平行关系、垂直关系

有关垂直关系的证明方法：
2、线面垂直
（1）利用线面垂直的判定定理
（2）利用面面垂直的性质定理
（3）利用向量法
有关垂直关系的证明方法：
3、面面垂直 （1）利用面面垂直的定义
（2）利用面面垂直的判定定理
1、空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( 4 ）
A E D B C
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 平行直线 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个 没 有 没 有
异面直线 不同在任何一平面内
证明三点共线通常采用以下方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面 的公共点，根据基本性质2，这些点都在交线上． (2)由其中任意两点确定一条直线，再证另一点在这条直 线上．
D F G
A
B
C
E
练习
1.已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD S
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
D A O
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE
④
线面垂直
② ③
线线垂直
例 2、已知在正方体ABCD—A ′B ′C ′D ′中，E 为CC′中点，F为AC和BD的交点，
求证：A′F
⊥平面BED
D′ B′ D F A B P C′ E
（方法一）转化为平面几何 （方法二）三垂线定理
一. 平行直线 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的 两条直线叫做平行线. 2. 平行性质：过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行. 3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相 平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成 的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形 的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的 对角线。
性质定理——如果两个平面平行同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行。
【小结】
①利用线面平行的定义（无公共点）；
②利用线面平行的判定定理（a α,



b α,a∥b,a∥α）；
③利用面面平行的性质定理（a∥β,a α a∥β）.
【小结】1．判定或证明两个平面平行的方法： ①据定义证明两个平面没有公共点，用反证法 完成；②据判定定理，证明一个平面内两条相 交直线平行于另一个平面；③据“垂直于同一 条直线的两个平面平行”，证明两个平面和同 一条直线垂直；④据平行于同一平面的两平面 平行.
再说明点P在CC1上
[解析] 连结EH、AC、FG. ∵E、H分别为BC、AB的中点， 1 ∴EH AC， 2 ∵DF∶FC＝2∶3，DG∶GA＝2∶3， ∴FG∥AC，FG＝2/5AC，∴EH∥FG且 FH≠FG， ∴E、F、G、H四点共面且EF与GH不平 行． ∴EF与GH相交． 设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF， ∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD， ∴O∈平面ABD，O∈平面BCD. ∴平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD， ∴即直线EF、BD、HG交于一点．
A′
C
例3：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 ∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三 角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥面PAD; (2)求证：AD⊥PB; (3)求二面角A—BC—P的大小； (4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找出一点F, P 使平面DEF⊥平面ABCD。
E
F
AE AF A PB 平面PEF AE 平面PEF AF 平面PEF
小结
三垂线定理 线线垂直
线面垂直 的定义
线面垂直 面面垂直的 性质定理
线面垂直的 判定定理
面面垂直
面面垂直的 判定定理
[ 解析] 由推论2，可设BB1与CC1，CC1与AA1，AA1与 空间中证三线共点 作业题处理 BB1分别确定平面α，β，γ， (1)先确定两条直线交于一点，再证该点是这两条直 设AA1∩BB1＝P，则P∈AA1，P∈BB1. 线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的 ∴P∈β，P∈α， 交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共 又因α∩β＝CC1，则P∈CC1(公理2)， 点． 于是AA1、BB1、CC1相交于点P， (2)先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证 故三条直线AA1、BB1、CC1共点． 明该交线与另两直线各交于一点，再证这两点重合．从 而得三线共点． 分析：设 AA1∩BB1＝P，
AE 平面PBC AE PB PB 平面PBC AF PB
(2) BC 平面PAC BC AE AE 平面PAC PC AE BC PC C BC 平面PBC PC 平面PBC
有关垂直关系的证明方法：
1、线线垂直
（1）利用线面垂直的定义 （2）利用三垂线定理及其逆定理 （3）在相应的三角形中利用勾股定理求解
（4）利用向量法
面面垂直
定义——如果两个平面所成的二面角是直 二面角，则这两个平面垂直。 判定定理——如果一个平面经过另一个平 面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 性质定理——如果两个平面垂直，则在一 个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于 另一个平面。
14．如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面 BED1F和平面ABCD的交线．
P
本节重点问题是 1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线， 再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某 两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上． 2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一 个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或 先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面， 然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线 确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用． 3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这 个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平 面与平面的交线．
基础训练题
(1) 下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
(3).空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（ ） D A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° (4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四 条边的中点为顶点的四边形是（ B ） A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
(1)
平面ABD ⊥面BCD
(2)
(3)
平面BCD ⊥面ABC
平面ACD ⊥面ABC
(4)
平面ACD ⊥面BDE
典型例题1、四面体ABCD中，面ADC⊥面 BCD，面ABD⊥面BCD，设DE是BC边上的 高,求证:平面ADE⊥面ABC
A 面ADC⊥面BCD
①
B
C E
面ABD ⊥面BCD
D
② ③ ④
(3)定义——如果一条直线和一个平面垂直， 则直线与平面内的任意一条直线都垂直.
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理——在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理——在平面内的一条 直线，如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线的射影垂直。 应用步骤——确定平面；抓住斜线；作出 垂线；连成射影；查出四线。
例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱AD, A1D1的中点. 求证：∠C1E1B1 = ∠CEB.
分析：设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB.
2．解答或证明面面平行的有关问题，常常要 作辅助线或辅助面，注意两点：一是所作的辅 助线或面需要有理论根据，二是辅助线或辅助 面具有什么性质，一定要以某一性质定理为依 据，决不能随意添加.
立体几何中的
线面垂直
(1)定义——如果一条直线和一个平面内的 任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
(2)判定定理——如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，则直线与平面 垂直。
C
7.平面SAC⊥平面SBD
B
3:已知PA 平面ABC，AB是 C是圆周上的一点， （ 1 ）求证:BC 平面PAC
O的直径，
（2）若AE PC于E , AF PB于F , 求证：PB 平面AEF
E
F
证明： (1) PA 平面ABC PA BC BC 平面ABC AB是 O的直径 BC AC PA AC A BC 平面PAC PA 平面PBC AC 平面PAC
线面平行
(1)定义——如果一条直线和一个平面没有 公共点，则直线与平面平行。
(2)判定定理——如果一条直线和一个平面 内的一条直线都平行，则直线与平面平行。 性质定理——如果一条直线与一个平面平 行，则过这条直线的任一平面与此平面交 线与该直线平行。
面面平行
定义——如果两个平面没有公共点，则这 两个平面平行。 判定定理——如果一个平面内的两条交线 分别与另一个平面平行，则这两个平面互 相平行。