ 是常数，证明
1 n 1 n 2 X 是样本均值， S = ( X i − X ) 2 是样 ∑ ∑ i n i =1 n i =1
1 n ∑ ( X i − μ)2 = S 2 + ( X − μ)2 。 n i =1
n −1 ⎤ ⎡ n E ⎢∑ ( X i + Yi − X − Y ) 2 ⎥ = E (nS z2 ) = nE ( S z2 ) = n ⋅ Dζ n ⎣ i =1 ⎦ = n⋅ n −1 ⋅ 2σ 2 = 2(n − 1)σ 2 。 n
2.8
设 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 是总体 ξ ～ N (0 , 1) 的样本。
2 2
2
（1）求常数 a, b ，使得 a ( X 1 + X 2 ) + b( X 3 + X 4 + X 5 ) 服从 χ (2) 分布，并指出其自 由度； （2）求常数 c ，使得
概率论与数理统计考点归纳
概率论与数理统计考点归纳1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。
在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。
2. 概率论考点2.1 随机变量与概率分布•随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。
•期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。
•大数定律和中心极限定理的概念和应用。
2.2 一维随机变量的分布特征•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。
•分位数和分位点的概念和计算方法。
•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。
•常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。
2.3 多维随机变量的分布特征•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。
•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。
•多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。
2.4 随机变量的函数的分布特征•随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。
•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。
3. 数理统计考点3.1 抽样与抽样分布•抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。
•抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。
•中心极限定理在抽样分布中的应用。
3.2 参数估计•点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。
•点估计的性质：无偏性、有效性、一致性等。
•置信区间的定义和计算方法。
3.3 假设检验•假设检验的基本步骤：建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。
•假设检验的错误和功效：第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。
•常见假设检验方法：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。
数理统计原理的应用
数理统计原理的应用一、概述数理统计是应用数学的一个分支，是研究数据分析和推断的方法的学科。
在现代社会中，数理统计的应用十分广泛，涵盖了经济、社会、医学等各个领域。
本文将介绍数理统计原理在实际应用中的一些案例，并解释其背后的统计原理。
二、市场调研2.1 问卷调查•数据收集：通过设计问卷并进行调查，收集样本数据。
•样本选取：使用随机抽样方法从整体人口中选取代表性样本。
•数据分析：对收集到的数据进行统计分析，包括计算频数、计算平均数、制作柱状图等。
•结果推断：通过对统计数据进行推断，得出对整体人口的结论。
2.2 市场分析•数据分析：通过分析市场上的销售数据、用户数据等，了解市场情况。
•假设检验：使用假设检验方法判断市场中的变化是否有统计显著性。
•预测模型：通过建立数理统计模型，对市场未来的走势进行预测。
三、医学研究3.1 临床试验•实验设计：制定合理的实验方案，包括对照组、实验组的确定等。
•样本大小计算：通过数理统计方法计算需要的样本大小，以保证实验结果的可靠性。
•数据分析：对实验产生的数据进行统计分析，包括计算效应量、进行方差分析等。
•结果推断：通过对统计数据进行推断，得出实验是否具有统计显著性。
3.2 流行病学调查•调查设计：选择合适的调查样本和调查方法，包括横断面调查、纵向研究等。
•数据分析：对调查收集到的数据进行统计分析，包括计算风险比、建立回归模型等。
•结果解释：通过对统计数据的解释，得出对人群健康状况的结论。
四、财务分析4.1 经济数据分析•数据收集：收集相关的经济数据，包括GDP、通胀率、失业率等。
•时间序列分析：使用时间序列分析方法对经济数据进行建模和预测。
•结果解释：通过分析经济数据的变化趋势，得出对经济发展的结论。
4.2 投资组合分析•数据收集：收集不同投资资产的历史收益率数据。
•风险评估：通过对历史数据进行统计分析，计算投资组合的风险和收益。
•优化选择：通过建立数理模型，选择最优的投资组合。
2a1 可靠性概率、数理统计基础
2.3.4.2 逆概公式(贝叶斯公式)
若A1,A2,…,An为一完备事件组，B为任 一事件，且P(B)>0，则有：
P( Ai B)
P( Ai )P(B Ai )
n
P( Ai )P(B Ai )
i 1
例
一个串联系统由三个单元组成，每个单元发生故障 为事件A1，A2，A3，根据以往统计准断，各单元 的可靠度(完成功能的概率)分别为R1＝0.91，R2 ＝0.96，R3＝0.99，当三个单元分别发生故障时 某一事件B发生的条件概率分别为
3 随机变量及其概率分布
3.1 随机变量的分类及其特点 3.2 随机变量的概率分布 3.3 分布的集中趋势和分散性
3.1 随机变量的分类及其特点
3.1.1 随机变量的分类 3.1.2 随机变量的特点
3.1.1 随机变量的分类
随机变量分为离散型随机变量和连续型随 机变量两类。
离散型随机变量:随机变量的全部取值为有 限个或可数无限个(例如所有正整数) 。
12012
频率nA/n 0.5176 0.5069 0.5016 0.5005
2.2.2 小结
为了简单起见，我们一律取P(A)＝nA/n
的形式。
在概率的古典定义中nA/n是方式数的比
值；
而在概率的统计定义中、nA/n是频率，
工程实际中，常用某一事件出现的频率 近似估计其概率值。
2.3概率的运算
3.3.1集中趋势的尺度
集中趋势的意思是指分布密度的图形集中趋向 于哪里，即分布的中心位置在哪里。
3.3.1.1 均值 3.3.1.2 中位数 3.3.1.3 众数
3.3.1.1 均值 离散型随机变量：
概率论与数理统计-随机变量及其分布
解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分 二项分布、泊松分布、几何
随 布 分布
机 变
函 数
连续型随机变量：密度函数
量 均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
谢谢观赏
46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性 （2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个 值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维） 离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
概率论与数理统计讲义
概率论与数理统计讲义一、概率论1.1 引言概率论是研究随机现象的理论，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程技术等领域。
它通过量化随机事件发生的可能性，帮助我们理解事件之间的关系和规律。
1.2 随机变量与概率分布随机变量是描述随机事件的事物，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
概率分布则是描述随机变量取值的概率情况，包括离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。
1.3 期望与方差期望是随机变量取值的平均值，用来描述随机变量的集中程度。
方差则是随机变量与其期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。
1.4 概率分布函数的性质概率分布函数有许多重要的性质，包括非负性、归一性、单调性、可加性等。
这些性质能够帮助我们更好地理解随机事件的规律和特征。
二、数理统计2.1 统计学概述统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，通过对样本数据的研究，推断出总体的一些特征和规律。
统计学广泛应用于社会调查、市场研究以及科学实验等领域。
2.2 描述统计学描述统计学是对数据进行总结和描述的统计学方法。
它包括数据的集中趋势度量、离散程度度量以及数据分布特征等内容。
2.3 参数估计参数估计是根据样本数据推断总体参数的一种统计学方法。
点估计通过寻找最优参数估计量来描述总体参数的真实值，区间估计则给出了参数估计的置信区间。
2.4 假设检验假设检验是用来判断总体参数是否满足某种假设的统计学方法。
它将原假设和备择假设相比较，通过计算统计量的值来判断是否拒绝原假设。
2.5 方差分析与回归分析方差分析和回归分析是用来研究多个变量之间关系的统计学方法。
方差分析用于比较多个总体均值是否相等，而回归分析则用于建立变量之间的数学模型。
三、应用案例3.1 金融风险管理概率论与数理统计在金融风险管理中发挥着重要作用。
通过对金融市场的随机波动性进行建模和分析，可以帮助投资者制定更合理的投资策略，降低风险。
3.2 医学研究数理统计在医学研究中具有广泛的应用。
2024年人工智能培训课程大纲
人工智能培训课程大纲一、引言二、课程目标三、课程内容2.数学基础2.1概率论与数理统计2.2线性代数2.3微积分2.4最优化方法3.机器学习3.1监督学习3.2无监督学习3.3强化学习3.4集成学习4.深度学习4.1神经网络基础4.2卷积神经网络（CNN）4.3循环神经网络（RNN）4.4对抗网络（GAN）5.自然语言处理5.15.2词向量表示5.3语法分析5.4机器翻译6.计算机视觉6.1图像处理基础6.2目标检测6.3图像识别6.4人脸识别7.1智能家居7.2智能交通7.3智能医疗7.4智能教育8.2数据安全与隐私保护四、课程安排1.课程周期：6个月2.课程形式：线上授课，每周2次，每次2小时3.实践环节：每节课后布置作业，课程结束后进行项目实践4.评估方式：平时作业占30%，项目实践占70%五、师资力量3.助教团队：协助讲师进行课程辅导、作业批改和技术支持六、课程证书七、报名与咨询2.报名方式：登录培训机构官方网站或公众号进行报名3.咨询方式：方式、、邮件等多种途径，详细咨询课程相关信息八、2.数学基础2.2线性代数：线性代数为处理和理解多维数据提供了工具，是深度学习等算法的理论基础。
2.3微积分：微积分在优化算法中有着重要的作用，对于理解机器学习中的梯度下降等概念至关重要。
3.机器学习3.1监督学习：监督学习是机器学习的一种主要形式，这部分将介绍监督学习的原理、算法和应用。
3.2无监督学习：无监督学习不依赖于标注数据，能够从数据中自动发现模式，这部分将介绍无监督学习的主要技术和应用。
3.3强化学习：强化学习是一种通过与环境交互来学习最优策略的方法，这部分将介绍强化学习的基本概念、算法和实际应用。
3.4集成学习：集成学习通过结合多个学习器来提高学习性能，这部分将介绍集成学习的方法和策略。
4.深度学习4.1神经网络基础：神经网络是深度学习的基石，这部分将介绍神经网络的基本结构和原理。
4.2卷积神经网络（CNN）：CNN在图像识别等领域有着广泛的应用，这部分将详细介绍CNN的原理和实现。
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
最新概率论与数理统计第二章随机变量及其分布
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
在离散型随机变量的概率分布中，事件“X=x1〞， “X=x2〞....“X=xk〞,...构成一个完备事件组。因此， 上述概率分布具有以下两个性质：
(1) pk 0,k 1,2,
(2)pk 1 k
满足上两式的任意一组数pk ,k 1,2, 都可以成为 离散型随机变量的概率分布。对于集合xk ,k 1,2,
解 按第一种方法。以X记“第1人维护的20台中同一时刻发 生故障的台数〞，以Ai(i＝1，2，3，4)表示事件“第i人 维护的20台中发生故障不能及时维修〞，那么知80台中 发生故障而不能及时维修的概率为
P(A1UA2UA3UA4)≥P(A1)＝P{X≥2}．
而X～b(20，0．01)，故有 1 P{X2}1P{Xk} k0
b (k 1 ;n ,p ) kq
kq
当k<(n+1)p时，b(k;n,p)>b(k-1;n,p)
当k=(n+1)p时，b(k;n,p)=b(k-1;n,p)
当k>(n+1)p时，b(k;n,p)<b(k-1;n,p)
因为(n+1)p不一定是正整数，所以存在正整数m，使 得(n+1)p-1＜m≤(n+1)P,当k=m时达到极大值。
k=1,2, …
P{X=k}= (1-p)k-1p,
并称X服从参数为p的几何分布。
几何分布的无记忆性
在贝努利试验中，等待首次成功的时间 服从几何 分布。现在假定在前m次试验中没有出现成功，那么为 了到达首次成功所再需要的等待时间 ′也还是服从几 何分布，与前面的失败次数m无关，形象化地说，就是 把过去的经历完全忘记了。因此无记忆性是几何分布所 具有的一个有趣的性质。但是更加有趣的是，在离散型 分布中，也只有几何分布才具有这样一种特殊的性质。
概率论与数理统计 第2章
§2.2 一维离散型随机变量及其分布律
一、一维离散型随机变量的分布律
定义：设 ～离散型r.v.，它可能取的数值是 x1,x2,…,xn,…，又设
P xi pi i 1,2,, n,
则称下表
P
x1 p1
x2 p2
… …
xk pk
… …
为离散型r.v.的分布律或概率分布。
k
k!
e
e
k!
k 0
k
e e 1
13
⑶ 泊松分布亦是一个重要分布，它是一种散
点子分布，如布匹上的瑕疵点数；放射粒子
数；一段时间内的电话呼唤数及侯车人数等都
服从泊松分布。 例7：设书的某页中印刷错误的个数 服从 0.1 的泊松分布，试求该页中有印刷错误的概率。 例8：设 服从参数为 的泊松分布，已知
1
2、具体而言： 变量的值取决于试验的结果～随机变量，用 希腊字母 , , 表示。 以前所学的变量～普通变量，用英文字母 x,y,z,a,b,c等表示。 随机变量所取的值用普通变量表示。 3、～随机变量；a～数；
a 或 a ～随机事件，或发生或不发生； P a ～它的概率。
3
4、按取值的不同，随机变量可分为两类： ⑴ 离散型随机变量～它可能取的值是有限数 组和可数无穷多个值。 ⑵ 连续型随机变量～它可以在一个区间或数 轴上任意取值。 二、二维随机变量 在某些实际问题中，需用两个或两个以上的随 机变量来描述随机试验的结果。
4
定义：设某个随机试验的基本事件空间为
， 和 是定义在该基本事
19
§2.3 二维离散型随机变量及其分布律 一、联合分布律与边缘分布律 定义：设二维r.v. , 只能取有限对或者最多
第二章 数理统计的基本概念1
样本极差
它反映了总体取值 悬殊程度的信息
R = X ( n ) − X (1)
样本中位数
n为奇数 X (( n +1) / 2 ) , M c = 1 2 ( X ( n / 2 ) + X ( n / 2+1) ), n为偶数
■样本 为推断总体分布及各种特征， 为推断总体分布及各种特征，随机地从总体 中抽取若干个体进行观察试验， 中抽取若干个体进行观察试验，这一抽取过程称 为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本 样本 抽样” 所抽取的部分个体称为样本. 样本 中所包含的个体数目称为样本容量 样本容量. 中所包含的个体数目称为样本容量 容量为n的样本可以看作 维随机变量 容量为 的样本可以看作n维随机变量 的样本可以看作 (X1,X2,…,Xn) 一旦取定一组样本，得到的是 个数 一旦取定一组样本，得到的是n个数 (x1,x2,…,xn)， ， 称为样本的一次观察值，简称样本观测值 称为样本的一次观察值，简称样本观测值 .
F= Y n2
服从自由度为n 分布， 服从自由度为 1及 n2 的F分布，n1称为第一自 分布 由度， 称为第二自由度， 由度，n2称为第二自由度， 例6 设 X 1 , X 2 , L, X 15 是总体 X ~ N (0,2 ) 的样本， 试问统计量 10
Max=1572, Min=738, 组数 组数=6 组距=(Max-Min)/6=139 140 组距 取a0=735, 则分组区间及相关数据如下
组序 1 2 3 4 5 6 合计 分区区间 (735,875] (875,1015] (1015,1155] (1155,1295] (1295,1435] (1435,1575] 频数 6 8 9 4 2 1 30 频率 0.2 0.27 0.3 0.13 0.07 0.03 1 累计频率 0.2 0.47 0.77 0.9 0.97 1.0
数理统计第二章学生
定理2. (样本方差的分布)
设 X1 , X2 , … , Xn 是取自正态总体 样本 , 则有 的 分别为样本均值和修正样本方差
的样本, 则有
和 证明：设
相互独立。
而
定理3(与样本均值和样本方差有关的一个分布)
, X n )T 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( 2) X 1 [ X n X n 1 ], ( ) 2 (2) 2 n为奇数， n为偶数，
其观测值为
x n 1 ， ( ) 2 x 1 [ x n x n 1 ], ( ) 2 (2) 2
性质2：设
，则
0
y
(二)
t分布 设X~N(0, 1), 则称随机变量 , 并且X, Y独立,
t分布的概率密度为
h(t)
n=∞(正态) n=10
服从自由度为n的t分布. 记为t ~ t(n).
0
n=1
t
t 分布的特点： 1、其概率密度函数是偶函数。当n>30时， t 分 布与标准正态分布非常接近；当n 趋于无穷大 时，t 分布趋于标准正态分布。 2、t 分布的尾重比正态分布大。 3、t 分布只存在k<n阶矩。
抽样分布 —— 统计量的分布. 几种常用的统计统计分布 (一) 分布 设X1, …, Xn是来自总体N(0, 1)的样 本, 则称统计量 服从自由度为n的 分布.
§2.3 次序统计量与经验分布函数 §2.4 描述性统计分析
17
记为
.
分布的概率密度为
分布的性质： 性质1：设 ，则
f (x)
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率论与数理统计2.1随机变量的分布与数字特征
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
P{x1 X x2} P{X x2} P{ X x1}
X
F ( x2 ) F ( x1 ).
o
x1
x2
x
随机变量的分布函数定义了事件域σ(X)上的一个概
率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提供了
直观的描述。
例8
等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为 落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布 函数
例2
掷一颗骰子，用 X 表示出现的点数。则 X 就是一 个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6。则
X 4表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
X 取偶数表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
在同一个样本空间上可以定义不同的随机变
例量如．我们可以定义：
Y
1 0
出现偶数点 出现奇数点
Z
1 0
点数为 6 点数不为 6
例4
观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生
物的寿命。则 Z 就是一个随机变量。它的取值为 所有非负实数。
Z 1500
表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事
件．
Z 3000
表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件．
注意 Z 的取值是无界的区间 个！
二、离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的定义 如果随机变量 X 的全部不同取值是有限个或可列无 穷多个，则称 X 为离散型随机变量。 离散型随机变量的概率分布
第 2 章 随机变量的分布与数字特征
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数字特征 §2.3 常用的离散型分布 §2.4 常用的连续型分布 §2.5 随机变量函数的分布
《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节
第二章 随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。
高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题二的答案.解析
求(1)a的值;(2)X的分布函数F(x);(3)P(0.2<X＜1.2) 解 (1)由规范性得1
f ( x)dx
1
0
xdx (a x)dx
1
2
a2
2.21 设 X
0 x 1 x , f ( x) 2 x , 1 x 2 0, 其他
(3) P (0.2 X 1.2) F (1.2) F (0.2) 0.66
2.22 设 X
2 x , f ( x) 0,
0 x 1 其他
求(1)P(X=0.1);(2)P(X＜0.2|0.1<X<0.5)
解 (1) P ( X 0.1) 0
(1)求A的值;(2) P ( X
解 (2) P ( X
6
6
);(3)概率密度函数f ( x )
) P (
6
X
6
) F ( ) F (
6
1 sin 0 6 2
6
)
0 , x0 2.20 设连续型随机变量X的分布函数 F ( x ) A sin x , 0 x 2 1, x 2
13 c 60
4 9
2.9
0 , 0.3 , 设离散型随机变量X的分布函数为 F ( x ) 0.7 , 1,
x 1 1 x 2 2 x3 x3
求X的分布列. 解 分布列为 X P －1 2 3
0.3
0.4
0.3
2.10 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8,现随 机检查4件,求至少有两件一级品的概率. 解 设X为随机检查的4件产品中的一级品的个数. 则X～B(4,0.8) 则所求概率为
概率论与数理统计第二章_OK
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(一)、离散型随机变量的函数
设 X 是离散型随机变量，其分布律为
P X xn pn n 1, 2,
X
x1
x2 ， xn
或
P
p1 p2 ， pn
Y 是 X 的函数： Y g X ，则Y 也是离散型随机变
量，它的取值为
y1， y2 ， ， yn ，
所不具备的．
⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．
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§2.4 随机变量的函数的分布
随机变量的函数
设 X 是一随机变量， Y 是 X 的函数， Y g X ,则Y
也是一个随机变量． 当 X 取值 x时，Y 取值 y gx
本节的任务：
已知随机变量 X 的分布，并且已知 Y gX ，
35
70
126
252
252
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例2 从一批次品率为p的产品中，放回抽样，直到抽到次 品为止。求抽到次品时，已抽取产品的次数X的分布律。
分析：若记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且
{ X=k }对应着事件 A1 A2 Ak1 Ak
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
X
o
F (x2 ) F (x1).
x1
x2 x
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2. 分 布 函 数 的 性 质
分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以看出， 分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．
数理统计方法
数理统计方法数理统计方法是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，数理统计方法都扮演着至关重要的角色。
本文将介绍数理统计方法的基本概念、常用的统计方法和实际应用，希望能够帮助读者更好地理解和运用数理统计方法。
首先，我们来了解一下数理统计的基本概念。
数理统计是通过收集样本数据，对总体数据进行推断的一门学科。
它主要包括描述统计和推断统计两个方面。
描述统计是对收集到的数据进行整理、总结和展示，常用的统计指标包括均值、中位数、标准差等；推断统计则是根据样本数据对总体数据进行推断，包括参数估计和假设检验两个方面。
通过数理统计方法，我们可以从样本数据中获取有关总体的信息，进行科学的决策和预测。
接下来，我们将介绍一些常用的统计方法。
首先是参数估计，它是通过样本数据对总体参数进行估计。
常用的参数估计方法包括最大似然估计和贝叶斯估计。
最大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数，而贝叶斯估计则是基于贝叶斯定理进行参数估计。
其次是假设检验，它是通过样本数据对总体参数进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
常用的假设检验方法包括 t检验、F检验和卡方检验。
此外，还有相关分析、方差分析、回归分析等常用的统计方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
最后，我们将介绍一些数理统计方法在实际应用中的案例。
在医学领域，数理统计方法常常用于临床试验数据的分析和药效评价；在金融领域，数理统计方法常常用于股票价格的预测和风险管理；在市场营销领域，数理统计方法常常用于消费者行为分析和市场调研。
这些案例充分展示了数理统计方法在各个领域的重要性和应用价值。
总之，数理统计方法是一门非常重要的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过对数据的收集、整理、分析和解释，数理统计方法可以帮助我们更好地理解现实世界，做出科学的决策和预测。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用数理统计方法，提高数据分析的能力和水平。
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【思想与方法】 样本矩代替理论矩，建立 k 个方程，从 中解出 k 个未知参数的矩估计量．
当 k 1 时，方程 X EX 最为常用． 但有时 EX 中不含有未知参数 ，因此从 X EX
，故此时根据低阶矩优先的原则，如改用 中不能求得
二阶原点矩建立方程
1 n 2 2 X E ( X )， i n i 1
定义
用来自总体 X 的样本 ( X1 , X 2 ,, X n ) 的 r 阶原点
1 n r r X 矩 Ar xi 作 为 总 体 的 r 阶 原 点 矩 E( X ) n i 1
(r 1,2,, k ) 的估计量， 所产生的参数估计方法称为矩估
计法，由矩估计法得到的估计量叫做矩估计量．
i 1
X EX , n 1 2 2 ( X X ) DX , n i i 1 n 1 2 2 X, 解得 ． ( X X ) i n i 1
二、极大似然估计法
极大似然估计法是由英国统计学家 R A 费歇尔于
1912 年提出，并在 1921 年的工作中又加以发展的一种重
( 1, 2 ,, k ) ．
极大似然估：写出似然函数 L( ) ，并取对数 ln L( ) ；
d ln L( ) ln L( ) 第二步： 令 0 ，或 0 ，i 1, 2,, k ， d i ˆ ˆ( X , X ,, X ) ，或 建立方程(组)．如果从中解得惟一驻点 1 2 n
ˆ ( ˆ ( X , X ,, X ), ˆ ( X , X ,, X )) ， 1 1 2 n 2 1 2 n
ˆ 即为 的极大似然估计； 则
非常规方法
第三步：如果上述方程无解，则通过单调性的讨论，在某边 界点处求出 (1 ,2 ,,k ) 的极大似然估计量．
“ =”为形式上记号，实质上应该为“ ”
当 k 2 时，最常用的二个方程为
X EX , n 1 2 2 X E ( X ). n i i 1
由于此方程组与下列方程组
X EX , n 1 2 ( X X ) DX n i i 1
等价，因此后者的使用更为普遍．
则记 L( x1, x2 ,, xn ; )
f ( xi ; ) ． i 1
n
称 L( x1, x2 ,, xn ; ) 为似然函数，有时也简记为 L( ) ．
( 1, 2 ,, k ) ( ) 满足 定义 如果
) max L( X , X ,, X ; ) ， L( X 1 , X 2 , , X n ; 1 2 n
第二章 参数估计
• §1 点估计量 • §2 估计量的评选标准
• §3 区间估计
参数估计是统计推断的基本问题之一． 在实际问题中， 总 体 X 的分布类型可能已知，也可能未知．但不论如何，都需 要依据样本所提供的信息，估计总体 X 中如数字特征等未知 参数 的取值， 这就是参数估计问题． 其主要内容包含点估计、 估计量的评价标准和区间估计．
( 1, 2 ,, k ) 为未知参数 ( , ,, ) 的极大 就称 1 2 k
似然估计量．
【思想】 求 (1 ,2 ,,k ) 的极大似然估计量就是求似 然 函 数 L( ) L( X1, X 2 ,, X n ; ) 的 最 大 值 点
定义 如果总体 X 为离散型随机变量，其分布律为
P{ X x} p( x; ) ， x a1 , a2 ,, an , ，
则记 L( x1 , x2 ,, xn ; )
p ( x ; ) ．
i 1 i
n
如果总体 X 为连续型随机变量，其密度函数为
f ( x; ) ， x ，
2
§1 点估计量
一、矩估计法
矩估计法是由英国统计学家 K 皮尔逊 ( K Pearson) 在 1894 年提出的方法．矩估计法的原理是来自大数定 律．
设 ( X1 , X 2 ,, X n ) 为来自总体 X 的一个样本，且
n P 1 E( X r ) r ，则 lim X ir r E ( X r ) ． n n i 1 1 n r 因此，当 n 充分大时， X i E ( X r ) ． n i 1
例如，设袋中有 10 个红球和 6 个白球，现从中任取 5 个球， 5k k C10 C6 则 5 个球中恰有 k 个白球的概率为 ，其中 0 k 5 ． 5 C16
三、顺序统计量估计法介绍
X． 解 ⑴ 由 X EX ，解得
⑵ 由于 EX 中不含有 2 ，故根据低阶矩优先的原则，改 用二阶原点矩建立方程
1 n 2 2 2 2 ， X E ( X ) i n i 1 n 1 2 2 2 解得 X i ．
n
⑶ 属 k 2 的情形，故需要建立二个方程．由
例 3 设总体 X ~ N (, 2 ) ， ( X1 , X 2 ,, X n ) 为来自总体
X 的样本．
； ⑴ 如果 2 已知， 未知，求 的矩估计量
2 ； ⑵ 如果 已知， 2 未知，求 2 的矩估计量 2 ． 和 ⑶ 如果 , 2 均未知，求 和 2 的矩估计量
要且普遍使用的点估计法．
极大似然估计法是依据“概率最大的事件最有可能出 现”的“实际推断”原理产生的估计法．其基本思想是： 如果在一次试验中事件 A 已出现，则一般说来，当时的试 验条件应更有利于事件 A 的出现．
引例 设有一批产品，其废品率为 p，从中随意取出 100 个，其中有 10 个废品，试估计 p 的值。
超几何分布
nk k CN C M M 定义 如果随机变量 X 的分布律为 P{ X k} ， n CN
其中 N 1, M N , n N , max{0, M n N} k min{M , n} ， 就称 X 服从参数为 M , N , n 的超几何分布，记为 X ~ H (M , N , n) ． 它描述了由 N 个物件(M 个次品)，抽检 n 个有 k 个次品的概率。