浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优试卷解析版

2019-2020浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）
A.80°
B.160°
C.100°
D.80°或100°
2.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD.若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是( )
A. 50°
B. 60°
C. 40°
D. 30°
3.如图，平面直角坐标系中，已知点B ，若将△ABO绕点O沿顺时针方向旋转90°后得到△
A1B1O，则点B的对应点B1的坐标是( )
A. （3，1）
B. （3，
2） C. （1，
3） D. （2，3）
4.如图，四边形是⊙的内接正方形，点是劣弧上任意一点（与点不重合），则∠的度数为（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 无法确定
5.已知圆的半径为3，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（）
A. B.
C.
D.
6.如图，在正方形ABCD中，分别取AD、BC的中点E、F，并连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则的值为（）
A. ．C． D．
7.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，点M，N分别是AB，AC的中点，则线段MN长的最大值为（）
A. 5
B.
C. 5
D.
8.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（）．
A. B.
C. D.
9.如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）
A. 6
B. 6
C. 8
D. 8
10.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， = = ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠
CED=
∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上
述结论中正确的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.如图，O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38º，则∠OAC的度数是________.
12.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是________ 13.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为
________m.
14.为庆祝祖国华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分BD的长为20cm，则贴布部分的面积约为________cm2．
15.如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC
重合，点D旋转至点E，过E点作EH⊥CD于H，则EH的长为________.
16.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD
于点E，M，下列结论：①DM=CM；②；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有
________（填序号）．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧的度数为50°，求∠AOC的度
数．
18.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
19.如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．
四，解答题（每小题8分，共48分）
20.如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求的值
21.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）在旋转过程中点B
所经过的路径长为
；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
22.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
23.已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；
（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；
（2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2 ， OF=3，求⊙O的直径．24.如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．
（1）如图①，求证：BD=BE；
（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；
（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4 ，OD=7，求BF的长．
25.如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，边AB与y轴交于点C.
（1）若∠A=∠AOC，试说明：∠B=∠BOC；
（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；
（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由.
答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 解:∠ABC =
∠AOC =
×160°=80°或∠ABC ＝
×（360°-160°）＝100°. 故答案为：D.
2.解：根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，可得∠AOC=80°，∠C=∠A ， ∵∠A ＝2∠D ＝100° ∴∠A=100°，∠D=50°， ∴∠DOC=180°-∠C-∠D=30°， ∴∠a=∠AOC-∠DOC=50° 故答案为：A.
3.解：△A 1B 1O 如图所示，点B 1的坐标是（2，3）.
故答案为：D. 4.解：连接OB,OC ，
∵ 四边形 是⊙ 的内接正方形 ， ∴∠
BOC=
°
=90°，
∴∠BPC=
∠BOC=45°； 故答案为: B.
5.解： 扇形的圆心角为
，其半径为3， 扇形。

故答案为：C 。

6.
解：设正方形的边长为2，则CD=AB=2，CF=1
在直角三角形DCF 中，DF=＝ ，∴FG=EH= ，∴DH= -1 ∴
＝
，
故答案为：A ．
7.解：∵ 点M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴MN=
BC ，
∴当BC 最大时，线段MN 的长最大， ∴当BC 为 ⊙O 直径时，BC 长度最大， ∴∠BA=90°， 在Rt △BAC 中， ∵ ∠ACB=45°， AB=5， ∴AC=5，BC= =5 ∴MN=
BC= ，
即线段MN 的长的最大值为
. 故答案为：D.
8. 解：如图，设B ′C ′与CD 的交点为E ， 连接AE ，
在Rt △AB ′E 和Rt △ADE 中，
′
， ∴Rt △AB ′E ≌Rt △ADE （HL ）， ∴∠DAE ＝∠B ′AE ，
∵旋转角为30°， ∴∠DAB ′＝60°，
∴∠DAE ＝
×60°＝30°， ∴DE ＝1×
＝
，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（
×1×
）＝1﹣
．
故答案为：C ．
9.解：作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，连接OP ，OB ，OD ，
∵AB=CD=16， ∴BM=DN=8，
∴OM=ON= - =6， ∵AB ⊥CD ， ∴∠DPB=90°，
∵OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形MONP 是矩形， ∵OM=ON ，
∴四边形MONP 是正方形， ∴OP= ．
故答案为：B ．
10.解：∵ = = ， 点E 是点D 关于AB 的对称点， ∴
= ， ∴∠DOB=∠BOE=∠
COD=
=60°，∴①正确； ∠CED=
∠COD=
=30°=
∠ ，∴②正确； ∵
的度数是60°， ∴
的度数是120°， ∴只有当M 和A 重合时，∠MDE=60°， ∵∠CED=30°，
∴只有M 和A 重合时，DM ⊥CE ，∴③错误；
做C 关于AB 的对称点F ，连接CF ，交AB 于N ，连接DF 交AB 于M ，此时CM+DM 的值最短，等于DF 长， 连接CD ，
∵
= = = ，并且弧的度数都是60°， ∴∠D= =60°，∠CFD=
=30°， ∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°， ∴DF 是⊙O 的直径， 即DF=AB=10，
∴CM+DM 的最小值是10，∴④正确； 答案为：C ．
二、填空题（每小题4分，共24分） 11.解：∵∠AOB ＝38º， ∴∠ACB=19°， 又∵AO ∥BC ， ∴∠OAC=∠ACB=19°. 故答案为：19°. 12.解：如图，连接OA ；
∵OC=5,CE=2, ∴OE=OC-CE=3, ∵ OC ⊥AB , ∴AB=2AE,
在Rt △AOE 中，由勾股定理得：AE 2
+OE 2
=AO 2
， 又OA=5,OE=3, ∴AE=4, ∴AB=2AE=8; 故答案为8.
13.解:∵CD 垂直平分AB ， ∴AD=8.
∴OD= =6m ， ∴CD=OC-OD=10-6=4（m ）.
14.解：贴布部分的面积=S 扇形BAC -S 扇形DAE =
- -
=
（cm 2）．
故答案为
．
15.解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE=5，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
设DH=x，则CH=CD﹣DH=4﹣x，
在Rt△DHE中，EH2+x2=52，①
在Rt△CHE中，EH2+（4﹣x）2=62，②
②﹣①得16﹣8x=11，解得x= ，
∴EH= = .
故答案为 .
16.解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形，
∵AB=1，CD=2，
∴CM=2-1=1=AB=DM，
故①正确；
又∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE， = ，
故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM，
∴ = ，
∴=，
∴∠DAM=∠EAM，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∴OG=OH，
∴AD=AE，
故④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为：①②④.
三、解答题（每小题6分，共18分）
17.解：连接OE，如图，
∵的度数为50°，
∴∠COE=50°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=（180°﹣50°）÷2=65°，
∵CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=65°．
18.解：∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∴S梯形OBCD==；
∴图中阴影部分的面积=S梯形OBCD-S扇形OBD=-×π×12=-π。

四、解答题（每小题8分，共48分）
19. 解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，
在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5．答：弧CD所在⊙O的半径DO为5m
20.（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°
,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴△APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
21.解：（1）△A1OB1如图所示；
（2）由勾股定理得，BO==，
所以，点B所经过的路径长=π
=π；
故答案为：π．
（3）由勾股定理得，OA==，
∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，
BO扫过的面积=S扇形B1OB，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB，
=S扇形A1OA，
=π，
=π．
22. （1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= ∠
BOC=45°；
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，
∴BE= ∴BC=2BE=2×
23.（1）证明：连接AE交OD于点F．
∵AB为直径，
∴AE⊥BE，
∵BE∥OD，
∴AE⊥OD，
∵AD=AO，
∴AE平分∠CAB，
∴OD=2OF，
∵BE=2OF，
∴BE=OD；
（2）解：分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，
由（1）得：E为弧BC的中点，同理H为弧AC的中点，
∴∠HAE=∠HBE=45°，
∵AB为直径，
∴∠H=∠E=90°，
∴AP= AH，PE=BE，
∵点O为AB的中点，BE∥OD，
∴EB=OD= ，
∴PE=BE= ，同理AH=OF=3，
∴AP= ，在Rt△ABE中，AE= ，BE= ，根据勾股定理得：AB= ，
则圆的直径为．
24. （1）解：如图1，连接OB、OC、OE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE，
∴∠COB=∠BOE，
∴BC=BE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHA=∠DHA=90°，
∵∠CAB=∠BAE，AH=AH，
∴△ACH≌△ADH，
∴CH=DH，
∴AB为线段CD的垂直平分线，
∴BC=BD，
∴BD=BE；
（2）解：∵F是弧AC的中点，
∴，
∴∠CBF=∠ABF，
∵∠CMF=2∠CBF，
∴∠CMF=2∠ABF，
∵CD⊥AB，∠CMF=∠BMH，∴∠BMH+∠ABF=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠CBF=30°，
∵∠FOC=2∠CBF，
∴∠FOC=60°
（3）解：如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，
由（2）可知：∠CBF=∠ABF=∠BCH=30°，
∴CM=BM，
在Rt△CBH中，∠BCH=30°，BC=4 ，
∴BH=2 ，CH=6，
在Rt△BHM中，∠MBH=30°，BH=2 ，
∴BM=4 HM=2，
∴CM=BM=4，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OMC≌△OMB，
∴∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，
∵CH=DH=6，
∴DM=8，
在Rt△DMK中，∠KMD=60°，DM=8，
∴MK=4，DK=4 ，
在Rt△OKD中，
OD2=OK2+DK2，
∵OD=7，DK=4 ，
∴OK=1，
∴OM=5，
在Rt△OMN中，∠OMN=60°，OM=5，
MN= OM= ，
∴BN=BM+MN= ，
∵ON⊥BF，
∴BF=2BN=13．
25. （1）解：∵△AOB是直角三角形
∴∠A＋∠B=90°,∠AOC＋∠BOC=90°
∵∠A=∠AOC ∴∠B=∠BOC
（2）解：∵∠A＋∠ABO=90°,∠DOB＋∠ABO=90°
∴∠A=∠DOB 即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA ∵∠DOB＋∠EOB＋∠OEA=90°∴∠A=30°
（3）解：∠P的度数不变,∠P=25°.
∵∠AOM=90°-∠AOC,∠BCO=∠A＋∠AOC
又OF平分∠AOM,CP平分∠BCO
∴∠FOM=45°- ∠AOC,∠PCO= ∠A＋∠AOC
∴∠P=180°-(∠PCO＋∠FOM＋90°)=45°- ∠A=25°
的度数.。