北师大版数学高二 必修4第3章 2.3两角和与差的正切函数作业

【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章 2.3两角和与差的正
切函数课时作业北师大版必修4
一、选择题
1．若tanα＝3，tanβ＝
4
3
，则tan(α－β)等于( )
A．－3 B．－
1
3
C．3 D．
1
3
[答案] D
[解析] tan(α－β)＝
tanα－tanβ
1＋tanαtanβ
＝
3－
4
3
1＋3×
4
3
＝
1
3
.
2．若tan
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－α＝3，则tanα等于( )
A．－2 B．－
1
2
C．
1
2
D．2
[答案] B
[解析] tanα＝tan
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
π
4
－
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－α＝
tan
π
4
－tan
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－α
1＋tan
π
4
tan
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－α
＝－
1
2
.
3．若tanα＝2，tanβ＝3，且α，β∈(0，
π
2
)，则α＋β的值为( ) A．30°B．45°
C．135°D．225°
[答案] C
[解析] ∵tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
＝
2＋3
1－2×3
＝－1,0<α＋β<π，∴α＋β＝135°.
4．若sinα＝
4
5
，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tanβ的值为( )
A ．43
B ．－43
C ．－7
D ．－17
[答案] C
[解析] 因为sin α＝4
5，α是第二象限角，
所以cos α＝－3
5.
所以tan α＝－4
3
.
因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β，
所以1＝－4
3
＋tan β1＋4
3
tan β，解得tan β＝－7.
5．若∠A ＝22°，∠B ＝23°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是( ) A ． 3 B ．2
C ．1＋ 2
D ．2(tan A ＋tan B )
[答案] B
[解析] 因为原式＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1＋tan A tan B ＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )
＝1＋tan A tan B ＋tan45°(1－tan A tan B )＝2＋tan A tan B －tan A tan B ＝2. 6．若tan28°tan32°＝m ，则tan28°＋tan32°的值为( ) A ．3m B ．3(1－m ) C ．3(m －1) D ．3(m ＋1) [答案] B
[解析] ∵tan(28°＋32°)＝tan28°＋tan32°
1－tan28°tan32°
，
∴tan28°＋tan32°＝tan60°(1－tan28°tan32°)＝3(1－m )． 二、填空题 7.
tan23°＋tan 37°
1－tan23°tan37°
＝________.
[答案]
3
[解析] 原式＝tan(23°＋37°)＝tan60°＝ 3.
8．设sin α＝35(π2<α<π)，tan(π－β)＝1
2，则tan(α－2β)＝________.
[
答案]
724
[解析] sin α＝35(π2<α<π)，则tan α＝－3
4.
tan(π－β)＝12，则tan β＝－1
2
，
tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－34＋1
21＋34×12＝－2
11
，
tan(α－2β)＝tan α－β－tan β1＋tan α－βtan β＝－211＋121＋211×12＝7
24
.
三、解答题
9．计算下列各式的值． (1)tan15°＋tan75°； (2)tan41°＋tan19°1－tan41°tan19°
. [分析] 观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算．
[解析] (1)tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)＝1－tan30°
1＋tan30°＋
1＋tan30°
1－tan30°
＝1－
3
31＋33＋
1＋331－
33
＝
3－11＋3＋1＋3
3－1
＝4. (2)原式＝tan(41°＋19°)＝tan60°＝ 3.
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知点A ，B 的横坐标分别为
210，25
5
.
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋
2β的值．
[解析] (1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255
. 因为α为锐角，故sin α>0， 从而sin α＝1－cos 2
α＝72
10
. 同理可得sin β＝
55.因此tan α＝7，tan β＝12
. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝7＋1
2
1－7×
1
2
＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β
1－tan α＋βtan β
＝
－3＋
121－－3×
1
2
＝
－1.
又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π
2，
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π
4
.
一、选择题
1．△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定
[答案] A
[解析] ∵tan A ·tan B >1>0.∴tan A >0且tan B >0(否则A 、B 同为钝角，不可能)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B
1－tan A tan B <0，
∴90°<A ＋B <180°，∴0°<C <90°.
2．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α＋β)＝－2，tan(α－β)的值为( ) A ．1
2 B ．－12
C ．－211
D ．211
[答案] A
[解析] 先求出cos2α＝－45，∴tan2α＝－3
4
.
由于tan2α＝tan[(α－β)＋(α＋β)]＝tan α－β＋tan α＋β1－tan α－βtan α＋β＝－3
4，
解得tan(α－β)＝1
2.
二、填空题
3．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C ＝________. [答案]
π3
[解析] 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan(A ＋B )＝－ 3. ∵A ，B 均为△ABC 的内角， ∴0<A ＋B <π. ∴A ＋B ＝2π3.∴C ＝π
3
.
4．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝
⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________.
[答案] 1
7
[解析] tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17
.
三、解答题
5．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tan α. [解析] ∵2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α， ∴sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 而5sin β＝5sin[(α＋β)－α]
＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α. 由已知得sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α. ∴2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α， 等式两边都除以cos(α＋β)cos α，
得2tan(α＋β)＝3tan α.
6．在△ABC 中，已知sin B cos A ＝3sin A cos B 且cos C ＝5
5
，求A 的值． [解析] 因为sin B cos A ＝3sin A cos B ， 所以tan B ＝3tan A ． 又因为cos C ＝
5
5
，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2
C ＝
25
5
， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2，
亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，又因为tan B ＝3tan A ，
所以得
4tan A 1－3tan 2
A ＝－2，解得tan A ＝1或－1
3
， 因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4
.
7．已知tan α＝－13，cos β＝5
5，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．
[解析] 考查两角和与差的三角函数公式的运用和三角函数的性质． (1)由cos β＝
55，β∈(0，π)，得sin β＝255
， 所以tan β＝sin β
cos β
＝2，
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝1.
(2)因为tan α＝－1
3，α∈(0，π)，
所以sin α＝
110
，cos α＝－
310.
∴f (x )＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x cos β－sin x sin β ＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x
＝－5sin x .
所以f (x )的最大值为 5.。